“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”教学设计

王玉 孔德宏

摘要：以函数y=Asin（ωx+φ）为模型的现象在生活中经常可见，例如人造卫星、摩天轮以及物理领域中的振动和波动等，足见其重要性.本教学设计中利用GeoGebra软件研究此函数图象，从“形”的角度观察、“运动变化”的角度分析，最后从“数”的角度进行证明，进一步培养学生的核心素养.

关键词：GeoGebra;函数y=Asin（ωx+φ）;数学核心素养

1 教学分析

1.1 教学内容分析

“函数y=Asin（ωx+φ）”选自人教版2019年A版必修一第五章第六节.在上一课时，学生经历了筒车建模的过程，了解了每个参数的实际意义，为了研究更多做匀速圆周运动的物体的运动规律，可以通过研究函数图象进而研究其函数的性质，因此本节课重点是研究其函数的图象.根据从具体到抽象的原则，通过给参数赋值，从具体函数的讨论开始，把从函数y=sin x的图象到函数y=Asin（ωx+φ）的图象的变换过程分解为：先分别考察参数φ，ω，A对函数图象的影响，最后再对函数进行整合考察.教材也借助了具体函数的变化，让学生领会从简单到复杂、从特殊到一般的化归数学思想.

1.2 学情分析

在此之前，学生已经学习了正、余弦函数的图象及其相关性质，具备一定的基础，并且在之前的函数学习中学生已经基本掌握了一般函数图象的平移变换、对称变换等比较简单的函数图象变换方法，但对于伸缩变换还是初次明确提出并加以研究.本节课笔者将结合信息技术来进行教学，从认知心理上来讲，学生对通过GeoGebra动态展示函数图象是感兴趣的.

1.3 教学目标分析

（1）掌握参数φ，ω，A对函数图象的影响，理解参数φ，ω，A在匀速圆周运动中的实际意义.

（2）通过利用GeoGebra探索函数y=sinx到函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的过程，培养学生的观察能力、探索问题的能力以及直观想象的能力，在此过程中领会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃.

（3）本节课通过信息技术调动学生的积极性并渗透数形结合思想，让学生树立运动变化的观点，学会用运动变化的观点认识事物.

2 教学过程

2.1 结合软件，探索新知

问题1 为了研究函数y=Asin（ωx+φ）的性质，需要研究函数的图象.函数y=Asin（ωx+φ）与我们所学的哪个函数相似？

问题2 参数影响着函数图象的变化，如何对其进行研究？

问题3 你会先研究哪个参数？

设计意图：通过观察思考，学生能够得出当A=1，ω=1，φ=0时即函数y=sinx，则函数y=Asin（ωx+φ）的图象可能会与函数y=sin x相似，让学生领会从特殊到一般的数学思想.学生能够提出需要通过限制变量的方法对其进行研究，先研究y=sin（x+φ），y=sin ωx，y=Asin x，再整合研究y=Asin（ωx+φ）.学生学过了图象的平移变换，因此提出先研究参数φ.

探究1：探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响.

师：通过A=1，ω=1探索φ对y=sin（x+φ）图象的影响，回顾φ代表着动点的起始位置，规定动点在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动.引导学生利用GeoGebra进行操作探索实验：当动点从Q1开始运动一周，得到函数y=sin x（如图1）;当动点从Q2开始运动一周，得到函数y=sinx+π6（如图1）;

当动点从Q3开始运动一周，得到函数y=sinx-π6 （如图1）.

问题4 若动点Q1，Q2都运动到点P，为何函数y=sinx+π6的图象相较于y=sin x的图象向左平移了π6个单位？若动点Q1，Q3都运动到点P，为何y=sinx-π6的图象相较于y=sin x的图象向右平移了π6个单位？

设计意图：利用GeoGebra进行实验并提出问题4，意在让学生从运动变换的角度理解函数图象的变化：当角速度为1时动点Q1，Q2，Q3同时运动到达点P，若从Q1到P需要x s，则从Q2到P需要x-π6s，于是图象向左平移，而从Q3到P则需要x+π6s，因此图象向右平移.

问题5 你能从数学逻辑推理角度进行证明吗？需要证明什么呢？

教师引导：图象变换实际上是图象上的点进行变换，因此已知函数y=sinx+π6，只需证明函数y=sin x上任意一点的横坐标都向左平移π6个单位.

学生证明过程：设点P0（x，y）为函数y=sin x图象上任意一点，点P1（x1，y）为函数y=sinx+π6图象上任意一点，则由sin x=sinx1+π6，可解得P1x-π6，y得证.

学生通过小组合作得出数学证明后的结论：一般地，当动点的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y=sin（x+φ）（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时）平移φ个单位长度，就得到函数y=sin（x+φ）的图象.

探究2：类比探究分别得出ω，A对函数图象的影响.

类比探究的方法：通过GeoGebra实验观察，从运动变化角度进行理解，再通过数学证明.

教师将学生分为两组，一组利用GeoGebra进行操作、观察，再从运动变化角度进行理解，另一组通过数学知识进行证明.最后学生展示得出的结论：ω的影响是把y=sin x图象上的所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1ω倍（纵坐标不变），就得到函数y=sin ωx的图象;A的影响是把y=sin x图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

设计意图：类比探究是一种重要的数学思想和方法.在探究φ的过程中学生已经掌握基本的研究思路和方法，因此可以采用类比的方法对ω，A进行探究.学生是课堂的主体，将任务交给学生能够激发学生的兴趣并且有利于发展其自主思考、团结协作和表达交流的能力.

探究3：整合研究，深化理解.

问题6 你能总结从正弦函数图象通过图象变换得到y=Asinωx+φ（A>0，ω>0）图象的过程与方法吗？

教师引导学生探究：三个参数影响函数图象，因此就有6种变换的方式，需确定参数变化顺序后进行研究.通过先平移后伸缩即按φ，ω，A的顺序变化，则y=sin x的图象向左（或右）平移|φ|个单位得到y=sin （x+φ），再将各点的横坐标变为原来的1ω倍得到函数y=sinωx+φ，最后将各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变）得到y=Asinωx+φ的图象.

设计意图：对函数进行整合研究，可以培养学生的总结能力和思维能力;同时，让学生理解只要将函数y=Asinωx+φ的性质研究清楚，就能够把握这类事物的运动规律.

2.2 空出留白，深度学习

在研究函数y=Asin（ωx+φ）的图象时，为了方便进行研究选取的是A>0，ω>0，那么这两个参数只能取A>0，ω>0吗？如果取A<0，ω<0时图象会如何？

在最后进行整合时是通过变化φ，ω，A这样的顺序将正弦曲线变化为函数y=Asin（ωx+φ），那如果不按照这样的变化顺序呢？例如通过变化ω，φ，A这样的顺序会是怎样的情况呢？

设计意图：这两个问题留给学生课后进行深度学习，有利于培养学生的逻辑思维能力;同时，让学生明白函数y=Asin（ωx+φ）的参数可以取任意实数，只是在现实世界中大多数事物都是在A>0，ω>0的取值范围内.

3 教学反思

本节课的研究思路：利用GeoGebra研究函数的图象，通过“形”观察、“运动变化”解释、“数学”证明对参数如何影响函数图象进行探究.在此过程中，利用软件GeoGebra进行实验让学生能够更加直观地进行观察，有利于培养学生的直观想象能力;利用类比探究ω，A对函数图象的影响，有助于培养学生的类比思想、团结协作能力和沟通表达交流的能力.