解三角面积最值问题的一般方法

顾乃春

摘 要： 解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分；而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是和三角函数、平面几何、解析几何、平面向量等知识相结合.为了更好地把握解三角形知识和其他知识的综合运用，总结在解题中体现的函数、方程、数学结合的数学思想方法变得非常重要.高考题型是考查知识点为主，所以对于这几部分知识的综合应用越来越多，更需要我们平时在做题中加以积累，总结题型、方法，遇到问题才能驾轻就熟，处理问题才能游刃有余.

关键词： 解三角形 函数 方程 数形结合

解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分；而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是和三角函数、平面几何、解析几何、平面向量等知识相结合.为更好地说明解三角形知识和其他知识的综合运用，以及在解题中体现的数学思想方法，本文以一例具体说明.

前不久在江苏省泰州中学高三数学质量检测试卷中偶得一题：等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则△ABC的面积的最大值为？摇？摇？摇.

因为题目的主要条件是①AB=AC；②腰AC上的中线BD的长为3.如何用好腰相等、中线这个条件变得非常重要，也是解决这个问题的关键.对于应用这两个条件的方法不同，带来我们解决数学问题的思想方法不同，就关键条件的运用，具体有七种方法.

一、海伦公式与基本不等式的结合（函数的思想）

解法7.分析：根据条件等腰三角形ABC，中线BD，可联系平面几何的知识，作底边上的中线，这样中线的交点即为三角形的重心，三角形的重心分中线的比为1：2，利用数量关系可以把求△ABC面积的最值问题转化为求△BEG的面积的最值问题.而△BEG为直角三角形，面积相对表示，这需要有细致的观察能力，力求以形助数，利用数形结合思想处理问题也很快捷.

总之，解三角形相关问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或者等量关系就可以通过约分达到解决问题的目.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.解决正弦定理和余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.当然在建立相等关系和解决具体问题时需要用到函数、方程、数形结合的思想方法.