ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)的应用

甘述鸿

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.

巧用上面的结论解与一元二次方程和二次函数有关的问题可化繁为简，化难为易，现举例说明.

一、求方程中待定的常数的值

例1若方程（x-a）（x-8）-1=0有两个整数根，求a的值.

解设方程的两个整数根分别为x1，x2，

则有（x-a）（x-8）-1=（x-x1）（x-x2），

令x=8，

解得x1=7，x2=9或x1=9，x2=7，

所以（x-a）（x-8）-1=（x-7）（x-9），

再令x=9，则9-a-1=0，

解得a=8.

练习：已知方程x2-（2a+1）x+2（4a-7）=0，当两个实数根都大于3时，求a的取值范围.

二、用于证明

例2如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3，求证：6b2=25ac.

证明设方程的两根分别为x1=2k，x2=3k，由结论得

ax2+bx+c=a（x-2k）（x-3k）=ax2-5akx+6ak2，

∴b=-5ak，c=6ak2，

6b2=6（-5ak）2=150a2k2，

25ac=25a·6ak2=150a2k2，

∴6b2=25ac.

三、用于分解因式

例3阅读下面材料：

若设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，那么由根与系数的关系得x1+x2=-ba，x1x2=ca.∵ba=-（x1+x2），ca=x1x2，∴ax2+bx+c=ax2+bax+ca=a[x2-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）.于是，二次三项式就可以分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.

（1）请用上面的方法将多项式4x2+8x-1分解因式.

（2）判断二次三项式2x2-4x+7在实数范围内是否能利用上面的方法因式分解，并说明理由.

（3）如果关于x的二次三项式mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，试求出m的取值范围.

分析（1）令多项式等于0，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）中即可把多项式分解因式;

（2）令二次三项式等于0，找出其中的a，b及c，计算出b2-4ac，发现其值小于0，所以此方程无解，故此二次三项式不能利用上面的方法分解因式;

（3）因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于0，得到的方程有解，即b2-4ac大于或等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围.

解（1）令4x2+8x-1=0，

∵a=4，b=8，c=-1，b2-4ac=64+16=80>0，

∴x1=-2+52，x2=-2-52，

则4x2+8x-1=4x--2+52x--2-52.

（2）二次三项式2x2-4x+7在实数范围内不能利用上面的方法分解因式，理由如下：

令2x2-4x+7=0，

∵b2-4ac=（-4）2-56=-40<0，

∴此方程无解，

则此二次三项式不能用上面的方法分解因式.

（3）令mx2-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，

∵此二次三项式能用上面的方法分解因式，即有解，

∴b2-4ac=4（m+1）2-4m（m+1）（1-m）≥0，

化简得（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，

即4（m+1）（m2+1）≥0，

∵m2+1≥1>0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，

則m≥-1且m≠0时，此二次三项式能用上面的方法分解因式.

本题要求学生弄清二次三项式在实数范围内能分解因式的前提是令二次三项式等于0时，得到的方程有解，即根的判别式大于等于0，此时可根据阅读材料中的方法进行分解因式.学生做第三问求m的范围时应注意二次项系数不为0这个隐含条件.

四、用于求二次函数解析式

例4有一个二次函数的图像，三名学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4;

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数;

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形的面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式.

分析设所求解析式为y=a（x-x1）（x-x2），且设x1

解∵抛物线的对称轴是直线x=4，

∴x2-4=4-x1，即x1+x2=8.①

∵S△ABC=3，∴12（x2-x1）·|ax1x2|=3，

即x2-x1=6ax1x2.②

由①②两式可得x2=4+3|ax1x2|，x1=4-3|ax1x2|.

∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，则可取值为±1，±3.

当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±17.

当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±15.

因此，所求解析式为y=±17（x-7）（x-1）或y=±15（x-5）（x-3），

即y=17x2-87x+1或y=-17x2+87x-1或y=15x2-85x+3或y=-15x2+85x-3.