怎样求双曲线的离心率

袁昶旭

我们知道，双曲线的离心率 e 是反映双曲线几何特征的一个重要数值.而求双曲线的离心率，关键是抓住圆锥曲线的定义、性质，弄清题目中蕴含的几何意义，建立关于a、 b、 c 的等量关系式，再将其合理变形，求得双曲线的离心率e = .下面结合例题来探讨一下如何求双曲线的离心率.

例1.已知双曲线的右准线与双曲线的两条渐近线相交于 A ， B 两点，且 F 是双曲线的右焦点，若以 AB 为直径的圆过 F 点，求双曲线的离心率.

解：设双曲线的方程为，右准线与 x 轴相交于点 M，

由以 AB 为直径的圆过 F 点，A，B 两点也关于x 轴对称可得MA=MB=MF ，且双曲线的渐近线方程为 y =± x，

于是MA=yA= xA- ∙，即 c - = ∙，

化简得a =b，

则 e = = = ，

故所求双曲线的离心率为.

在本题中，我们利用已知的几何关系及双曲线的渐近线方程、准线方程，建立了关于a、 b、 c 的等量关系式，从而求得双曲线的离心率.双曲线的渐近线方程、准线方程均是与a、 b、 c 相关的式子，因此在求双曲线的离心率时，同学们要重点关注双曲线的渐近线方程、准线方程，建立关于a，b，c 的关系式，便能轻易求出双曲线的离心率.

例2.已知双曲线 x2-y2=1（a >0，b >0）的左、右

焦点分别为F1，F2.若点 A 在双曲线上，且∠F1AF2=90°，AF1=3AF2，求双曲线的离心率.

解：因为AF1=3AF2，①

由双曲线定义得AF1-AF2=2a，②

由①②得AF1=3a，AF2=a .

又|F1F2|=2c，∠F1AF2=90°，

则|F1F22=AF12+AF2|2，即（2c）2=（3a）2+a2，得5a2=2c2，所以 =.

题目中给出了两个焦半径（曲线上的点与焦点之间的距离）之间的关系，由此便可直接根据双曲线的定义来解题.而根据双曲线的定义即可建立关于a，c 的等式，也就能根据双曲线中b2=c2-a2的关系式求得双曲线的离心率.因此，在解题时，要注意把握双曲线的定义，建立关于双曲线的焦半径的关系式，这便为我们求离心率奠定了基础.

例3.如图，若某双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求此双曲线的离心率.

解：设双曲线方程为x

则F1（-c，0），F2（c，0），B1（0，b），B2（0，-b）.

由图可知 c >b，所以∠B1F1B2=60°，

根据双曲线的对称性知，∠B1F1O =30°，

在 Rt△F1B1O 中，c = b ，

将其平方得c2=3（c2-a2），得 =，即 = ，

所以双曲线的离心率是.

從已知条件中可获知直角三角形的内角度数，这便为后面解题提供了重要依据，然后结合图形进行分析，探讨双曲线的对称性、各个点的位置以及关系，便可建立关于a、 c 的关系式，再通过运算便可求得双曲线的离心率.在求双曲线的离心率时，要注重分析双曲线的几何性质，构造焦点三角形，便可建立关于a 、 b、 c 的式子，从而达到解题目的.

总之，要求双曲线的离心率，要重点研究双曲线的渐近线方程、准线方程、焦半径、焦点三角形、几何性质，从中挖掘出与a、 b、 c 相关的关系式，才能为求得双曲线的离心率铺平道路.

（作者单位：江苏省盐城市新洋高级中学）