直线参数方程及其应用浅析

张雨灵

摘要：直线参数方程是高中数学的重要内容，在求线段的长度、距离的和差积商、直线的方程、点的坐标、弦中点的轨迹等问题中有着重要的应用.本文中主要探究直线参数方程在解决直线

与二次曲线的位置关系判断、求弦长及弦中点等问题中的应用.

关键词：直线参数方程;弦长;中点;轨迹

1 引言

直线与二次曲线相交、相切、相离等位置关系的判断以及由此引出的系列问题是高中解析几何专题要讨论的问题，这些问题是训练学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的重要载体.解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，所以在求解解析几何相关问题的过程中往往需要大量计算，这是解析几何问题的主要难点所在.而突破这一难点，除了需要充分挖掘利用几何信息简化计算外，有时还需根据具体问题合理选择直线或曲线方程的形式.比如，利用直线方程参数形式，不仅可以在解决二次曲线和直线相交时的求点坐标、距离、弦长、弦的直线方程等系列问题中简化计算，而且还可以有效解决与弦的中点有关的轨迹方程，以及曲线的切线方程等问题.下面先探讨直线的参数方程中参数t的几何意义及其应用.

1.1 直线参数方程中参数t的几何意义

设过点P0x0，y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t为参数）.点Px，y为直线l上的任一点，由l的参数方程知，t2=x-x02+y-y02，即t=P0P，则t表示直线l上P0与P两点间的距离.又因点Px，y所对应的参数为t，当0<α<π时，sin α>0，由t=y-y0sin α知，t与y-y0的符号相同，于是有

t=y-y0sin α>0，P在P0上方，=0，P与P0重合，<0，P在P0下方;

当α=0，则cos α=1.由t=x-x0cos α=x-x0，则t与x-x0的符号相同，于是有

t=x-x0cos α=x-x0>0，P在P0右方，=0，P与P0重合，<0，P在P0左方.

1.2 联立直线与二次曲线方程

设缺xy项的一般二次曲线Γ的方程为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（其中A，C不同时为0），联立二次曲线Γ与直线l的参数方程，得

Acos2α+Csin2α·t2+（2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α）·t+Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F=0（*）

不妨记

m=Acos2α+Csin2α①

n=2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α②

w=Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F③

则（*）式可简记为

mt2+nt+w=0.④

下文将运用直线l的参数方程并结合参数t的几何意义，解决直线l与二次曲线Γ的常见问题.

2 判断直线l与二次曲线C的位置关系

将直线l的参数方程与二次曲线Γ联立，整理的方程记为④，则其判别式为Δ=n2-4mw.当Δ>0时，直线l与二次曲线Γ相交;当Δ=0时，直线l与二次曲线Γ相切;当Δ<0时，直线与二次曲线Γ相离.

例1 判断过点（1，2），倾斜角为45o的直线l与椭圆Γ：x22+y2=1的位置关系.

解：直线l的参数方程为x=1+22t，y=2+22t （t为参数），代入椭圆Γ方程，经整理得

32t2+52t+7=0.

由Δ=8>0知，直线l与椭圆Γ相交.

3 直线与二次曲线的交点或弦长问题

将直线l参数方程与二次曲线Γ联立，整理得方程④，当Δ>0时，记两实根分别为

t1，2=-n±n2-4mw2m.

（1）由直线参数方程中参数t的意义知，t1，t2分别为直线l与二次曲线Γ交点A，B所对应的参数，由此可求出交点A，B 坐标为

A（x0+t1cos α，y0+t1sin α），

B（x0+t2cos α，y0+t2sin α）.

（2）根据参数t的几何意义，可知t1=P0A（或t1=-P0A），t2=P0B（或t2=-P0B），具体取值由点P0与点A，B的相对位置决定，则P0A±P0B=t1±t2，P0A·P0B=t1t2，P0AP0B=t1t2，AB=t1-t2.

例2 已知双曲线Γ：x22-y2=1，过左焦点F1作一直线l与双曲线Γ交于A，B两点，当AB=42时，求直线l的斜率k的值.

解：由双曲线方程，知F1-3，0.设直线l的倾斜角为θ，则l的参数方程为x=-3+tcos θ，y=tsin θ（t为参数），联立直线l与双曲线Γ的方程，得

cos2θ-2sin2θt2-23cos θ·t+1=0.

易知Δ=8，所以AB=t1-t2=22cos2θ-2sin2θ.又因为AB=42，所以cos2θ-2sin2θ=12，即cos2θ=12或cos2θ=56.

所以k=±1或k=±55.

例3 已知直线l1，l2倾斜角互补且不为直角，l1，l2与椭圆x2a2+y2b2=1的交点分别为A，B与C，D，试证明A，B，C，D四点共圆.

解：由题意知，直线l1，l2必相交于一点，不妨设为Px0，y0，如图1所示.设直线l1的倾斜角为α，则过点P的直线l1的参数方程为x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t为参数）.联立直线l1的参数方程与椭圆方程，经整理得

b2cos2α+a2sin2αt2+2（b2x0cos α+a2y0sin α）t+b2x20+a2y20-a2b2=0.

由直线l1的参数方程中t的几何意义，则PA·PB=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α.

又因为直线l1，l2的倾斜角互补，所以l2的倾斜角可设为π-α.故直线l2的参数方程为x=x0+tcosπ-α，y=y0+tsinπ-α（t为参数）.联立直线l2的参数方程与椭圆方程，同理可得

PC·PD=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2π-α+a2sin2π-α

=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α.

所以PA·PB=PC·PD，从而A，B，C，D四点共圆.

4 二次曲线Γ中与弦中点有关的问题

设直线l倾斜角为α，弦AB中点Mx′，y′，则直线l的参数方程可设为x=x′+tcos α，y=y′+tsin α（t为参数）.联立直线参数方程及二次曲线Γ方程可得④，记方程④的两解分别为t1，t2，因Mx′，y′为弦AB的中点，由t的几何意义知t1=-t2，即t1+t2=0，亦即中点弦AB中点Mx′，y′对应的参数t=0.

4.1 求二次曲线Γ平行弦中点所满足的轨迹方程

设弦的中点Mx′，y′，则由④式知t1+t2=-nm=0，即2Ax′cos α+2Cy′sin α+Dcos α+Esin α=0，亦即为中点Mx′，y′的轨迹方程.若平行弦的斜率k存在，则中点Mx′，y′的轨迹方程为2Ax′+2Cky′+D+Ek=0.

例4 已知椭圆C：x23+y2=1，求倾斜角为45o的平行弦中点的轨迹方程.

解：设平行弦的中点为Mx′，y′，则弦所在的直线的参数方程为x=x′+22t，y=y′+22t（t为参数）.联立直线与椭圆C的方程，得

2t2+（2x′+32y′）t+（x′）2+3（y′）2-3=0.

因为Mx′，y′为中点，所以有t1+t2=0，即x′+3y′=0.所以中点M的轨迹方程为x+3y=0.

4.2 求二次曲线过定点Px0，y0的弦的中点的轨迹方程

设过P（x0，y0）的弦的中点为Mx′，y′.当动弦的斜率k存在时，k=y′-y0x′-x0，将k代入2Ax′+2Cky′+D+Ek=0中，有

2Ax′+2Cy′-y0x′-x0y′+D+Ey′-y0x′-x0=0，整理，得

2A（x′）2+2C（y′）2-（2Ax0-D）x′-（2Cy0-E）y′-Dx0+Ey0=0①

即中点Mx′，y′坐标满足①式，即得中点M的轨迹方程.

当动弦的斜率不存在时，联立直线x=x0及二次曲线方程，求出交点坐标，再求出中点，通过验证中点是否满足斜率k存在时的方程①来决定是否需要补充这一点.

例5 求过定点0，1的直线被双曲线x2-y24=1截得的弦中点的轨迹方程.

解：设弦的中点为Mx′，y′，则弦所在的直线l的参数方程为x=x′+tcos θ，y=y′+tsin θ（t为参数）.联立直线l与双曲线方程，由t1+t2=0，得

4x′cos α-y′sin α=0.

由直线l的斜率存在时，k=y′-1x′，得4x′-y′-1x′y′=0，即4（x′）2-（y′）2+y′=0;

当直线l的斜率不存在时，直线与双曲线无交点.

综上所述，弦中点的轨迹方程为4x2-y2+y=0（y<4或y≥1）.

5 求二次曲线Γ的切线方程

5.1 求过某定点Px0，y0的二次曲线Γ的切线方程

设过点Px0，y0的切线的参数方程为x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t为参数）.联立直线与二次曲线方程，经整理可得形如（*）式，由直线与曲线相切知Δ=0，可得一个关于倾斜角α的方程，由此可求出切线斜率，再由点斜式即可得切线方程.

例6 过点P（-1，2）作抛物线y2=2x的切线，求此切线方程.

解：设过点P（-1，2）的直线参数方程为x=-1+tcos α，y=2+tsin α（t为参数）.由题意知α≠90o，联立直线与抛物线方程得sin2α·t2+4sin α-2cos αt+6=0.由Δ=0，得2sin2α+4sin αcos α-cos2α=0.又k=sin αcos α，则有2k2+4k-1=0，解得k=-2±62.所以过点P（-1，2）的切线方程为y-2=-2±62x+1.

5.2 求二次曲线Γ的斜率（或倾斜角）已知的切线方程

设切点为Px0，y0，倾斜角为α的切线方程为x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t为参数）.联立切线与二次曲线方程，消去x，y可得（*）式，经整理可得④式.因切点Px0，y0在曲线上，有Ax20+Cy20+Dx0+Ey0+F=0，即③式为0，亦即w=0;又因直线与曲线相切，对于④式，由Δ=n2-4mw=0，得n=0，亦即②式2Ax0cos α+2Cy0sin α+Dcos α+Esin α=0.由此可解出x0，y0，再由点斜式，即可求出切线方程;若无解，则说明满足条件的切线不存在.

例7 求二次曲线ax2+by2=1，（a>0，b≠0）倾斜角为α的切线方程.

解：设切点为Px0，y0，则切线的参数方程为x=x0+tcos α，y=y0+tsin α（t为参数）.联立直线与二次曲线方程，消去x，y，得

acos2α+bsin2αt2+2（ax0cos α+by0sin α）·t+（ax20+by20-1）=0.

由Px0，y0在曲线上，得ax20+by20=1.又由Δ=0，得ax0cos α+by0sin α=0.

（Ⅰ）当cos α≠0时，k=tan α，y0=-ax0bk，联立ax20+by20=1，y0=-ax0bk，得x20=bk2aa+bk2.由题意知二次曲线ax2+by2=1（a>0，b≠0）存在倾斜角为α的切线，则bk2aa+bk2>0，解得x0=±bk2aa+bk2.又因为y0=-ax0bk，所以y0=abkbk2aa+bk2.故所求的切线方程为y=kx±k2a+1b（k=tan α）.

（Ⅱ）当cos α=0时，sin α=1，由ax0cos α+by0sin α=0得y0=0.又由ax20+by20=1，得x20=1a.所以切点为±1a，0.因此过±1a，0且垂直于x轴的切线方程为x=±1a.

6 结论

通过上文分析讨论，我们发现应用直线方程的参数形式能较好地解决直线与二次曲线位置关系的判断、直线与二次曲线交点、弦长、弦中点、切线等系列问题，并能避免繁杂的运算，拓宽学生视野.