例析求解几何概型问题的路径

李荣

几何概型是一种常见的概率模型.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（角度或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型的概率公式 P（A）=几何概型有与长度、面积、体积、角度有关的概率问题.解答几何概型问题的关键在于辨别构成该事件的区域是否可用长度、角度、面积、体积来度量，然后将问题转化为长度、角度、面积、体积问题，结合几何图形寻找符合条件的事件所构成的几何区域和所有结果构成的几何区域，求出它们的比值，即可得到概率.下面举例说明.

例1.在区间[-1，1]上随机取1个数 x，求 cos 的值介于0到之间的概率.

解：由题意知 x ∈[-1，1]，要使cos 的值介于0到 之间，需使-≤≤-或≤≤.所以-1≤ x ≤-或≤ x ≤1，其区间长度为，则cos 的值介于0到2之间的概率为 P =

事件的发生概率只与自变量x 的取值范围，即区间长度有关，可直接根据几何概型概率公式求解.如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，就需求得符合条件的长度以及所有结果构成的长度，再运用几何概型概率公式求解.

例2.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并且约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率.

解：用 x 轴和 y 轴表示甲、乙两人分别到达约定地点超过6时的时间（单位：分），则两人能够会面的充要条件是x -y≤15.由图1知，（x，y）的所有可能结果构成的区域是边长为60的正方形，而构成事件 A “两人能够会面”的区域可用图中的阴影部分表示，由几何概型概率公式得：P（A）= = ，故两人能够会面的概率为16.

将两人到达的时间分别用x， y 两个坐标表示，使其构成平面内的点（x， y），从而将问题转化为平面图形的面积问题，求得符合条件的面积、所有情况构成的面积，再运用几何概型概率公式即可求得概率.

例3.在线段[0， a]上随机取3个数，求以这3个数为长的线段构成一个三角形的概率.

解：設事件 A 为“3条线段能构成一个三角形”，设 3条线段长分别为x，y，z，则每一个试验结果可以表示为：（x，y，z），x，y，z∈[0， a]，所有可能的结果构成集合为 Ω={（x，y，z）|0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}.因为3条线段构成一个三角形的条件是： x +y>z，x +z>y，y +z>x ;所以事件 A 构成的集合 A ={（x，y，z）|x +y>z， x +z>y， y +z>x，0≤ x ≤ a， 0≤y≤ a， 0≤ z≤ a}，该集合中的点都在以 O，A，B，C，D 为顶点的六面体内（如图2所示），其体积为a3-3×1×a2×a =1a3.以 a 为边长的正方体的体积为a3，则 P（A）=

解答本题，需将三角形的3条边长分别用 x，y，z来表示，使其构成空间内的点（x，y，z），从而将问题转化为空间图形的体积问题，求得六面体 OABCD 以及正方体的体积即可解题.

例4.如图3所示，设 A 为圆周上的一个定点，在圆周上任取一点 B，求弦 AB 的长超过圆的半径的

倍的概率.

解：设圆的半径为r，当弦 AB 的长恰好为 r 时，它所对的圆周角恰好为90°，则要使弦 AB 的长大于 r，则 AB 所对的圆心角必然大于90°且小于270°，所以所求事件的概率为360°  =2.

当涉及扇形或圆中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.

综上所述，解答几何概型问题的步骤是：（1）判断事件是否可用长度、角度、面积、体积来度量;（2）画出几何图形，明确构成符合条件事件的区域所代表的长度、角度、面积、体积，以及所有事件构成的区域所代表的长度、角度、面积、体积，并求其值;（3）运用几何概型概率公式求解.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）