常见抽象函数问题的解法
2022-03-25毛元凤
毛元凤
在学习函数时,我们经常会遇到抽象函数问题.此类问题较为抽象,很多同学在面对此类问题时常常不知道该如何下手.对此,笔者对常见的两类抽象函数问题及其解法进行了探究,希望能对同学们有所帮助.
一、抽象函数不等式问题
抽象函数不等式问题不仅考查了抽象函数的定义、性质,还考查了不等式知识.此类问题一般不给出具体的函数解析式,要求根据函数的性质或已知关系式明确函数的单调性、奇偶性、对称性等.我们需由此将不等式中的自变量值转化到同一个单调区间内,然后根据函数的单调性去掉函数符号“ f ”,将不等式转化为常规不等式,通过解不等式求得问题的答案.
例1.已知函数是奇函数,且在-1,1上单调递增,解不等式
解:由于函数是奇函数,
所以,
由可得,又因为在上单调递增,
所以
解得:
本题较为简单,只需在上讨论不等式中自变量值的取值范围和大小关系即可.在讨论自变量值的大小时,需灵活运用函数的单调性来建立关系式.
例2.已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1-m2)<0的实数 m 的取值范围.
解:∵ f(x)的定义域为[-2,2],
∴-2≤1-m ≤2,-2≤1-m2≤2,
解得-1≤m≤ ①.
又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,
∴ f(x)在[-2,2]上递减,
∴ f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),
∴1-m >m2-1,
解得-2< m <1②.综合①②可得,-1≤m <1.
即实数 m 的取值范围是[-1,1).
在解与抽象函数有关的不等式时,可利用函数的单调性将“ f ”符号去掉,使其转化为具体的不等式.在此过程中应特别关注函数的定义域.
二、求抽象函数的值
求抽象函数的值,通常需根据题意确定函数的结构特征,然后根据函数的性质求值.在求解抽象函数值问题时,我们可将函数与简单基本函数相关联,如将与指数函数 y =ax 类比;将与对数函数类比;将与幂函数类比;将与一次函数类比.再根据类比的函数性质和解析式来求函数的值.通过类比基本简单函数,可快速明确抽象函数的性质、结构特征.
例3.对于任意实数均成立,若,求的值.
解:因为,
所以令,
即,
所以是一个首项为,公差为2的等差
数列,
则.综上可得,.
在解答本题时,我们需先将已知关系式与指数函数 y =a 类比x,根据指数函数的性质明确抽象函数的运算性质,得到 ,然后将看作等差数列,利用等差数列的前 n 项和公式求得目标式的值.
抽象函数问题的难度一般较大,在解题时我们需仔细研究已知条件,将其类比为简单基本函数,或对其赋值,以便明确更多的函数性质以及结构特征,這样便能根据函数的单调性、周期性、对称性等来解不等式、求值.
(作者单位:江苏省靖江高级中学)