落实“五育并举” 注重理性思维 突出综合素养

摘要：研究分析2022年高考数学全国乙卷的整体特点，呈现部分典型试题评析，结合教学实践给出“研读课程标准与教材，落实‘四基‘四能”“深化模型理解，提高运算能力”“坚持全面育人，落实提质减负”“提高试题质量，实现教—学—考一致性”等思考与建议.

关键词：全国乙卷;高考数学;五育并举;理性思维;综合素养

2022年高考，全国乙卷被河南、安徽、江西、山西、陕西、吉林、黑龙江、宁夏、甘肃、青海、新疆、内蒙古等省区采用，是今年高考使用范围最为广泛的一份试卷.考试后部分学生反映“老师讲的（内容）试卷没考，试卷考的（内容）老师没讲”，试卷总体难度较大，学生无法适应;部分教师反馈复习备考做了大量的无用功，不知道以后如何教.以上省区中的多数2023年高考仍将采用老高考模式（由于使用了新教材，考试内容会作适当的调整，如删除选考题等）.笔者以2022年高考数学全国乙卷（以下简称全国乙卷）为例，窥探高考命题趋势，为师生的教与学提供参考.

1 整体特点

2022年全国乙卷的使用省区与2021年相同，地域较广，考虑到学生水平的差异，试卷稳中求变，变中求新，即总体结构不变，局部稍作调整[1].

1.1 文理同题数量增多，为文理合卷吹响号角

为保持文科试卷的难度平稳，增强理科试卷的区分功能，同时为文理合卷做足铺垫，2022年全国乙卷文理科相同试题的比例提高了，只是在文理科试卷中题序位置可能有所不同.文理同题（括号前为理科试题题号，括号内为文科试题题号，下同）有第5（6），6（7），7（9），8（10），9（12），13（14），14（15），19（19），20（21），22（22），23（23）题等.局部相同的试题有理科第17题第1问与文科第17题第2问，理科第18题第1问与文科第18题第1问.姊妹题有第1（1），2（2），3（3），12（16），21（20）题等.它们考查的知识点相近，形式略有不同，解题思路方法相同，难度略有差异.

1.2 解法多样，甄别学生思维的层次性

基础题理科有第1，2，3，4，5，6，13，14，17，18题等，文科有第1，2，3，4，5，6，7，13，14，15，17，18题等，均考查学生的基础知识.这些试题起点低、入口宽，思维能力决定着解题的效率.如理科第4题解法1可通过特殊数列{an}（如an=1）排除选项;解法2以选项为标准，对各个选项中两项进行差异分析;解法3从{bn}的结构出发，探究{bn}的基本性质：b2k-1>b2k，b2k-1>b2k+1，b2k

1.3 注重理性思维，强调解题规范

学习即生活，我们要在学习中提升思维能力，养成良好的生活习惯.如，第9（12）题如何实现四棱锥体积最大？可先保持顶点O到底面ABCD的距离h不变，需要四边形ABCD的面积最大，只有当四边形ABCD为正方形时才能满足，此时才能构建四棱锥O-ABCD的体积关于某自变量的函数，而自变量是选ABCD的边长a还是四棱锥的高h？后续求最值的繁简程度不同.又如第17题理科第1问（文科第2问）的背景是正弦的平方差公式

sin（α+β）sin（α-β）=sin2α-sin2β，但二级结论不宜直接用于解答题的解答或证明，而应对其先行证明或直接用正弦定理和余弦定理规范解答.

1.4 落实五育并举，加强数学运算

高考的核心功能是立德树人、服务选才、引导教学，构建德智体美劳全面培养的教育体系是新时代教育和高考的重要任务[2].全国乙卷理科第4题以嫦娥二号卫星成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星为背景，有利于激发学生的爱国热情，强化德育教育;又如第13（14）题为社区服务问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决问题的能力，试题的情境具有时代性，体现志愿精神，具有积极的教育意义.每个试题均体现理性思维，考查学生的智育.理科第10题以棋类比赛为背景，可以激发学生参加体育运动的兴趣.理科第4，9，23题渗透着结构形式的对称美.第19（19）题以社会关注的环境治理为背景，依托“绿水青山就是金山银山”的理念，将社会生产劳动实践情境与数学基本概念有机结合，发挥高考在培养劳动观念中的引导作用.近年来，学生的运算能力一直有下降的趋势.“得运算者得高考”，全国乙卷2022年比2021年运算量大、综合性强，如文理科的第20，21题等.

2 试题分析

2.1 强化题意理解，遵循命题意图

解（证）题就是信息输入—处理—输出的过程，即通过审题摄入有效信息，然后对信息进行加工处理，最后将结果规范地表达出来.因此，准确理解题意是正确解题的前提.审题时要通读全题，然后对关键信息进行精读，弄清问题的结构与逻辑.

例1（理科第16题）已知x=x1和x=x2分别是函数f（x）=2ax-ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点.若x1

分析：“x=x1和x=x2分别是函数f（x）的极小值点和极大值点.”与“函数f（x）的极小值点和极大值点分别为x=x1和x=x2”一般意义不同，前者极小（大）值点未必唯一，而后者极小（大）值点一定唯一.问题等价于f′（x1）=f′（x2）=0，且f′（x）在x=x1处“左负右正”，在x=x2处“左正右负”.解法1，先求y=

ln a＼5ax与函数y=ex相切的临界值，再结合y=ln a＼5ax的图象与a的关系求解;解法2，先判断函数f（x）的单调性，再确定函数f（x）的极值点，逻辑推理更严谨.

2.2 尝试一题多解，倡导优解妙法

对于相同数学对象，由于解题者的学习经验积累不同，因此审题时切入点不同，选择的方法也不尽相同.我们要揭示出问题的本质，然后对各种方法进行综合衡量，选择出优解妙法.

例2（理科第11题）双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（  ）.

A.52

B.32

C.132

D.172

分析：本题直线MN可能与双曲线的一支或两支相交，解题的关键是如何使用cos∠F1NF2=35.解法1从几何角度出发，过点O，F2分别作直线MN的垂线，垂足分别为A，B，根据相似三角形搭建桥梁，构造直角三角形利用双曲线的定义“算两次”;解法2，在△F1NF2中利用正弦定理，运用“合分比定理”和双曲线的定义构建方程，需要用到两角和的正弦公式;解法3为坐标法，直接求出点N的坐标，结合图形利用两角差的正切公式，两种情况下点N的坐标不变使解题过程得到简化.一般来说，几何法要确保图形的真实性（存在性与代表性），代数法利用整体可能会出现研究对象不存在的情况，无论哪种方法都要验证结果的存在性.解析几何是几何的一门分支，归根到底仍然是几何，解题时要尽可能挖掘其几何性质，规避繁琐的运算.

2.3 挖掘对象特征，明晰解题方向

解题时要对研究对象的特征与性质进行深入挖掘，进而确定解题方向.在解题过程中可能会出现思路受阻的情况，这时要具体问题具体分析，结合实际情况进行调整或优化.

例3（理科第12题）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2-x）=5，g（x）-f（x-4）=7.若y=g（x）的图象关于直线x=2对称，g（2）=4，则∑22k=1f（k）=（  ）.

A.-21

B.-22

C.-23

D.-24

分析：本题依托f（x）与g（x）的关系和g（x）的部分性质隐性给出函数f（x）的性质.解法1研究函数f（x）的对称性（f（x）关于x=0与点（-1，-1）对称）和周期性（T=4），化整为零，聚零为整，并项求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+5

∑4k=1f（k）;

解法2利用关系式f（x）+f（x-2）=-2局部分组与并项求和

∑22k=1f（k）=f（1）+f（2）+[f（3）+f（5）+……+f（21）]+[f（4）+f（6）+……+f（22）]，也可研究函数g（x）的性质并求f（1），f（2）的值.两种解法本质相同，只是表达的形式不同.

2.4 模型引领方向，注重理性精神

模型是通过主观意识借助实体或者虚拟表现，构成客观阐述形态结构的一种表达目的的物件[2]. 只有深入理解数学模型，解题时才不致于张冠李戴.

例4（理科第18题）如图

1，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，

∠ADB=∠BDC，E为AC的中点.

（1）证明：平面BED⊥平面ACD;

（2）设AB=BD=2，∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

分析：第（2）问由“△AFC的面积最小”确定点F的位置，由勾股定理逆定理得BE⊥DE.如何求直线与平面所成的角？解法1为坐标法，如以E为原点，以EA，EB，ED所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E-xyz.解法2为等体积法，先求CF=72，再由

VC-ABD=VD-ABC

得点C到平面ABD的距离为h=

2217.解法3为定义法，要弄清点C在平面ABD的投影的位置.先证平面ABD⊥平面ACF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，则CG⊥平面ABD，则CF与平面ABD所成的角为∠CFG，即∠CFA或其补角.事实上，∠CFA是钝角，即CF与平面ABD所成的角为∠CFA的补角.

2.5 突出问题逻辑 重视恒等变形

推理是数学的“命根子”，运算是数学的“童子功”.要想解决问题必须抓住问题的结构与逻辑.学生若对问题的结构特征熟视无睹，则难以找到解题的思路;学生若不明晰问题的逻辑，必将导致漏洞百出.解题离不开恒等变形，某一步变形若不恒等，一般要对其查缺补漏.

例5（理科第21题）已知函数fx

=

ln1+x+axe-x.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程;

（2）若f（x）在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围.

分析：要否定命题只需举一个反例，而肯定一个命题必须证明.对于第（2）问，解法1为函数最值法，抓住f0=0，确定参数a的分类讨论标准（不唯一）是关键.当a≥0时，可通过在区间（-1，0）上f（x）<0来排除;当

-1≤a<0时，可通过在区间（0，+∞）上fx>0来排除;当a<-1时，研究函数f（x）在（-1，0），（0，+∞）上的单调性，用零点定理判断根的存在性更有说服力，但需要确定区间的端点，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高.学生往往用指数函数、幂函数的增长速度进行比较：当x→-1时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→+∞.解法2为分离参数法，当x≠0时，由fx=0，得

-a=exln（1+x）x

，转化为函数px=exln1+xx的单调性与值域问题;解法3为图象法，转化为直线

y=ax与函数m（x）=-exln（x+1）

的图象在区间（-1，0），（0，+∞）各恰有一个公共点，需要探寻m（x）的单调性、值域与凹凸性.

2.6 强化数学运算，重视数据分析

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.数据分析是针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养[3].因此，运算方向的准确性与方法的合理性至关重要.

例6（理科第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且经过A（0，-2），B32，-1两点.

（1）求E的方程;

（2）设过点P（1，-2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点.

分析：求定点、定值问题常见的方法有两种.①从特殊情况入手求出定值，再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.第（2）问为圆锥曲线的非对称问题，可通过两种特殊情况下的直线MN（如直线MN的斜率不存在与直线MN过椭圆E的上顶点）确定直线HN过定点（0，-2）.背景为射影几何中的“极点与极线”，即点P（1，-2）对应的极线为直线AB，则AP，AB，AM，AN为调和线束.过点M作MH∥AP交AB，AN于点T，H，由调和性质可知T为MH的中点. 极点极线是圆锥曲线的一个基本特征，自然成为命题者命题的背景知识和方向.若学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质.

3 几点思考

3.1 研读课程标准与教材，落实“四基”“四能”

高考考什么？怎么考？老高考考试内容以《普通高中数学课程标准（实验）》为标准，以《中国高考评价体系》为导向，以所学教材为载体，只有坚定目标才能做到精准定位.如第6（7）题考查程序框图，文科第5题考查线性规划.又如第19（19）题第（2）问，学生不能将r=

∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2变形为r=

∑ni=1xiyi-nx y∑ni=1x2i

-nx2∑ni=1y2i-ny2的形式，无法直接使用试题所提供的参考数据，只能将表格中的原始数据代入原型公式，导致不必要的运算.高考前“这届学生是第一届全程疫情的考生”“2022年是全国落实‘双减的第一年”“老教材的最后一次高考”等因素导致今年高考难度降低的预言被现实击得粉碎.唯有踏踏实实复习备考才有好的出路.

3.2 深化模型理解，提高运算能力

理科第21题第2问是关于含参数等式恰成立问题，常用解法有函数最值法、分离参数法、图象法、必要性条件法等.解法1对参数a进行分类与整合，利用零点定理求解，与解法2、解法3本质相同均为数形结合思想方法的运用.如何提高运算能力，需要学生平时多积累必要的知识和解题经验，更重要的是切实经历数学运算的完整过程.

3.3 坚持全面育人，落实提质减负

2020年10月，中共中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象.高考试题在命制时充分考虑到学生能力的个体差异，绝大多数试题的解题方法、方式不是唯一的，而是多种多样.基础好、能力强的考生可以通过深入的思考找到简捷的途径，快速解决问题，而基础一般、能力中等的考生运用基本的方法也能解决问题，只是作答比较繁琐、用时较多[4].减轻中小学生不合理的学业负担，长期以来备受学校、家长和社会关注.教育要遵循教育规律，科学提升精准教学的效率，让学生更好地发展.

爱因斯坦曾在《培养独立思考的教育》一文中表达过：“负担过重，必导致肤浅.”一方面试题越来越灵活，另一方面教学要求增质减负.如何解决这看似不可调和的矛盾？这就需要教师把准方向，在“理解数学、理解学生、理解教学、理解技术”基础上进行精准教学. 学之道在于悟，教之道在于度.造成现在学生负担较重的一个重要原因是课堂上的二级结论过多.何为二级结论？笔者认为二级结论是针对考试而衍生的名词，其相对于一级结论而言，不同知识储备的人对二级结论的认定也不相同.我们常常把教材中的公理、定义、定理、基本公式作为一级结论，而二级结论就是由这些一级结论得到的结论，它们一般是有利于考试的一些经验性结论.二级结论好比是建在两座高山山腰之间的栈道，从一座山峰到另一座山的高峰，无需先到山脚下再进行攀登，而是从山腰的这个栈道快捷地到达，它是“智者”经常涉足的一条省时省力的捷径.随着学科的发展和人们认知水平的普遍提高，以前的二级结论可能会升级为一级结论，又挖掘出更新的二级结论（三级结论、四级结论……，由于级别区分的界限模糊，可将其统称为二级结论），导致二级结论数目众多，适用范围越来越窄（对某些条件更具针对性），技巧性越来越强.学生掌握二级结论的好处是：直接运用于客观题，明确解答题的结论与方向然后再进行规范的表达.教师讲授二级结论的反馈：（1）学生对教材的理解与使用不到位，不同于教材的结论往往更能引发学生的兴趣，补充二级结论的教师往往能获得多数学生的认同、依赖甚至崇拜;（2）能够掌握二级结论的学生解题效率更高;（3）对资优生锦上添花，使他们视野更开阔，理解得以深化，认知水平得以提高，兴趣得以提升;（4）囿于教师水平和教学时间，只有结果而无过程的结论加大学生知识识记的容量，但没有真正理解只会让学生的数学学习雪上加霜.事实上，学生死记硬背的结论在考试中也难以将其应用，只要掌握好一级结论并总结积累数学活动经验，就会自然而然地发现并理解常用的二级结论.近年来，高考客观题使用二级结论的试题逐渐减少，解答题的解题方向也更明晰，能够直接套用二级的试题越来越少.高考表面在反套路与反押题，实质是淘汰那些浅尝辄止只想走捷径的学生.理科第20题的背景是否需要在课堂上讲授？笔者认为完全没有必要，即使教师讲了，学生也未必能听得懂、分得清、用得上，只会让绝大多数学生具有挫败感.为了避免学生“吃不饱”，可对具有强烈数学兴趣的学生给予个别指导.让不同的学生学习不同的数学，让不同的学生在数学上得到不同的发展.

3.4 提高试题质量 实现教—学—考一致性

客观题能考查学生视角的独特性与思维的灵活性，但也存在少数学生“碰巧”的可能，无法体现学生的思维过程.如部分学生解答第9（12）时出现了“不妨设四棱锥的底面是正方形”，用特殊代替一般，认知理解错误但答案正确.试卷容量较大，学生临场去想，没有足够的时间与精力去做更多可能会做的题，学生更期待在平时将题型练熟.因此，笔者建议试卷可以参考新高考试卷减少单选题、增加多选题（多选题比单选题难度增大，对学生知识精度的要求更高，更能客观地反映学生的真实水平），减少试题数量（或者增加数学考试时间）.

高考是教与学的风向标与指挥棒.实现教—学—考的一致性是我们要努力的方向与目标.当前师生更多聚焦解题的性价比，教与学中对学生长远发展的关注度远远低于高考可能取得的分数.如，部分师生放弃通过努力就能够解决的问题，转而对常规问题进行专项强化等.因此，笔者建议命题可加大开放度，评卷赋分（在一定规则指导下）增加灵活度，实现客观性与主观性的统一，让学生优秀的想法或解法在分数上有所体现.如理科第18题第（2）问解法1与解法2对点C在平面ABD上的投影“设而不求”，思维含量不高，而解法3需要确定点C在平面ABD上的投影的位置，对学生的思维和推理能力要求较高，出错的可能性更大，理应获得更多的收益.

参考文献：

[1]郑良.聚焦核心素养 凸显数学本质——2021年高考数学全国乙卷试题评析与教学启示[J].中小学课堂教学研究，2021（9）：54-59.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系 [M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]中国人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[4]晨旭.突出逻辑推理 加强应用能力考查——2014年全国高考数学试题评析[J].中国考试，2014（10）：14-17.