“APOS”理论下几何概念教学的实践探索——以苏教版数学第一学段为例

江苏省南京市东山小学 施 琦

概念是思维的核心，也是学生理解知识和培养思维能力的基础，它具有强烈的抽象性。低年级学生以具体形象思维为主，这与学习概念所需要的抽象性、严谨性不相符，导致其在进行概念学习时会遇到困难。那么，如何让数学学习活动符合学生的心理特征，从而让学生能够更加深入地理解概念呢？笔者认为，教师在设置教学活动时，可以从生活中寻找数学概念的原型，增强学生数学学习的体验感，从而有效帮助学生理解概念，把握概念本质，为之后的学习打下坚实的基础。

一、第一学段几何概念教学内容分析

数学课程标准将小学阶段的数学教材按照：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等内容分为四个部分。著名特级教师邱学华也曾将小学数学概念大致分为数的概念、运算的概念、数的整除性的概念、量的计量概念、几何形体概念、比和比例概念、简易方程概念、应用题概念、统计图表概念，共9大类。本文主要研究数学第一学段的几何概念，通过对苏教版数学教材的梳理，按照教材的顺序梳理出如下第一学段的概念的分布情况（见表1）：

表1 第一学段“图形与几何”概念的分布情况

（续表)

从第一学段教材的编排来看，教材的编写基于学生的心理特征和认知发展规律。一年级开始，学生初步认识立体图形及平面图形，这个阶段的学习注重从学生的生活直观角度出发。学生通过观察、比较并结合生活经验可以比较轻松地认识几何体，因此，在一年级教材就编写常见的立体图形与平面图形，让学生初步感知；接着进入从一维到二维的结构，由点到线，再由线到面，让学生能够更加轻松地接受几何概念。

例如，一年级通过长方体和正方体上的面认识长方形和正方形，到三年级是在学习线段和角的基础上，又进一步认识长方形和正方形，知道它们的长、宽和周长，以及面积。同样都是认识长方形和正方形，但学生对于概念的理解又加深了一个层次。

二、基于“APOS”理论，设计教学活动

“APOS”理论是美国数学教育家杜宾斯基提出的一种关于数学概念学习的理论。“APOS” 分别代表 Action（活动）、Process（过程）、Object（对象）和 Scheme（图式）。这一理论是以建构主义的学习理论为基础，它的核心在于引导学生通过心理建构把握数学概念本质。这一学习理论以学生为学习的主体，注重在概念形成过程中，给予学生足够的时间进行动手操作、合作交流、经历概念形成的四个阶段，在学习过程中发展学生各个方面的能力。

（一）活动阶段：依托“生活经验”，进行概念导入

1.存在问题：忽视概念导入，让数学学习停留表面

概念的导入是学生理解概念的首要环节。有些教师倾向于通过复习旧知导入，而且多以小练笔的形式复习旧知；有些教师喜欢开门见山的导入，直奔主题导出概念，接着进行新课的教学；有些教师喜欢借助生活情境，发掘生活中与概念有关的物体，借助实际物体或实际情境，以学生的生活为切入点，导入新课；极少数的教师会利用小故事或数学史的相关知识进行导入。结合参与调查者的教学年限，笔者发现多数使用问题情境导入和小故事导入的多为工作10年以下的教师，大部分工作时间在20年以上的教师基本采用直接导入或复习旧知导入的方式。仍有不少教师忽视概念导入，让学生后续的概念学习只停留在表面。

2.解决方案：深入研究教材，还原概念内涵

弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，扎根于现实，并应用于现实。在导入环节的教学中，教师应根据教材编排选择适合的活动素材，设计的数学问题要贴近学生生活实际，有助于调动学生学习的积极性，并且活动的内容要丰富。这一环节为学生后续的概念学习打下基础。

例如，在“认识线段”一课的导入环节，教师采用的是学生拔河比赛的场景，一张图上的绳子是弯的，一张图上的绳子是直的，让学生通过绳子的状态来判断哪一张是学生正在进行拔河比赛的照片。接着出示一根毛线，让学生在拉一拉的活动中体会绳子由曲到直的过程，从而初步感知线段直的特征。

再如，苏教版数学三年级上册“长方形和正方形的认识”一课的导入环节，学生身边的空中花园是一个形状分明的菜地。因此，教师在设计本课时，展示了一个花园的示意图（图略），让学生在现实情境中寻找熟悉的图形，唤醒其对长方形和正方形的初步记忆，找准学生的学习起点。

（二）过程阶段：亲历活动体验，探究概念特征

1.存在问题：忽视操作体验，错失概念形成的关键阶段

通过问卷调查教师在课堂上开展活动的形式，笔者发现，超50%的教师根据内容和时间随机安排，22.3%的教师是选择自己演示的，只有22%的教师会选择经常让学生自己动手操作。由此可看出，多数教师在进行概念教学时，忽视了操作体验给学生带来的作用。通过访谈，我们询问了部分教师在第一学段较少安排动手操作的原因。主要是学生年龄小，对于教具的好奇心强，往往会将教具当成玩具，导致一节课下来，知识点却没掌握。笔者在实际教学中也遇到过相似问题，通过几次磨课，发现其本质不在于学生喜欢玩弄学具，而在于教师对于学生没有明确清晰的操作要求，导致学生思维混乱、注意力不集中。

2.解决方案：透过反思操作，直击概念本质

杜宾斯基认为，学生在学习数学概念时，不能跨越“程序”这一阶段。笔者认为，程序阶段就是指学生通过对活动阶段所学内容的思考，通过自己动手操作，在过程中通过比较、归纳从而总结概括出概念的基本特征。因此，本阶段的教学活动设计可遵循以下几个步骤（见下图）：

例如，在“认识线段”一课的过程阶段，笔者设计了如下层次的活动：

（1）同桌活动：一人拉线，一人说说哪里是线段。

（2）展示：横着拉、竖着拉、斜着拉三组作品。

（3）对比感知线段的不同点和相同点。

（4）总结线段的特征，形成对概念基本特点的认知。

再如，在苏教版数学三年级上册“长方形和正方形的认识”一课的过程阶段，笔者设计了如下的教学活动：

（1）在学生已有认知经验的基础上，通过折一折、量一量、比一比等方式独立验证长方形的特征。

（2）小组中交流展示每人的验证方法。

（3）选取代表，集体汇报交流。

（4）依照验证长方形的环节，自行在小组内验证正方形的特征。

（三）对象阶段：集体分享碰撞，建构数学概念

1.存在问题：忽视学生归纳能力，过多接受性学习

笔者设计了调查问卷，通过调查发现大部分教师在对象阶段，会鼓励学生举出概念的正例，来加深其对概念的理解。但对于经历概念的过程阶段后，接近一半的教师是自己直接总结归纳来告知学生的，真正鼓励学生自主归纳概念本质特征的教师只占21.6%。同时在对象阶段，超过一半的教师会列举出反例来加深学生对概念的理解，12.5%的教师选择不会举出反例来促进学生理解概念的本质。此项调查说明，在实际教学过程中还存在着教师包办太多的情况。对于概念的归纳，很多教师认为学生年龄小，无法总结出抽象的数学概念，有的教师甚至会用大量的练习来让学生背熟概念，从而能够做对练习题。此阶段是概念形成的重要阶段，在这一阶段，学生要明确概念的本质属性并学会用数学的语言表述完整的特征，从而完整建构数学概念。

2.解决方案：突出概念间联系，构建科学概念体系

建构主义强调，学生作为学习的主体，应主动参与课堂，构建知识，才能保证知识的完整性和有效性。在这一阶段，教师通常通过设计多样的练习来对概念进行巩固和应用。概念的巩固通常在正例和反例的对比辨析中进一步构建，这一活动可以是教师设置学生回答，也可以是学生在相互交流中合作完成。同时，对于概念的巩固，教师还可以设置多样化的变式练习，让学生在对比中更深入地理解概念的本质特征。教师无论采取哪一种方式，目的都是让学生能够明晰概念本质，构建概念体系。

例如，在“认识线段”一课的对象阶段，笔者设置了如下活动：

（1）考虑学生的年龄特征，设置了“鉴定朋友”的环节，以“线王国”为问题背景，出示一些不是线段的反例来引导学生进一步理解概念。

（2）引导学生找一找生活中的线段，让学生通过寻找教室里、操场上的线段，感知线段就在我们身边，从而体会数学源于生活而又用于生活。

再如，在苏教版数学三年级上册“长方形和正方形的认识”一课的对象阶段，笔者通过活动——“我是四边形”，先后出示四边形的一个角、两个角、三个角等让学生猜一猜，这个四边形是长方形还是正方形。学生在这一活动中，其思维得到了不断的训练，在猜想的过程中进一步建构了长方形和正方形的概念。

（四）图式阶段：借力图像表征，建立概念联结

1.存在问题：教师缺少整体观念，有碍形成概念联结

通过对教师的课堂总结方式进行调查，笔者发现，大部分教师不会采用导图板书总结全课。通过访谈得知甚至部分教师直接放弃此环节，用练习来代替小结环节。8.1%的教师会经常采用导图式板书对全课知识进行小结。通过对这部分教师的年龄分析，笔者发现工作时间为3～10年的教师占绝大多数。已有大量实践表明，在一节课之内想要达到图式阶段是比较困难的，但是，教师引导学生进行全课小结是有必要且不可缺少的环节，缺少这个环节不利于学生的后续学习。

2.解决方案：应用导图板书，完善概念图式

思维导图是英国学者托尼·巴赞在 20 世纪 60 年代初期创造的。他认为思维导图是“打开大脑潜能的强有力的图解工具”。因此，在图式环节，教师虽然不能让学生都达到概念联结的目标，但是，可以通过引导学生进行知识小结，通过导图式板书帮助学生建立自己的图式。

在概念教学中，学生要通过不断的练习、巩固，从而建立概念的图式。教师在教学中不仅要关注学生的学习兴趣，还要引导学生在学习过程中能够把握概念本质，形成自己的概念认知图式，让概念教学回归生活，从而达到概念的有效教学。