妙用“三招”，求三项展开式中项的系数

冯如芳

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点.求三项展开式中项的系数问题经常出现在二项式定理的试题中.该类问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现，但计算量较大.下面，笔者介绍几个求三项展开式中项的系数的“妙招”.

一、采用分组法

运用分组法求三项展开式的系数，需将三项展开式中的两项看作一个整体，然后运用二项式定理将该三项式展开，再将这两项运用二项式定理展开，最后綜合所得的结果，即可求出三项展开式中项的系数.在运用分组法解题时，要仔细观察各项中的系数、变量的次数，合理化简并合并同类项.

例1.求（x - -1）5的展开式中的常数项.

解：（x - -1）5=[（x -）-1]5= C （x -）5+ C （x -）4⋅（-1）+ C （x -）3（-1）2+ C （x -）2（-1）3+ C （x -）1（-1）4+C （-1）5，

而（x -）n 的展开式的第 r+1项为 Tr+1= Cn（r）xn -r⋅（-）r =Cn（r）（-1）rxn-2r ，

令 n -2r =0，其中0≤ r ≤n 且 r ∈ N，

当 n=5时，r 无解;当 n=4时，r =2;

当 n=3，r 无解;当 n=2时，r =1.

所以原展开式的常数项为 C C （-1）2×（-1）+ C×（-2）×（-1）3+ C （-1）5=-11.

展开式的常数项中必然不含x，因此x 的次数为0.可将x - -1分成两组x -、1，用二项式定理将该式展开，然后运用二项式的通项公式求得（x -）n 的展开式的第 r +1项，再对n、 r 进行分类讨论，找到x 的次数为0的项，从而求得常数项的系数.

二、运用因式分解法

因式分解法是指通过因式分解，把一个多项式化为几个最简因式的乘积的形式.利用因式分解法求三项展开式中项的系数，需把所给的三项式分解成两个二项式的积的形式，再根据二项式定理求解.

例2.求（x2+3x +2）5的展开式中 x 的系数.

解：（x2+3x +2）5

=（x +1）5（x +2）5

=（C x0+ C x1+…+ C x5）（C 25x0+ C 24x1+…+ C 22x0），

所以 x 的系数为：C C 24+ C C 25=240.

我们先将三项式x2+3x +2分解为两个因式 x+1、x +2的乘积的形式，再利用二项式定理分别将（x +1）5、（x +2）5展开，找出 x 的次数为1的项，通过计算就能求出展开式中 x 的系数.

三、赋值

赋值法是指选取合适的特殊值，将其代入三项式或者其展开式中，从而求得项的系数.该方法较为简单且易于理解，但并不适用于所有的三项展开式的系数问题，故在解题时，要根据题目的具体情况进行具体分析.

例3.求（1+x +x2）11的展开式中偶次项的系数和.

解：由题可知（1+x +x2）11的最高次项为 x22，

可设（1+x +x2）11=b0+b1x1+b2x2+...+b22x22，

令 x =1，得 b0+b1+b2+...+b22=311①，

令 x =-1，得 b0-b1+b2-...+b22=1②，

由①+②得b0+b2+b4+...+b22= ，

故偶次项系数的和为.

在赋值后，需运用整体思想求三项式展开式中项的系数，即将所有项的系数和、奇数项的系数和、偶数项的系数和分别看作一个整体，再通过整体代换求得偶数项的系数和.

例4.若1-2x2014=a0+a1x +…+a2014x2014，则a0+a1）+a0+a2+…+a0+a201=______.

解：a0+a1+a0+a2+…+a0+a2014=2013a0+a0+a1+…+a2014，

令 x =0可得： a0=1，

令 x =1可得： a0+a1+…+a2014=1，

所以2013a0+a0+a1+…+a2014=2014.

将目标式进行整理后便可发现，只需求出a0和1-2x2014展开式的系数和，题目即可获解，于是令x =0、1，便可求得a0与a0+a1+…+a2014的值.

相比较而言，分组法的适用范围较广，因式分解法和赋值法的适用范围较窄，但分组法的运算量较大.因此在解题时，我们可首先看三项式是否可以分解因式，或者问题能否通过赋值获解，最后再考虑运用分组法求解.

（作者单位：江苏省盐城市射阳县陈洋中学）