借助隐圆解决向量问题 直观想象彰显魅力

庞良绪

摘要：平面向量具有几何与代数的“双重身份”，加之解法灵活多样，备受命题者的青睐.纵观历年的高考及模拟试题，它们大多数都有优美的几何背景，若能透过向量语言把握其几何直观，尤其其中一些试题若能挖掘出隐含的圆，可以避免复杂的代数运算，能使问题快速获解.

关键词： 隐圆;平面向量;直观想象;问题解决

《普通高中数学课程标准（2017年）》指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决问题，主要表现为：建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题[1]. 平面向量具有几何与代数的“双重身份”，加之解法灵活多样，备受命题者的青睐.纵观历年的高考及模拟试题，它们大多数都有优美的几何背景，因此，若能透过向量语言把握其几何直观，尤其其中一些试题若能挖掘出隐含的圆，可以避免复杂的代数运算，能使问题快速获解.下面举例说明.

1 半径圆

若 AB=a ，则可以以A为圆心，a为半径构造圆.

例1已知a=4，b=c=2 ，则a-b·c

-b 的最大值为    .

解析：设OA=a，OB=b

，OC=c，如图1所示.以O为圆心，分别以2，4为半径画同心圆，则a-b·c-b=BA·BC

=BA·BC·cos∠ABC.由图形可知，当BA 取最大值6，BC取最大值4，且BA 和BC同向时，则a-b·c-b的最大值为24.

例2已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足c-a-b=1，则c 的取值范围为    .

解析：设OA=a，OB=b，OC=c，如图2所示.以正方形OADB的顶点D为圆心，1为半径构造圆.由OD=OA+OB=a+b ，得OD=2 ， c-a-b=OC-OD

=DC=1.由于点C是圆周上任一点，则当O，D，C 三点共线且点C在点O，D之间时， c取得最小值2-1;当O，D，C 三点共线且点D 在点O，C之间时， c取得最大值2+1.即c∈2-1，2+1.

2 直径圆

若OA=a，OB=b，OC=c，

a-c·b-c=0，

OA-OC·OB-OC=0 ，

CA⊥CB，则点C在以AB为直径的圆上.

例3已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且向量a，b的夹角为60°，（a-c）·（b-c）=0，则c的最小值是    .

解析：如图3所示，设OA=a，OB=b，OC=c.由题意得∠AOB=π3，|OA|=2， |OB|=3.由CA=a-c，CB=b-c，得a·b=2×3×cos 60°=3.

又（a-c）·（b-c）=0，则CA⊥CB，所以点C在以AB为直径的圆上.

取AB的中点为M，则OM=12（OA+OB）.设以AB为直径的圆与线段OM的交点为E，则c的最小值是OE.因为|OM|=14（OA+OB）2

=12OA2+2OA·OB+OB2

=192，且AB=OA2+OB2-2OA·OB·cos 60°

=7，所以c的最小值是|OE|=|OM|-|ME|=|OM|-12|AB|

=19-72.

例4已知向量a，β是平面内两个互相垂直的单位向量，且3α-γ·4β-γ=0.则γ的最大值为    .

解析：如图4所示， 设OA=3α，OB=4β，OC=γ.由已知得AC⊥BC，于是，点C在以AB为直径的圆上，且此圆过原点，从而OC的最大值为5.

3 四点圆

若四边形ABCD对角互补，则A，B，C，D 四点共圆.

例5设向量a，b，c满足a=b=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，则c的最大值为   .

解析：由a·b=-12，可得a，b的夹角为2π3.又

〈a-c，b-c〉=π3，

若OA=a，OB=b，OC=c，则∠AOB=2π3，∠ACB=π3.

如图5所示，当O，A，C，B四点共圆时，

|AB|=|b-a|=（b-a）2=b2-2a·b+a2=3.设此圆的半径为R，则2R=ABsin∠ACB=2，即R=1.所以当且仅当OC为圆的直径时，|OC|=|c|有最大值，最大值为2R=2.

例6 在平面四边形OABC中，已知OA=3，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB=60°，若OB·AC=6，则OC=   .

解析：如图6所示，分别以OA，OC所在直线为x，y 轴，建立平面直角坐标系，设OC=m.由∠CBA=∠AOC=90°，可知O，A，B，C四点共圆，∠AOB=∠ACB

=60°.设Bb，3b，则OB·AC =b，3b·-3，m=-3b+3bm =6;又由AB⊥BC，得AB·BC

=b-3，3b·-b，m-3b =

-4b2+3b+3bm=0 .

解得m=3.故|OC|=3.

4 极化圆

极化恒等式：在△OAB 中，M是AB 的中点，OA·OB=OM2-14AB2 .当线段AB固定时，可根据极化恒等式构造以AB的中点M为圆心的极化圆.

例7已知平面向量a，b，c满足a·b=60，a-b=4，a-c=1 则c 的取值范围为   .

解析：如图7所示，作OA=a，OB=b，OC=c，线段AB的中点为M且AB=4，点C在以点A为圆心的单位圆上.由极化恒等式OA·OB=OM2-14AB2，得OM=8 ，即点O在以M为圆心8为半径的圆上.因为点C在以A为圆心的单位圆上，所以c的最小值|EF|=5， c的最大值|DE|=11.故c∈5，11.

5 阿波罗尼斯圆

A，B为平面内两个定点，若该平面内的动点P满足PA

PB=λ（λ>0，λ≠1） ，则点P的轨迹为圆，该圆的圆心在直线AB上.

例8设点P是△ABC所在平面内的动点，满足CP=λCA+μCB，3λ+4μ=2且PB=PC ，若|AB|=3 ，则△ABC的面积的最大值为   .

解析：如图8所示，在边AC上取一点M，使|MC|=2|MA|，取BC的中点N.由PB=PC可知，点P在BC的垂直平分线上.又CP=λCA+μCB=3λ2CM+

2μCN，因为3λ2+2μ=1，所以点P在MN上.因此，MN⊥BC，|MB|=|MC|=2|MA|，即点M的轨迹是圆心在AB上，半径r为2的阿波罗尼斯圆.

因此，SΔABC≤12·|AB|·3r=9.

上述介绍了借助隐圆解决平面向量问题，需要指出的是，在问题解决的过程中，并不是追求高难度的解题技巧，而是着眼于对数学问题和数学本质的理解，在重视几何直观的同时，也不能忽视代数运算.要引导学生达成“脑中有形”（亦即数学抽象、直观想象），心中有数（亦即逻辑推理、数学运算），手中有术（亦即数学建模、数据分析）[2] .

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]岳峻.基于GeoGebra的“数学可视化”助力探究教学[J].中学数学，2020（5）：45-46，49.