为学生揭开数学专业名词的神秘面纱

邵宽云

[摘 要]在“变教为学”的教学改革中，经常会有学生提出稀奇古怪的问题，看似天马行空脱离课堂，实则大巧若拙、大智若愚。教师应关注学生提出的问题，思考学生提出这些问题的原因，将它们变为教学资源，促进教学提升。

[关键词]数学专业名词;几何;方程;比例

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0035-03

数学算术中的“加”与“减”，它们的数学运算意义和生活意义基本相符，但是算术中的“乘”则与生活语言相去甚远，学生更熟悉的是“乘车”“乘机”“乘人之危”等。而“乘”到了数学中，词意大变，是求若干个相同加数的和的简便运算，与生活中的含义完全不沾边。此时，有的学生就会有疑问：“为什么单单挑中‘乘’来作为求若干个相同加数的和的简算形式呢？”诸如此类的问题看似无理取闹，与数学无关，但其中却有很大的探讨空间。比如，考证“乘”字字义的历史演变，其本义是“人在树上”，有“升高”之意，这个本义与乘法的定义“相同加数求和”不谋而合，都是一种“升级”，由低级升至高级。因此，学生的问题不该被忽视，教师应该顺应学生的思维仔细解答，将问题阐述清楚。本文将通过一些典型案例来详细说明。

一、“几何”与“方程”的来历考证

“几何”一词最早出现在明代学者徐光启翻译的欧几里得的《几何原本》。为何选用“几何”这一代表数量多少的文言词代表图形？主要原因有二：其一，“几何”是“Geometry”这一英文单词的直译，这个英文单词具有“测量地球”的含义，而测量的目的无非就是探寻“多少”的问题，文言词汇中“几何”正好代表多少，这属于意译;其二，“Geometry”这个单词的前缀“Geo”，发音酷似汉字“几”的发音，所以夹带音译翻译成“几何”。还有说法是“几何”是对英文单词“Magnitude”的意译。“Magnitude”的本意是“量”，凡是测量，目的不外乎探求数量，所以用“几何”表示。

两种说法的相同之处就是都与测量有关。不论孰是孰非，这些知识至少揭开了“几何”这一词的文化密码，这些蕴藏在数学名词背后的文化背景举足轻重，可以让学生明白“几何”就是专门测量与计算图形相关数据的学科分支。

“方程”这一数学专有名词，与“几何”不同，并非“舶来品”，是正宗的“中国制造”。由于年代久远，其本意与数学意义渐行渐遠。也就是说，“方程”字面上的含义与“含有未知数的等式”的数学意义基本“失联”。在古汉语中，“程”的初始意义是计量单位。比如，古籍记载“程者，权衡丈尺斛斗之平法”，就是把“程”作为一种转化各种计量单位的工具。现代词汇中的“程”仍然有这种含义，如“路程”就是测量路途的长度。据考证，“方程”一词最早出现在《九章算术》第八章，作者的注释为：“群物总杂，各列有数，总言其实，另每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”大意是，设有多个未知数的时候，就需要分行排列起来，有两个未知数就排成两排，有三个未知数就排成三排，有几个未知数，就要排成几路方阵，纵横交叉，故名为方程。其中“方”指排列的方阵，是方形的意思，“程”就是度量大小结果的意思。这其实就是方程组。而在《九章算术音义》一书中，对“方程”则做了另一番耐人寻味的解释：“方者，左右也。程者，课率也。左右课率，总统群物，故曰方程。”大意是，给未知数添上系数，让左右等值，即为方程。拆开来讲，“方”取左右之意，“课率”取系数之意，这种解释与现代汉语中的“含有未知数的等式”遥相呼应，一脉相承。

从“几何”和“方程”这两个数学名词的历史考证来看，“几何”主要与多少有关，不管是翻译国外的文献还是取材中国的典籍都是这个意思，这就说明有的数学术语在学者和专家提出的时候，首先就综合考虑了外国和本国的语言优势，做到“中西结合”，尽量创造出一个既利于本国人民理解又与国际接轨的语词，这是在中国某方面的研究落后于他国的情况下才会发生的。一旦遇到本国的研究时间早于其他国家或者本国的研究成果优于其他国家的情况，就会坚决沿用地道的本国语言，即使是文言用词也无妨。如“方程”一词就是地地道道的文言词，这样的命名方式不仅可以保证本国的科技成果在文化基因上一脉相承，而且还可以培养学生的民族自豪感。

二、运算名称须得咬文嚼字

数学专业术语由前人创制，经过历史沿革流传至今，由于文字本身的语意发生了变化，导致专业名词本身也受到影响。比如，为什么加法的得数称为“和”而非“合”？按字面意思理解，合并到一起似乎更贴切。“和”本义是林中鸟唱和的场景，后引申为演奏或者合唱时的和谐，和谐就是和声一致，旋律统一，多个声音像一个声音一样。由此推测，“和”是暗指“两个及以上的元素混杂在一起，和谐统一，就像是一个”的意思。

比如，日常用语中的“和面”（音：huó miàn），意为在面粉中加水搅拌或揉弄，使面粉成团。棋牌游戏“打麻将”中的“和牌”（音：hú pái）也有将散乱的牌子组成一支队伍的意思，这与加法的意义不谋而合。而“合”本义是“关闭”，后来引申为“聚集”，最后派生为合并到一起。

查阅《现代汉语词典（第7版）》，“除”字义项下有“去掉”的基本释义，也可引申为“分”的意思。若把除法运算解释为“一个个减少”，就与乘法运算的“逐渐升高”对上号，形成互逆关系，其实就是现在课本中所说的互逆运算。6÷2可以读作“6除以2”，也可以读作“2除6”，这样咬文嚼字的现象在数学概念中似乎并不常见，为何不直截了当地统一规定读作“6除2”，岂不干脆？这其实是受文言文中的倒装句的影响。所谓“6除以2”，其实是一个标准的文言文用法，翻译成现代白话文应作“以2除6”。而另一种并行说法“2除6”其实是省去“以”字后的缩写，也是解释为“以2除6”，转换成现代汉语，都是用2去分6的意思。

分数的读法也遭遇这样的曲折。[2/3]现在统一读作“三分之二”，其实还有一段原委。文言读法是“分三之二”，“之”就是结构助词“的”，所以“分三之二”就是“分为均等的三份，取得这样的两份”，与分数的意义高度吻合。

类似的情况还有，除法计算的结果为何称为“商”？“商”这个字常见的意义是“商量”。这与古代的计时器——漏壶有关，漏壶通过漏箭指向的刻度来标记时间。“商乃漏箭所刻之处。”由此看出，“商”在古代就是一种计时器的刻度，刻度就是标准。所谓“商量”，是先确立“商”这个标准，然后再来测量——“量”（音：liáng）。小学除法中的“包含除”概念，其实就是先制定标准，即一份是多少，再求一共有这样的几份。这样就贯通了“商”的本义与其数学含义。

看似稀松平常的和差倍分乘除运算，其实也大有文章。研究这些并非毫无意义。学生学习这些运算之初，其实只是按照教师的引导来认知，掌握算法意义后，理所当然地接受了这一称呼，并未从汉语本身的含义去揣摩其意义，虽然可能会感到纳闷，但最后还是习惯成自然，使其成为一个解不开的死结。通过对这些命名进行推敲考证，学生可以更加清晰地了解这种运算的本质和本源，“和”就是“应和”“附和”的引申，以及“和牌”“和面”等含义的综合，发现其实两数相加就是一种“同类量”的“和谐共处”，比“合”更贴切。“除”和“除以”的倒装用法，不但揭示出其与连续减法的内在联系，更是将文言文中的简练迁移到现代数学语言中，实乃高明之举，包括后面“商”的命名与测量器具有关，这些都反映出了中华传统文化和优秀物质文明的先进性和优越性。

三、“正比例”和“反比例”的种属问题

比和比例，以及正比例和反比例的概念是小学数学中的难点。这几个概念关联度很大，但是又略有区别，最大的麻烦是这些半文不白的名词，有的一个字，有的两个字，看着相差不大，却更令人费解。如“比例”就比“比”多一个字，而“正比例”“反比例”又比“比例”多一个字。“正比例”“反比例”可简称为“正比”“反比”，但其实“正比”“反比”都不是一个比例，“比例”是两个相等的比连接起来，如“8∶4=2∶1”，而“a∶b=4”才是表示a与b成正比，“a×b=4”才是表示a与b成反比，正比和反比是表示两个变量关系的。但是，既然这样命名，必然有其道理，包括“比例”为何是两个“比”，这些疑团都可以通过咬文嚼字以及考证历史来解开。

“正比例”和“反比例”分别用“正”和“反”这一对反义词来做定语，那么正比例和反比例是不是数学意义上的比例？首先回顾“比例”的定义，这个语词中，“比”并非“例”的定语。《说文解字·人部》是这样解释“例”字的：例，比也。這表明“比例”实际上是一个单纯词，用两个意义相同的字组成表示同一个意思的双音节词，其背后的隐喻是“两个相同的比”。因此，“比例”的权威定义是表示两个相等的比，或者将比值相等的两个比用等号连接起来，如“1∶2=2∶4”就是一个比例。

上述基于除法运算的比例叫作几何比例，还有一种比例叫作算术比例，它们都出现在19世纪的欧洲，后者表示两个“差”相等的关系，如“25-16=100-91”就构成一个算术比例。算术比例有一个特性，即如果顺次写出比例的前后各项：25、16、100、91，那么两“外项”之和等于两“内项”之和，也就是25+91=100+16。这个特性与几何比例中“两内项之积等于两外项之积”有着异曲同工之妙。

正比例和反比例是否属于比例家族中的特殊成员？教材中的相关定义是，比值固定的两个变量成正比例关系;乘积恒定的两个变量成反比例关系。从教材中的定义分析，正比例和反比例都统一指向“两个量之间的某种特定关系”，而并非两个除法意义上的“比”之间的对等关系。因此断言，正比例和反比例都应该在比例范围之外。“正”与“反”作为比例的定语，改变了比例的词性。虽说如此，但正比例、反比例和比例还是颇有渊源的。

正比例和反比例的意义古今有别。首先单独定义“正比”和“反比”，如果把“a∶b”定义成一种正比，那么调换顺序后的比例“b∶a”或者“[1/a]∶ [1/b]”就是反比。此处的“正”“反”可谓一语双关，第一种是比的前后两项交换位置，颠倒次序;第二种则是将两项都各自颠倒过来取倒数。把正比“a∶b”改写为“[1/a]∶ [1/b]”后，称后者为反比例，意思是反前者而得。

耐人寻味的是，如果对一个正比连续运用两种方法取反比两次，比值守恒，用符号表示就是a∶b=[1/b]∶ [1/a]，这样就可以与现在的定义对接。若称“a∶b=c∶d”为正比例，那“a∶b= [1/d]∶ [1/c]”则理所当然称为反比例。即使在英文中，“反比例”亦有双重含义，一种是“Inverse Proportion”，另一种是“Reciprocal Proportion”。其中前一个单词表示两项对调，后一个单词则是对两项各自取倒数的意思。之所以有正比例这一说法，是因为比值与其相等的另一个反比例对立共生、相互依存。不管是正比例还是反比例，都已成为古籍中记载的历史，都属于比例中的特例，与通用意义大有不同，不可混淆。

应当相信，学生学习中产生的“多此一问”往往是有据可查的，这些问题应当受到重视，作为教师开发新课程的契机。因此，在“变教为学”的教学中，教师应当大胆开放提问权，勇敢正视任何问题，并通过各种渠道解决问题。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 刘久成.小学数学“简易方程”内容量化分析：基于人教版三套教科书的比较[J].课程·教材·教法，2019，39（08）.

[2] 闫敏.方程思想在小学数学教学中的应用[J].华夏教师，2019（02）.

[3] 俞蕊.小学数学解方程知识的教学策略[J].教育观察，2019，8（30）.

[4] 刘宪升.关于梯形有关概念教材编写及二次开发研究（三）：梯形教材编写的二次开发设计[J].小学教学参考，2020（20）.

[5] 何颖.实施“说理”教学 提升小学生数学素养[J].名师在线，2021（26）.

[6] 朱丽红.“让学”理念指引下的小学数学教学探索：指向学科核心素养培育[J].教育研究与评论（小学教育教学），2021（09）.

（责编 吴美玲）