关键点弯矩值结合各段线形的弯矩图分段绘制方法研究

张 延，王凤娇

(安徽水利水电职业技术学院，安徽 合肥 231603)

在材料力学和结构力学教学过程中，杆系结构弯矩图的绘制既是重点，也是难点。常用教材介绍的绘图方法有“方程式法”、“叠加法”[3]等。本文根据多年教学实践提出“关键点弯矩值结合各段线形的弯矩图分段绘制方法”，此方法原理明晰，绘图快速准确，即适用于直接绘制多种杆系结构形式的弯矩图，也可结合“力法”绘制超静定结构的弯矩图。

1 绘图方法

运用关键点弯矩结合各段线形的弯矩图分段绘制方法绘制弯矩图外包线，主要包括3个步骤：通过分段点对杆系结构进行分段；确定各段关键点及对应弯矩值；运用各段的线形连接各段的关键点弯矩值并成图。

(1)分段点。主要是①集中力作用点、②集中力偶作用点、③分(均)布荷载的两端点、④铰结点、⑤刚结点等。这些分段点中的2个或2个以上有可能重合，如集中力作用点可能也是集中力偶作用点和均布荷载的1个端点。

(2)各段关键点及弯矩值确定。包括①端点。若为整个结构的两端点之一，当无力偶作用时弯矩为零，当有力偶作用时弯矩为力偶矩的大小；若为结构中部的分段点，弯矩值由截面一侧的所有外力(偶)对截面形心的力(偶)矩代数和确定。②中点。针对均布荷载作用段，中点弯矩值由“叠加法”[3]思想确定。③极值点。针对均布荷载作用段，由剪力为0的点确定。这些关键点的弯矩值确定后，点绘在杆件受拉侧。

(3)各段线形包括。①水平线。分段点的一侧无外力作用，剪力始终为零(Q(x)=0)时。②斜直线。无荷载作用段，当剪力图为水平线(Q(x)=a，且a≠0)时。 ③二次抛物线。均布荷载作用段，当剪力图为斜直线(Q(x)=ax+b，且a≠0)时。这是由弯矩、剪力与荷载集度间的关系确定。线形确定后，运用各段的线形连接上述点绘的各段关键点弯矩值，即完成了弯矩图外包线的绘制。

2 绘图技巧

因为结构两端点的弯矩值往往已知(为0或为集中力偶矩的大小)，而且越靠近2端的点，弯矩值越容易判断(截面一侧的外力对截面形心的力矩代数和)，所以运用此方法绘制弯矩图的重要技巧是：结合线形从结构两端往结构中部绘图；在绘制铰接多跨梁和平面刚架时，也有需注意掌握的技巧，详见后文示例。

除受力特别复杂的情况外，运用此方法结合绘图技巧绘图，往往无需手算弯矩值，就能完成整个结构的弯矩图绘制。

3 绘图方法运用

3.1 绘制单杆件静定梁的弯矩图

以绘制如图1(a)所示AD梁的弯矩图为例。首先根据平衡条件确定约束反力，如图1(b)所示，再根据“增量法”快递绘制剪力图，作为直观判断弯矩图线形，和确定均布荷载作用段极值点的依据，如图1(c)所示，最后从两端往中间一边判断关键点的弯矩值，并点绘在受拉侧，一边通过线形连接关键点成图，如图1(d)所示。

按照前文描述的绘图技巧，首先确定杆件两端点的弯矩值：a点为0，d点为8(上侧，由M产生)；再逐渐往中间判断：b点为16(上侧，由F×2产生)，c点为8(上侧，由M产生)；然后用斜直线、水平线分别连接ab、dc；最后用抛物线连接bc，并补充抛物线中段1个点的弯矩值即可成图，bc间补充的点可选择中点e，或极值点f(当需要了解极值时)。绘图顺序如图1(d)箭头所示。

图1 绘制梁AD的变矩图

3.2 绘制铰接多跨静定梁的弯矩图

以绘制如图2(a)所示AE梁的弯矩图为例。先求解约束反力并快速绘制剪力图，如图2(b)和图2(c)所示,再依次判断a(0)、e(0)、b(6，下侧，由FAy×1.5产生)、c(0)、d(4，上侧,由比例关系确定)的弯矩值并点绘受拉侧；最后运用各段线形连接这些关键点，并补充f或g点成图，如图2(d)所示。

绘制铰接多跨静定梁的重要技巧是：弯矩图直线穿过铰结点且斜率保持不变(无荷载作用段)。

如图2(d)中的bcd段。因C点左右两侧直线斜率相同，d点的弯矩值4可由比例关系确定(1.5∶1=6∶4)。

图2 绘制多跨梁AE的变矩图

3.3 绘制静定平面刚架的弯矩图

以绘制如图3(a)所示AE刚架的弯矩图为例。仍先求解约束反力并快速绘制此刚架的剪力图，如图3(b)和图3(c)所示。再依次确定b(0)、e(0)、c(32，外侧，由F×1.5产生)、c'(32，=c，上侧，节点平衡)、d(64，外侧，由FEx×4产生)、d'(64，=d，上侧，节点平衡)的弯矩值并点绘受拉侧；最后运用线形连接关键点并补充f或g点成图，如图3(d)所示。

绘制平面刚架弯矩图的重要技巧是：刚结点柱、梁两侧截面弯矩相同且在同侧(无集中力偶作用在结点上)。

即通俗的说法“内传内，外传外”。这是由结点平衡决定的。如图3(d)中的C点和D点，当从刚架的两端向中间绘图时，得出了柱端弯矩值，也就知道了梁端弯矩值，且同在刚架外侧，如图3(d)的c、c'和d、d'。

图3 绘制钢架AE的弯矩图

3.4 绘制超静定平面刚架的弯矩图

以绘制如图4(a)所示超静定平面刚架AD的弯矩图为例。与绘制静定平面刚架唯一的不同，是需要先借助“力法”[4]求约束反力，后面的步骤与绘制静定平面刚架的弯矩图相同。如图4(d)所示。

图4 绘制超静定刚架AD的弯矩图

4 结束语

在绘制弯矩图之前先绘出剪力图，是看中剪力图与弯矩图各段的相互对应关系，对绘制弯矩图有重要提示作用，并利用剪力图准确判断均布荷载段弯矩的极值点。

掌握了这种绘制弯矩图的基本方法和绘图技巧，会使绘图更加简单、直观、易于操作、适用性强。有效避免了传统方法抽象且运算量较大的问题。可在教学过程中作为传统方法的有益补充并推广运用。