基坑开挖引起下方纵向斜穿地铁隧道的隆起变形分析

赵维，梁亚华，江杰，邢轩伟

(1.中国建筑第八工程局有限公司，上海 200112；2.广西大学土木建筑工程学院，南宁 530004；3.工程防灾与结构安全教育部重点实验室，南宁 530004)

近年来，随着国内城轨交通建设步伐的加快，邻近地铁沿线进行基坑开挖的情况时有发生，严重时会导致隧道发生管片开裂、渗水等病害，而地铁作为人们日常出行的交通工具，其安全运行的重要性不言而喻。因此，如何准确合理预估基坑工程施工工程中对下方既有地铁隧道的影响成为近年来研究的重点。

目前，众多学者针对基坑开挖对下方地铁隧道影响方面的研究取得了一些成果。在数值模拟方面，Huang等[1]使用数值模拟的手段对基坑开挖作用下邻近隧道的变形情况和稳定性进行了参数化研究；Liu等[2]使用数值模拟的手段预测了粉质黏土地区基坑开挖作用下邻近隧道的长期变形响应，并提出了有针对性的现场监测方案。在理论分析方面，张治国等[3]使用两阶段法研究了基坑开挖对邻近隧道的纵向变形影响；Sun等[4]提出了圆形基坑开挖作用下隧道变形的解析方法，与离心模型试验结果进行对比验证；Liang等[5]基于两阶段法，通过引入修正系数，考虑了隧道埋深效应和剪切效应，推导出了基坑开挖作用下邻近隧道变形的解析解；张兵兵等[6]以济南历下医养结合中心项目为背景研究了基坑开挖对临近既有地铁隧道影响。

根据《地铁设计规范》(GB 50157—2013)[7]，地铁线路纵断面设计，正线的最大坡度不宜超过30‰，困难地段不宜超过35‰，但目前国内外学者在采用理论分析手段计算基坑开挖引起下卧纵向斜穿地铁隧道的隆起变形时，一般采用隧道的平均埋深带入计算，无法准确地预测隧道的真实隆起变形。

鉴于此，现基于两阶段法，引入隧道纵向夹角，考虑隧道的纵向坡度对于隧道变形的影响，并将隧道视为搁置在Pasternak地基模型上的Timoshenko长梁，提出基坑开挖引起下方纵向斜穿地铁隧道隆起变形的理论解，通过与数值模拟算例进行对比分析，并分别与采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和传统算法的计算结果进行对比。

1 理论推导

1.1 基本假定

基坑开挖将造成地基出现附加应力，从而导致邻近隧道产生相应的隆起变形。为简化计算，理论模型做如下假定。

(1)假定地基为均匀各向同性半无限弹性体，且在基坑开挖前隧道变形已经稳定。

(2)不考虑基坑开挖卸荷作用随时间的变化，以及土体排水固结和蠕变作用。

(3)假定隧道衬砌与土体始终接触，不考虑隧道衬砌与土体分离的情况。隧道-土体相互作用通过Pasternak地基模型考虑，满足变形协调条件，即隧道隆起量等于地基变形量。

1.2 基坑卸荷作用在下方纵向斜穿隧道上的附加应力

计算模型如图1所示，一矩形基坑下方有一纵向斜穿的地铁隧道。使用Mindlin基本解积分得到基坑卸荷作用在邻近隧道轴线上的某一点(X,S,H)的竖向附加应力δ(x)为

L为基坑长度；B为宽度；S为基坑中心与隧道轴线水平距离；c为基坑开挖深度；z1、z2为隧道轴线埋深，由z1变化到z2；β为隧道的纵向夹角；D为隧道外径

(1)

1.3 由附加应力引起的隧道隆起变形

如图2所示，首先把xoz直角坐标系在xoz平面上绕坐标原点o，逆时针旋转β角度，得到直角坐标系x′oz′，然后将隧道受到的竖向附加应力δ(x)D在直角坐标系x′oz′中沿相互垂直的两坐标轴oz′、ox′分解为两个分力δz′和δx′，其大小分别为δz′=δ(x)Dcosβ，δx′=δ(x)Dsinβ。

图2 竖向附加应力δ(x)D正交分解图

如图3所示，将隧道简化为放置在Pasternak地基上的Timoshenko梁(简称T-P模型)，在隧道上取微元体在直角坐标系x′oz′中做受力分析，可以得到隧道在附加应力δ(x)作用下，关于隧道隆起值w和转角θ的平衡微分方程，即

图3 微元体受力分析图

(2)

(3)

式(2)中：(EI)eq、(λCΩ)eq分别为隧道等效抗弯刚度。由于式(2)是一个4阶常微分方程，直接计算解析解难度较大，采用有限差分法将微分方程转化为差分方程进行求解。离散隧道单元如图4所示，将隧道沿隧道轴线等分为n个单元，每个单元长度为l，并在隧道一端增设2个虚拟节点-2和-1，隧道另一端增设2个虚拟节点n+1和n+2。

图4 盾构隧道划分图

(4)

式(4)中：δi和wi分别为节点单元i受到的竖向附加应力和隆起值。

由于隧道两端自由，隧道两端受到的弯矩，剪力为零，则边界条件为

(5)

求解式(5)可得隧道两端4个虚拟节点的位移表达式为

(6)

(7)

(8)

(9)

令i=0，1，…，n，代入式(4)并结合式(6)～式(9)可以得到以隧道隆起值w为未知量的n+1个方程，分别对应第1，2，…，n+1节点单元，将这些方程装配到矩阵中，可以得到整个隧道的位移计算公式为

{K1+K2+K3}w=Q1+Q2+Q3

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

最后使用MATLAB编程计算式(10)可以得到整个隧道的隆起w，再将w代入式(5)中可以得到整个隧道所受的弯矩M和剪力Q。

2 计算参数的确定

2.1 地基模型计算参数

如图5所示，Pasternak地基模型通过在土体弹簧上加入一层不能压缩的剪切层改进了Winkler地基模型无法考虑土体弹簧相互之间剪切作用的缺点，计算公式为

图5 Pasternak地基模型图

(18)

式(18)中：p为施加在地基表面上的压力；k为地基基床系数；G为剪切层的剪切刚度。Tanahashi[8]提出了一种经验公式计算G，即

(19)

式(19)中：Es为隧道所在土层的弹性模量；hp为剪切层的厚度，取hp=2.5D，D为隧道外径；μ为地基土层的泊松比。

Vesic[9]提出了搁置于地面的长梁，其基床系数kVesic的计算式，但Attewell等[10]研究发现：对于一定埋深下的地基梁，采用kVesic代入计算将会导致计算结果大于实测值，应采用2倍kVesic来估算一定埋深下的地基梁的基床系数。

(20)

2.2 隧道模型计算参数

在计算隧道的变形和内力时，隧道等效弯曲刚度和等效剪切刚度起到了重要的作用。计算方法中应用最为广泛的是志波由紀夫等[11]提出的等效轴向刚度模型，该模型计算简便，但忽略了隧道横向刚度变化对隧道纵向刚度的影响，相较于实际工程过于理想化。现引用由叶飞等[12]在横向修正惯用法的基础上提出的考虑横向刚度变化的盾构隧道纵向等效刚度模型，其等效抗弯刚度(EI)eq计算公式为

(21)

式(21)中：Ec为管片混凝土的弹性模量；n为纵向接头螺栓个数；ls为隧道管片环宽；Kb为螺栓的纵向平均线刚度，Kb=EbAb/lb，Eb为螺栓的弹性模量，Ab为螺栓的横截面积，lb为螺栓的长度；As为隧道横截面积；λ1和λ2均为与隧道横截面有关的参数，其表达式见文献[12]。

Wu等[13]基于Timoshenko梁理论提出了盾构隧道等效剪切刚度(λCΩ)eq的计算式，即

(22)

式(22)中：ξ为考虑影响盾构隧道剪切刚度因素(如管片之间的摩擦，密封垫片等)的修正系数，取1；kb为Timoshenko螺栓剪切系数，取0.9；ks为Timoshenko隧道管片环剪切系数，取0.5；Gb为螺栓剪切模量；Gs为隧道管片剪切模量。

3 算例验证

假设如下工况，有一基坑开挖深度为4 m，基坑平面尺寸为长×宽(L×B)为150 m×16 m，基坑四周设置了地下连续墙用来抵挡基坑开挖引起的基坑侧壁水平卸荷，地下连续墙厚1 m，墙高10 m。一盾构隧道在其正下方穿过，盾构隧道的纵向坡度为30‰，隧道长600 m，隧道两端埋深不同：分别为12 m和30 m。隧道所在土层参数如表1所示，隧道螺栓管片参数如表2所示。

表1 隧道所在土层参数

表2 隧道螺栓管片参数

使用有限差分软件FLAC3D进行数值模拟，模型网格划分如图6所示，整个模型网格单元个数为133 587个，节点个数为84 121个。隧道与基坑空间相对位置如图7所示，采用FLAC3D软件自带的壳单元(shell)模拟隧道衬砌管片，采用摩尔-库伦本构模型(Mohr-Coulomb)模拟隧道周围土体。采用线弹性模型(elastic)模拟地下连续墙，地下连续墙密度为2 500 kg/m3，弹性模量为40 GPa，泊松比为0.2，地下连续墙与周围土体绑定。

图6 模型网格划分

图7 隧道与基坑空间相对位置

由于基坑开挖对隧道的影响范围有限，选取沿隧道长度方向距基坑中心水平距离为[-150,150]m的隧道区间进行分析。

图8为本文方法(T-P模型)、将隧道简化为放置在Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁(简称为EB-P模型)的算法和将隧道简化为放置在Winkler地基上的Timoshenko梁(简称为T-W模型)的算法得到的隧道隆起值曲线与数值模拟计算结果的对比。

由图8可以看出，隧道隆起值并不是在隧道中心线处达到最大值，隧道最大隆起值位置线在隧道中心线沿坐标横轴负方向45 m处，且隧道隆起值曲线不关于隧道最大隆起值位置线对称。究其原因是：隧道纵断面具有30‰的坡度，隧道埋深沿着坐标横轴正方向线性增大，当x从-150 m增加到150 m时，隧道埋深增加了9 m。在基坑开挖卸荷的作用下，受基坑开挖影响而产生隆起的隧道范围为[-125,125]m，约为基坑开挖宽度的1.67倍。使用本文方法计算得到的隧道最大隆起值为2.84 mm，略大于数值模拟结果2.76 mm，隧道受基坑开挖卸荷作用影响范围也略大于数值模拟结果，分析其原因是数值模拟中土体可能发生塑性变形，而本文方法将土体简化为Pasternak弹性地基，故本文方法计算结果相比于数值模拟结果略大。使用T-W模型计算得到的隧道最大隆起值最大，为3.47 mm；使用EB-P模型计算得到的隧道最大隆起值最小，为2.48 mm；使用本文方法的计算结果与数值模拟结果最为接近。Timoshenko梁模型能够考虑隧道管片之间接头螺栓对隧道整体等效弯曲刚度和等效剪切刚度的削弱作用，因此本文方法计算结果大于使用EB-P模型的计算结果。此外，Pasternak地基模型在Winkler地基模型的基础上，通过在地基弹簧上加入一不可压缩的剪切层考虑了地基弹簧之间的相互剪切作用，反映了土介质的连续性，因此本文方法计算结果小于使用T-W模型的计算结果。

图8 计算结果与数值模拟结果隧道隆起值对比

4 与传统算法的对比

传统算法对于隧道具有30‰纵向坡度的情况，会采用隧道的平均埋深21 m代入计算，下面将使用传统算法和本文算法得到的计算结果进行对比，分析两种算法的差别。

如图9所示，将使用本文算法和传统算法得到的隧道隆起值进行比较，由图9可以看出：使用本文算法和传统算法计算得到的隧道受基坑开挖影响产生隆起变形范围基本一致，但由于传统算法采用了隧道平均埋深来简化计算，导致隧道的隆起值曲线关于隧道中心线x=0对称，这一现象明显与隧道真实隆起变形情况不符，例如：传统算法计算结果中x=-50 m和x=50 m处相对应的隧道隆起值相等，但隧道实际情况，当x从-50 m变化到50 m的过程中，隧道的埋深相应地线性增大了3 m，势必会对隧道受基坑开挖卸荷作用而产生的隆起变形造成影响。本文算法通过在计算中引入隧道纵向夹角β，考虑了隧道的纵向坡度，计算结果中，隧道最大隆起值为2.84 mm，发生位置为x=-45 m处，而传统算法得到的隧道最大隆起值为2.57 mm，发生位置为x=0 m处，传统算法得到的隧道最大隆起值有10.5%的误差，且发生位置相差了45 m。在实际施工中，需要通过理论计算，数值分析等手段预测隧道最大隆起变形发生的位置，提前在此处采用设置抗拔桩，三轴搅拌桩加固土体等方式控制隧道隆起变形，若在传统算法计算得到的隧道最大隆起变形位置处设置加固措施，将起不到较好的隧道隆起变形控制效果。

图9 本文算法与传统算法结果隧道隆起对比

使用本文算法和传统算法得到的隧道弯矩值的比较如图10所示。

由图10可以看出，由于传统算法采用了隧道平均埋深来简化计算，导致传统算法给出的最大正弯矩和最大负弯矩均小于本文算法的计算结果，传统算法得到的最大正弯矩和最大负弯矩的误差分别为25.48%和20.88%。

图10 本文方法与传统算法结果隧道弯矩对比

两种算法给出的隧道弯矩值曲线变化趋势不同，传统算法给出的隧道弯矩值曲线关于隧道中心线x=0对称，且隧道受到的最大正(负)弯矩的绝对值相等，均为599.21 kN·m；本文算法给出的弯矩值曲线并不关于隧道中心线x=0对称，本文算法得到的隧道受到的最大正弯矩为744.44 kN·m，位于x=-63 m处，最大负弯矩为-724.32 kN·m，位于x=-89 m处，两者绝对值相差20.12 kN·m。距离隧道中心线相同距离，处于中心线左侧的隧道受到的弯矩更大，例如，x=-60 m处隧道所受的弯矩为724.74 kN·m，x=60 m处隧道所受的弯矩为485.53 kN·m，相差49.27%。

如图11所示，将使用本文算法和传统算法得到的隧道剪力值进行比较。

图11 本文方法与使用传统算法结果隧道剪力对比

由图11可以看出：传统算法给出的最大正剪力小于本文算法的计算结果，计算误差为30.14%；传统算法给出的最大负剪力大于本文算法的计算结果，计算误差为28.94%。

两种算法给出的隧道剪力曲线变化趋势不同，传统算法给出的隧道剪力曲线关于坐标原点(0，0)对称，对于本文算法给出的隧道剪力曲线，距离隧道中心线相同距离，处于中心线左侧的隧道受到的剪力更大。本文算法给出的隧道最大正剪力，最大负剪力分别为94.52 kN和-56.33 kN，两者绝对值相差为38.19 kN，约为最大负剪力绝对值的0.68倍。

因此在计算基坑开挖引起下方纵向斜穿地铁隧道的隆起变形时，相比于传统算法，采用本文算法得到的隧道隆起变形曲线和内力曲线更加准确。

5 结论

从理论分析方面出发，提出了基坑开挖引起下方纵向斜穿地铁隧道隆起变形的理论解，首先在计算基坑卸荷作用在下方纵向斜穿隧道上的附加应力时，引入了隧道纵向夹角β，考虑了隧道的纵向坡度，接着将隧道视为搁置在Pasternak地基模型上的Timoshenko长梁，得到并使用有限差分法求解了隧道隆起变形方程，再通过数值模拟算例验证了提出的理论解，并分别与采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的算法和传统算法的计算结果进行了对比，得到以下主要结论：

(1)将本章提出的理论解与使用有限差分软件FLAC3D进行数值模拟的计算结果进行对比，发现一致性较好，验证了本文提出的基坑开挖引起下方纵向斜穿地铁隧道隆起变形理论解的正确性。

(2)通过将数值模拟的计算结果与本文理论解的计算结果和采用Euler-Bernoulli梁模型和Winkler地基模型的计算结果进行对比发现：相较于T-P模型的计算结果，采用Euler-Bernoulli梁计算将低估隧道的隆起变形，采用Winkler地基计算将高估隧道的隆起变形，其原因是：Euler-Bernoulli梁模型，无法考虑隧道管片之间接头螺栓对隧道整体等效弯曲刚度和等效剪切刚度的削弱作用，且Winkler地基模型不能反映土介质的连续性，也无法考虑地基弹簧之间的相互剪切作用。

(3)通过与传统算法进行比较发现：由于传统算法采用了隧道平均埋深来简化计算，导致计算误差较大，传统算法给出的隧道最大隆起值有10.5%的误差；传统算法给出的最大正弯矩和最大负弯矩的误差分别为25.48%和20.88%；传统算法给出的最大正剪力和最大负剪力的误差分别为30.14%和28.94%。