模型思想在小学数学教学中的渗透

黎斌

[摘 要]模型思想是数学核心素养之一。作为一种基本的数学思想方法，模型思想可广泛应用于多种现实情境，解决许多实际数学问题，具有很高的价值。 模型思想的构建是一个循序渐进的过程，在教学中要从学生的实际出发，结合学生的年龄特点逐步渗透，让学生从生活情境中抽象出数学模型，在建模、用模过程中感受模型思想的作用与价值。

[关键词]模型思想;小学数学;建模

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0096-03

模型思想是数学核心素养之一。课程标准指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等来表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。培养模型思想，就是要让学生体会和理解数学与外部世界的联系，探寻数学问题中的变化规律。学生的学习是从简单到复杂、从具体到抽象的，学生在此过程中逐步积累经验，养成运用模型思想去思考的习惯。模型思想作为一种基本的数学思想方法，可广泛应用于多种现实情境，解决许多实际的数学问题。数学模型在小学数学中随处可见，公式、数量关系式、方程、不等式等都是重要的数学模型，学生学习数学知识的过程，实际上就是理解、把握和运用数学模型的过程。因此，在小学数学教学中，教师要结合学生学习特点及认知规律，有意识地培养学生的模型思想，促进学生核心素养的发展。

一、结合年龄特点，让学生初步形成建模意识

模型思想需要教师在教学中向学生逐步渗透。学生的学习过程是一个从简单到复杂、从具体到抽象的过程，教学中，教师要从学生的实际出发，结合学生的年龄特点和不同学段的要求逐步渗透。

1.第一学段：联系生活实际，抽象基本的数和图形，初步渗透模型思想

第一学段的学生，思维以具体形象思维为主，并向初步的抽象逻辑思维发展，对概念、数量关系的学习需要借助具体实例和直观特征。教师要从学生熟悉的生活情境中出发， 引导学生在情境中观察、发现、提出问题，并在问题情境中解决问题，即从具体的生活情境中抽象出数学问题，并用数学符号表示其中的简单现象。

如一年级教学“3+2=5”时使用的情境中有小松鼠，教师让学生用圆片或小棒等实物代替小松鼠，将这个问题摆一摆、说一说。学生能够说出“左边有3只小松鼠，右边有2只小松鼠，一共有5只小松鼠”和“左边摆3个圆片（或3根小棒），右边摆2个圆片（或2根小棒），合起来可以用‘3+2=5’来表示”。之后，教师再进一步让学生说一说2、3、5分别表示什么。最后，教师让学生说说在生活中“3+2=5”还可以表示什么。有的学生说“草地上原来有3只小鸟，又飞来2只，一共有5只小鸟”，还有的说“我有3支蓝色的笔，2支红色的笔，一共有5支笔”……这样的教学设计是根据低年级学生的特点，从具体、形象的实例开始，再借助操作将知识内化和强化，最后通过发散思维和联系思维加以扩展和推广，赋予“3+2=5”更多的模型意义，初步渗透了模型思想。

2.第二学段：结合具体问题，抽象为更一般的模式，发展模型思想

第二学段，随着年龄的增长，学生的思维水平和理解能力有了很大的提高，学生的思维由形象思维向抽象思维过渡。在这个学段，教师可以通过一些具体的问题引导学生观察分析、对比总结。

如教学人教版五年级上册“用字母表示数”时，教师可以创设魔术情境，让学生置身在具体的情境中解决问题。

师：向盒子中放进1颗星星，能变出来5颗星星;向盒子中放进3颗星星，能变出来7颗星星;向盒子中放进10颗星星，能变出来14颗星星。向盒子中放进25颗星星，能变出来几颗星星？

[学生回答：25+4=29（颗）]

师：放进任意颗星星时，有什么办法可以表示放进和变出的星星数量？

生：我们经过思考、讨论、交流，找到了如下关系。

放进？颗          變出？颗

m                      n

d                       c

x                     x+4

……                  ……

教师引导学生观察和辨析数量关系的正确性，再抽象出放进与变出的星星数量之间的关系式“x+4”。这个式子不仅能表示放进、变出的星星数量，而且能清楚看出变出的星星数量与放进的星星数量的关系。

高年级学生通过观察分析，不仅能在脑中形成图形公式，还会用字母表示运算定律和数量关系，比如乘法交换率、乘法分配率等，还有单价、数量、总价之间的关系。教师要有意识地引导学生运用、活用这些模型解决问题。如问题“一列复兴号动车行驶速度为a千米/时，那么它0.5小时行驶的路程为（    ）千米，行驶1200千米用时为（    ）小时”。教师可以引导学生理解题中字母所表示的量，再用含有字母的式子表示数量关系或一个量，然后利用路程、时间、速度三者之间的数量关系模型，写出表示题目中要求的路程和时间的关系式。让学生经历运用数学知识分析数量关系和运用数学模型解决问题的过程就是模型思想发展的过程，可以很好地促进学生数学思维的发展。

二、结合实际教学，让学生经历数学建模的过程

数学学习是一个再创造、再发现的过程，教学中，教师要为学生提供自主探索和合作交流的时间与空间，让学生经历“观察—分析与处理—抽象—检验与修改”的过程，从结构化的现实情境中推导出数学模型，在解决实际数学问题中完成对数学模型的解释与应用。

在数学的学习中，认识概念、掌握运算、探寻规律等，都是学生主动获取知识、建立数学模型的过程。教师应让学生从具体问题出发，经历抽象、分析、比较、归纳、验证等建模过程（如下图）。

[抽象][分析][验证][归纳][比较][具体情境][数学问题][数量关系][方案][优化（合理性）][列表（多样性）]

具体方法以人教版教材四年级“租船问题”的教学为例。

1.结合实际情境，选择合适的建模点

租船问题：“一共有32人，每条小船租金为24元，每条大船租金为30元，大船限乘6人，小船限乘4人。怎样租船最省钱？”教师引导学生找出问题中的数学信息，抓住“怎样租船最省钱”这个关键问题分析数量关系，罗列出各种可能的方案，为建模打下基础。

2.充分经历从“境”到“模”的抽象过程

数学建模可以让学生联系数学与现实世界，用数学的眼光去看问题。让学生充分经历从“境”到“模”的抽象过程，这是模型思想的关键和重点。在租船问题中，学生罗列出几种租船的方案后，分析比较各方案，围绕关键问题“怎样租船最省钱”，在调整、比较、推测中找到解决租船问题的一般方法：①先计算哪种船的人均租金更便宜;②假设所有人都乘坐人均租金更便宜的船，如果正好坐满，无空座，那么这种租法最省钱;③如果没坐满，就调整方案，尽可能使得人均租金便宜，同时尽量做到让船坐满。学生通过计算、交流、对比、调整，得出最省钱的方案。学生从具体情境中，理解并掌握怎样租船最省钱，体会实现最优化的方法就是一次从“境”到“模”的建模过程。

3.在實践中验证模型

建立模型只是一种解决问题的手段，更重要的是验证这个模型是否有科学性、逻辑性，能否解决实际问题，能否形成新的理论、做出新的预测。因此，在验证环节，教师既要引导学生利用列举、排除、检验等方法，运用数学模型去实践和解决实际问题，也要对解决的问题做出科学合理的阐述和解释。例如建立了租船问题的解题模型后，可以通过两次人数调整去验证模型，第一次把总人数从32人调整为43人，第二次可以让学生自己假设人数，看能否应用之前的方法去解决问题、解释关系。

三、结合问题解决，发展学生模型思想

数学是极为抽象的学科，学习中需要学生的理解与创造，而构建模型是在掌握数学知识的基础上对知识进行应用与创造。要想让学生掌握模型思想，就要让学生运用所建立的数学模型解决实际生活中的问题，使他们感受到模型的实际作用。

1.在解决问题中运用模型思想，让学生体会建模的实用性

当学生具备了一定的模型意识，并且掌握了建模的方法后，教师要让学生从模型走向生活，运用数学模型来解决生活中的问题，让学生体会到数学模型的应用价值，体验到所学知识的用处，这样能促进学生对知识的深刻理解，培养学生数学实践的能力和灵活运用知识的能力，实现知行合一。

在解决问题的过程中运用模型思想，一方面体现在基本题、变式题、拓展题中。如教学“圆的面积计算”，在学生经历了猜测（如猜测圆可以转换成学过的什么图形）、探究（如动手操作、交流、讨论）、总结（如概括出圆的面积计算公式）、练习（如运用公式解决基本问题）后，教师可以设计拓展题：把一只羊拴在一块长8米、宽6米的长方形草地上，拴羊的绳子长2米，那么这只羊能吃到多大面积的草？要使羊吃到的草的面积最小，应该将羊拴到这块长方形草地的什么位置？这个问题能调动学生的多种感官，让学生经历观察、思考、猜测、估计、操作等具体的学习活动，在解决实际问题过程中搜集大量的信息，并从中剔除无用信息留下有用信息，构建数学模型，最后运用数学模型解决问题。

另一方面体现在生活中的实践作业，学生在实际生活中应用数学，了解数学与生活的联系。如教学“比例的知识”时，教师可以设计实践活动：在不把旗杆放倒的情况下测量旗杆的长度。这一活动的设计与学生的生活相结合，能让学生体会数学与外部世界的联系，促使学生结合学习的内容自主寻找解决问题的方法，经历将实际问题抽象成数学模型的过程，在求出结果后回到现实情境中检验结果的合理性。

2.在问题解决中巩固模型思想，发展学生数学思维

问题解决是学生应该具备的基本能力，它包含从数学的角度去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。从某种程度上来讲，问题解决就是数学建模的教学，让学生在无意识的状态下经历建模的过程，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释应用的过程。如俞正强老师执教的“植树问题”一课中，俞老师先引导学生理解了点和段的关系及植树要植在点上，再用问题“植树人把树种在点上，我们生活中还有什么事也是做在点上”引导学生，学生立马就能从生活中找出例子，如在桌子上每隔一段距离放一个水杯，马路边每隔一段距离有一盏路灯，这种有价值的问题既能拓展学生的思维，又能发展学生的模型思想。随后俞老师还补充了“高速公路上每隔十几千米设一个服务区是不是植树问题”“某班级每年选一次班长是不是植树问题”等问题，让学生的认知层层推进，思维得到发展。接着俞老师提出“在一条100米的小路一边种树，每隔5米种一棵，一共要种多少棵树”这个问题，让学生在开放的情境中理解生活中的实际问题，建立两端都种、只种一端、两端都不种等模型，再说出生活中的实例，让学生进一步理解这个模型与平均分有关。学生在推进式的问题解决过程中探寻出数学问题的变化规律，发展模型思想。

总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含在概念、命题、公式、法则的教学之中，并且要与数感、符号意识、空间观念等数学思想的培养相结合。在具体的教学实践中，教师要多措并举，逐步培养学生的模型思想，让学生形成良好的思维习惯和运用数学的能力，使模型思想在小学数学教学中得到更为广泛的应用。

（责编 杨偲培）