求函数解析式的三种方法

陈佩佩

思路探寻函数的解析式是函数的重要表示形式之一.函数的解析式能明确地表示出自变量与因变量之间的关系，因而求函数的解析式，需重点研究函数的自变量与因变量之间的变化及其关系.下面主要谈一谈求函数解析式的三种方法：待定系数法、赋值法、递推法.

一、待定系数法

待定系数法主要用于求解已知函数类型的函数解析式问题.运用待定系数法求函数的解析式，需先根据函数的类型，引入待定系数，设出函数的解析式，如 y =ax2+bx+c、 y =ax、 y =logax 等，然后将已知条件代入含有待定系数的函数式中，建立关于待定系数的方程或方程组，解方程或者方程组即可求得函数的解析式.

例1.若二次函数满足 f x -1-f x=2x，且 f 0=1，求 f x的解析式.

解：設 f x=ax2+bx +c，

由 f x -1-f x=2x 可得 ax-12+bx -1+c - ax2-bx -c =2x，

即：-2ax +a -b =2x，又因为 f 0=1，得 c =0，

所以函数 f x的解析式为 f x=-x2-x+1.

在明晰函数 f x是二次函数后，便可引入待定系数 a、 b、 c，设出函数的解析式 f x=ax2+bx+c，再根据已知条件求得a、 b、 c 的值，即可得到函数解析式.

二、赋值法

若已知函数的性质或者某些关于函数的关系式，则可采用赋值法求出函数的解析式.在赋值时，需根据问题的实际情况，给某些变量赋值，通常可令自变量为0、1、-1、-x、等，再将所赋的值代入题设中进行计算，通过换元或者等量代换求得函数的解析式.

例2.若 fx +y=f x+5x -y +1，且 f 0=2，求函数 f x的解析式.

解：

已知关系式中含有两个变量，要求得函数的解析式，需消去其中的一个变量，于是令y =-x，x =0，通过等量代换就能得到函数 f x的解析式.

三、递推法

递推法是指以题目中的递推关系为依据进行逻辑推理，从而求出函数的解析式.运用递推法求函数的解析式，需首先仔细研究已知关系式，明确变量之间的关系，从中找出规律，从而求得函数的解析式.

例3.已知 fx1+x2=fx1+fx2+x1x2， f 1=1x1， x2∈ N，求函数 f x的解析式.

解：

我们首先根据已知关系式推出递推关系式 ，然后分别令 x =1，2，3，…，再通过累加求得函数的解析式.运用递推法解题的关键是从已知关系式中挖掘出递推关系式.

相比较而言，第一种方法用得较多，第二种方法最为简单，第三种方法比较复杂.同学们在求函数的解析式时，首先要明确已知的条件，如函数的类型、函数的性质、已知关系式，然后选择与之相应的方法进行求解.

（作者单位：江苏省扬州中学教育集团树人学校）