基于教育数学思想“面积之算两次”的实践研究

曾立萱

摘  要：“算两次”是指将同一个量采用两种不同的形式来表示出来，以等量关系来求解的一种数学思想方法。在初中阶段运用面积“算两次”方法，可以帮助学生巧妙地解决一些经典的几何图形问题。初中阶段的数学学习对学生来说有着一定的难度，这主要是因为数学知识有着一定的逻辑性，对学生的思维能力有着较高的要求，特别是几何题型的解决上，困扰着很多学生。而在初中数学课堂上，教师提倡学生采用“算两次”的数学方法解决几何问题，这对提升数据计算的准确性有着重要的作用。对此，文章中基于教育数学思想进行了“面积之算两次”的实践研究。

关键词：教育数学思想；面积；算两次；实践方法

目前，初中阶段的数学知识在难度上有了明显的增加，很多初中生的数学成绩并不是很理想，虽然很多学生都表示错题中有很多是自己已经熟练掌握的题型，但是因为马虎出现了计算问题，最终导致题目出现问题，可以说这样的错误几乎初中生都遇到过。“算两次”的方法可以有效地解决这个问题，对学生难以解决的面积问题，通过将面积“算两次”，可以辅助学生解决一些经典的数学问题，保证计算的准确性，全面提升数学教学质量。

一、“算两次”内涵

“算两次”属于一种重要的数学思想方法，初中阶段有很多学生对“算两次”的含义掌握不够准确，在运用时难以获得良好的效果。其实，“算两次”是指学生在计算数学问题时，需要采用不同的方法来解答，得到一个等式，这样就可以有效地提升初中生的计算准确率。比如学生在学习几何图形的体积计算内容时，教师就可以引导学生采用等体积法。如所求图形为三角形，给出三角形及三个面的面积，以及一条高，求另一条高。若是想解决这个问题，采用“算两次”的方法来实施，学生首先要明确三角形的体积是不变的。

二、基于教育数学思想“面积之算两次”的实践

（一）基于感悟反思，实现数学思想渗透

初中数学教育不应只是实现知识精准传递，而是运用数学思想点燃智慧火焰，将学生思维能力做到极大程度提升，引导学生从多角度去分析与解决各类数学问题，从而实现以点带面，学生才能突破问题表象，凭借脑中知识与数学能力直达问题本质，获得数学能力不断强化。在数学文化与思想的传递中，初中数学教师从教材入手，设计变式习题，引导学生通过练习对数学思想这一宝藏做到精准挖掘。算两次思想的传递需要教师引导学生运用两种不同方式完成同一问题的计算，而不是简单的一题多解。学生在算两次思想的渗透下根据同一结果反过来运用不同角度去挖掘潜在信息并加以整理，从而转换思想去寻找解决途径。在初中数学课堂中，教师必须重视算两次思想的渗透，帮助学生揭示数学思想，学生会找到探索与运用知识的方法，为学生全方位发展夯实基础。

例如教师为了培养学生反思习惯，运用经典例题引导学生。首先，教师给出已知条件：两个直角三角形的边长分为别ａ、ｂ、ｃ，另一个直角三角形的两条直角边是ｃ，这３个直角三角形以组合的方式构成一个梯形（如图１所示），要求用两种不同计算方式完成梯形面积计算。其次，学生在认真观察中，意识到梯形构成特点，从而意识到可以直接运用梯形面积公式进行计算。在此基础上，学生还从不同角度考虑，将３个三角形各自面积相加之后也能求出梯形面积，轻松找出两种方法获得梯形面积。再次，学生列出■（a+b）（a+b）=■ab+■ab+■c2，通过进一步整理得出a2+b2=c2。最后，学生发现直角边长与斜边之间的关系完全是满足a2+b2=c2，从而在面积计算过程中又对勾股定理进行验证，加深学生对数学知识的记忆，保证在变式习题中灵活与准确运用。教师还鼓励学生对算两次的过程进行对比，学生从图形面积、三角形特点等方面入手，建立起相等关系，实现数学思想科学渗透，帮助学生对自身发现结论做到全面归纳。

（二）消除定势思维，培养学生发散思维

在初中数学课堂中，教师必须运用现代教育技术引导学生走出定势思维，使得学生可以运用两种思路完成问题的解决，从不同角度去表达同一个量，最终通过构造等式的途径去实现问题求解并得到准确答案。由于部分初中生思路受限，面对与面积相关的问题时并不能从多角度考虑，而是生搬面积求解公式，导致学生无法形成算两次的数学思想。那么，初中数学教师应站在初中生角度考虑，结合初中生成长特点与思维特征来完成算两次数学思想的渗透，帮助学生从具有相同特点的公式入手，对图形特点有进一步了解，同时对同一内容做到全面分析，列出算式并完成计算，也是对数形结合思想的一种传递。

例如教师依托三角形相似性质来引导学生，设计优秀例题打开学生思维空间。教师运用生活情境鼓励学生思考“在锐角三角形ＡＢＣ中，ＢＣ长度为１２ｃｍ，ＡＤ为三角形的高，ＡＤ＝８ｃｍ。工人需要将其制作成正方形零件，而且这个正方形的一条边需要在ＢＣ上，保证顶点位于ＡＢ和ＡＣ两个边上（如图２所示），求加工后的正方形边长与面积分别是多少？”。学生马上开始观察图形，同时设ｘｃｍ为正方形边长，再结合三角形特点及面积公式，从而得到ＡＥ＝ＡＤ＝ＤＥ＝（８－ｘ）ｃｍ，接着列出ＢＱ＋ＣＭ＝ＢＣ－ＱＭ＝（１２－ｘ）ｃｍ。在此基础上，学生由三角形相似性质入手，考虑到相似三角形所对应的高度比实际上是等于相似比，对这一知识加以应用，得到S△ABC=■BC·AD=■×12×8=48（ｃｍ２）。

学生还将相似性质不断延伸，得出：

S△ABC=S△BPQ+S△NMC+S正方形PQMN=■PN·AE+■BQ·PQ+■CM·MP+PN2=■x（8-x）+■（12-x）·x+x2=10x（xm）2

∴ 10x=48  ∴ x=4.8

那么，正方形边长为４．８ｃｍ，面积为２３．０４。在该例题的讨论中，学生将巧妙划分为４个部分，其中３个为三角形，１个为正方形。学生能够从面积计算特点入手，运转思维并创造出两种解题方式，感受到解题趣味性，成功对一题多解有进一步认识，形成算两次数学思想。

（三）依托观点转换，提炼问题关键信息

数学学习离不开反复解题，学生如果能在解题过程中明确思路并找准大方向，那么将直接挖掘出问题中具有关键性的信息，从而看透问题本质，使得学生感到回味无穷，乐于通过算两次方式对自身想法做到科学验证，强化学生必须具备的数学能力，学生也能形成算两次的数学思想，为后续各阶段数学学习带来极大程度促进。由于算两次是具有灵活性的娄科学家方法，为了得到最终结果，学生需要把同一个量运用具有不同方式的两种方法进行科学表示，同时也能反过来使用两种思路完成同一个量的准确计算，简言之，即于从两个不同的角度来实现一个量的最终考查，学生将转换观点去看待具有探究意味的数学问题。在初中数学课堂中，面积计算中蕴含着运用不同角度去计算的思想，学生在面对与面积相关的数学问题时可以选用普适性的手段，也可以基于算两次思想去深挖问题中的关键信息，从而找到等量关系，学生思维呈现出发散性，同时依托自身数学建模能力去计算并找到正确答案。为了实现算两次，教师通过课堂互动或者小测试等不同方式对学生解题常用角度做到分析，基于稚化思维培养帮助学生揭示算两次这一数学原理中的本质，学生感受到算两次的乐趣，从而主动从另一个角度去思考，使得算两次这一数学思想转换为学生学习与探究过程中的利器。

（四）引入数形结合，培养学生理性思维

在初中阶段的数学课堂上，教师需要有意识地引导学生进行“算两次”思考，通过细心的研究后，学生就会发现初中阶段的很多数学知识都可以采用该种方法来解决。如学生经常使用到的各种图形面积、体积的原酸等，且很多的公式使用起来比较灵活，所以这就需要教师善于引导学生运用“算两次”方法，探索崭新的解题思路，以此来提升学生的数学成绩，帮助学生实现理性思维能力的提升。

在具体教学时，教师就可以引导学生以“算两次”的方法来解决习题。教师在指导学生运用“算两次”数学思想计算时，一是要使得学生明确这道题目的两种计算方式，即Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２＝８ｎ＋５ｎ＝（８＋５）ｎ，通过将８ｎ与５ｎ合并时，通过将系数８和５进行合并，ｎ是固定量，这样就可以引入合并同类项的法则，即合并同类项时，需要将同类项的系数相加，子目和字母的指数不会发生变化。随之引入“算两次”法则，从分开与合并的两个角度来观察和分析这个问题，便可以得到两个不同的结果，且两个结果相等，这样就可以保证学生计算的准确性。从这道题目来看，不管是分开还是合并，都是学生思考问题的不同角度，当学生掌握了面年纪不变，便可以轻松地引入法则，有效地帮助学生了解了数形结合的思想。

（五）巧妙构思解法，锻炼学生综合能力

教育教学需要以学生已有的知识经验为出发点，激发学生探索新知的欲望。所以，在初中数学课堂教学期间，教师对教学工作的设计则需要充分的考虑到学生在知识探索过程中对知识的掌握程度，引导学生在自主探索与操作实践的过程中，形成分析和解决数学问题的综合能力。在初中数学教学中，相似三角形所占的比重比较大，且难度偏高，历来是各地中考常考的内容，一直困扰着初中生。“算两次”作为重要的数学思想方法，在数学课堂教学期间，教师便可以利用“算两次”的方法引导学生探索不同的问题解答思路，发掘学生的潜能，引导学生在巧妙构思解法的过程中，完善自身对数学知识的理解。因此，在初中数学课堂教学期间，教师则需要善于引入“算两次”，引导学生从不同的角度来探索问题的解决方法，从而实现学生创造性思维的发展。

（六）立足知识关联，构建数学知识网络

目前，站在初中数学教学工作的角度分析来看，由于初中数学知识难度有了明显的增加，对学生的思维能力有了更高的要求，这对还没有完全掌握数学知识理论的学生来说存在着一定的困难。且数学教材中的很多定理、公式知识理解起来难度较大，学生对这些知识的运用上存在着诸多的缺陷。所以，为了帮助学生突破知识难点，教师则需要借助数学知识间的联系性来帮助学生理解知识，构建完善的数学知识网络。

例如若是△ＡＢＣ的三条边分别为ａ、ｂ、ｃ，请学生尝试写出该三角形的内切圆半径公式。教师指导学生对题干进行分析时，可以假设内切圆的圆心为Ｏ，半径为ｒ，通过连接ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ。一方面，由海伦－秦九韶公式，

可得Ｓ△ＡＢＣ＝■其中ｐ＝■。

另一方面，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△OＡＢ＋Ｓ△OＢＣ＋Ｓ△OＡＣ＝■ｃｒ＋■ａｒ＋■ｂｒ，经过整理可得：

ｒ＝２■

＝■。

从该题目的解题思路分析来看，其在整体表示三角形面积时，运用了海伦－秦九韶公式，将三角形面积计算与其三边联系起来；然后采用分割法来标识三角形面积时，也将面积计算与三边联系了起来，符合“算两次”的巧妙论证。经过运用“算两次”思想方法，不仅可以帮助学生从不同的角度来思考问题的解答方法，还可以引导学生抓住知识之间的联系，构建完善的知识网络。

三、结语

总而言之，现阶段初中生的数学学习问题已经成为困扰初中生的重要问题，当前辅助学生掌握新的学习方法解决数学问题势在必行。目前，新课改实施以来，提倡初中数学课堂采用“算两次”的方法来解决问题，探索数学知识的本质。对困扰初中生的面积问题，通过“算两次”的方法，不仅可以引导学生换个思路解决问题，还能够深化学生对数学知识的理解与掌握，这样学生对面积问题的解决就可以运用“算两次”来解决问题，从而提升学生的计算准确率和数学学习能力。

参考文献：

［１］张宁． “算两次”原理在解题中的应用［Ｊ］． 数理化学习（初中版），２０２１（１０）：１３－１５．

［２］陈玉兰，吴志鹏． “算两次”在解三角形中的运用［Ｊ］． 中学生数理化（高二数学），２０２１（０９）：３１－３４．

［３］项雪飞． 算两次思想在解析几何中的简单应用［Ｊ］． 中学数学，２０１９（２３）：５５－５６．

（责任编辑：莫唯然）