彰显素养导向　突出工具作用

2022-03-21李建国

中国数学教育（初中版） 2022年3期

李建国

摘要：通过对2021年全国各省、市中考试卷的分析研究，结合《义务教育数学课程标准（2011年版）》的具体要求，“图形与坐标”部分的中考命题的考查内容、命题思路表现为“强调基础，紧扣课程标准要求;突出联系，凸显工具作用;适度创新，彰显能力素养”三个方面的突出特点. 基于上述分析，提出三个方面的中考复习建议，并给出相关模拟题.

关键词：中考试题;图形与坐标;考查内容;命题思路;复习建议

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，“图形与坐标”是图形与几何领域的三部分内容之一，包括“坐标与图形位置”和“坐标与图形运动”两块内容，其核心是平面直角坐标系. 在数学中，平面直角坐标系是连通代数与图形的重要桥梁，是用代数方法研究几何问题和用几何直观分析代数问题的重要工具，蕴含着数形结合、运动变化、分类讨论、坐标法等数学思想方法，是发展学生抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识和创新意识的良好载体，在历年全国各地的中考试题中占有重要位置. 本文对2021年全国各地中考试卷的“图形与坐标”部分进行研究分析，在此基础上提出复习建议，并给出部分模拟题.

一、考查内容分析

在初中阶段，《标准》安排的“图形与坐标”内容共9条，主要包括“体会用有序数对可以表示物体的位置”“能画出直角坐标系，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标”“能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置”“会写出矩形的顶点坐标”“能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置”“能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标”“能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标”“了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系”“了解将一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的”. 虽然内容简单，但《标准》要求“掌握”层次的有6条，这充分体现了“图形与坐标”内容在初中数学中的重要位置. 笔者通过分析全国各地108份中考数学试卷，发现涉及“图形与坐标”知识点的题目一般有3 ～ 6道，占试卷试题总量的六分之一左右;由于“图形与坐标”涉及的试题大多融合在其他内容的试题中，在大多数试卷中，按照它在试题中的价值估算分值，约占总分值的5% ～ 8%;作为解题的基本工具，“图形与坐标”知识在题目中基本以题目条件的形式出现.

二、命题思路分析

通过对2021年全国各地中考试卷的分析研究，“图形与坐标”的试题大致可以分为三类：第一类题目强调基础，紧扣《标准》的要求，属于较容易题或者中等难度题，一般以选择题或填空题的形式出现;第二类题目突出联系，体现了“图形与坐标”的工具作用，有基础题也有综合题，这类题目的难度不在于坐标运用，而在于与其他数学知识的综合运用，多以解答题为主;第三类题目是创新题，突出对学生能力和素养的考查，多为各类题型中的压轴题，部分题目难度较大.

1. 强调基础，紧扣课程标准要求

《标准》对“图形与坐标”的要求明确具体，容易设计一些考查基础知识和基本能力的试题，在笔者抽取的108份试卷中，有41份试卷设计了直接考查该专题“双基”的题目，占比较高. 具体命题思路如下.

（1）求图形上的点的坐标.

例1 （天津卷）如图1，[?]ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是A（0，1），B（-2，-2），C（2，-2），则顶点D的坐标是（）.

（A）（-4，1）（B）（4，-2）

（C）（4，1）（D）（2，1）

此題以平行四边形为载体，给出四个顶点中的三个，求第四个顶点的坐标. 考查《标准》明确提出的“由点的位置写坐标”和“用坐标刻画一个简单图形”的基本要求，属于简单题.

这类试题在各地中考试卷中多次出现，如海南卷的第7题、黑龙江哈尔滨卷的第11题、山西卷的第12题等. 一般以选择题或填空题为主，常在坐标系或方格图的背景中呈现，给出的多边形大多数是平行四边形或特殊的平行四边形（如正方形、矩形、菱形等），也可能是直角三角形，主要利用上述图形的基本性质进行坐标转换.

（2）求图形运动后的点的坐标.

例2 （四川·凉山州卷）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为A'（-2，-3），则点B（-2，3）的对应点B'的坐标为（）.

（A）（6，1）（B）（3，7）

（C）（-6，-1）（D）（2，-1）

平移是图形变换的重要方式，是进一步研究图形（或函数图象）变换的基础，是坐标与图形运动的命题热点. 在笔者抽取的108份试卷中，多达46份试卷涉及平移问题. 此题给出线段两个端点平移前的坐标和平移后一个端点的坐标，求另一个端点的坐标. 考查学生灵活运用所学知识和数学思想分析、解决问题的能力.

除了平移，还有三类问题也是中考考查的热点：一是关于坐标轴或原点对称的点的坐标问题;二是图形旋转后的点的坐标问题;三是位似图形的相似比或点的坐标问题.

关于坐标轴或原点对称是学生进一步学习函数、曲线与方程、向量、复数等知识的基础，也是从代数角度研究中心对称和轴对称关系的必备基础. 在各地的中考试题中，这类题目有很多，如四川成都卷第4题、湖北宜昌卷第13题、江西卷第22题第（1）小题、广西桂林卷第17题、广西北部湾卷第7题、广西贺州卷第4题、广西来宾卷第7题、浙江杭州卷第21题第（1）小题、山东威海卷第16题、四川泸州卷第6题等.

对于“图形与坐标”，《标准》没有给出图形旋转的具体要求，但结合图形的变化部分，也可以设计旋转后图形的坐标问题. 基本设计思路有：① 旋转角为90°或180°等特殊角;② 旋转到某个特殊位置;③ 在方格图内旋转. 解决这类问题要抓住旋转的两大特性：对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等. 由于《标准》对图形的旋转要求不高，后续学习中尤其是高中涉及的内容也不多，题目设计的难度一般不大，如安徽卷第16题第（2）小题、吉林卷第12题.

位似在《标准》中的要求仅仅是“了解”“知道”，但一些地方的中考也有涉及，多为简单题，如河北卷第19题、山东东营卷第9题、浙江嘉兴卷第12题.

2. 突出联系，凸显工具作用

“图形与坐标”对学生发展的作用：一是体现数与形的密切联系，发展学生抽象能力、几何直观和推理能力等;二是体现平面直角坐标系在解决问题中的工具作用，特别是在研究函数中的作用，为进一步学习函数、解析几何、向量等知识奠定基础. 在2021年全国各地的中考试题中，与其他知识联系在一起，工具作用非常明显.

（1）作为分析图形性质的工具.

例3 （海南卷）如图2，△ABC的顶点B，C的坐标分别是B（1，0），C（0，[3]），且∠ABC = 90°，∠A = 30°，则顶点A的坐标是 .

此题给出点B，C的坐标，就可以分析△OBC的性质，明确∠OBC = 60°的结论，结合题目其他条件确定点A的坐标. 在设计思路上，坐标是固定图形位置的工具，依据坐标就能分析出图形的形状、性质，把题目条件转化为可以直接运用的条件或结论.

（2）作为分析图形变化的工具.

例4 （山东·枣庄卷）如图3，在平面直角坐标系xOy中，△A?B?C?由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 .

对于图形旋转，很多时候命题者只关注到旋转后对应点的坐标或对应点之间的关系. 此题独辟蹊径，让学生寻找旋转中心. 根据图形旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等. 因此，旋转中心P在对应点连线的中垂线上. 观察题目给出的图形，点A与点A?的连线与坐标轴平行，中垂线为x = 1，再观察另外两对对应点，点C与点C?距离较近，容易发现线段CC?的中垂线经过点（1，-1），从而得到答案. 从解答过程可以看出，此题需要深刻理解旋转的性质，并结合图形合理选择可用的信息，考查学生对知识本质的认识，充分体现命题者对知识学习过程的关注.

（3）作为观察函数性质的工具.

例5 （天津卷）若点A（-5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数[y=-5x]的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）.

（A）y1 < y2 < y3 （B）y2 < y3 < y1

（C）y1 < y3 < y2 （D）y3 < y1 < y2

研究函数的性质离不开图形与坐标. 根据平面直角坐标系内的函数图象，按照自变量由小到大的顺序，可以直观感受函数值的变化规律. 考查函数性质的试题一般都是结合函数图象分析函数的增减性、对称性、最值等. 此题抽取了反比例函数在两段图象上的三个点的坐标，考查学生对反比例函数增、减性的理解水平. 在抽取的108份试卷中，通过观察函数增、减性来比较大小的题目有21道题，这些题目大多数为反比例函数问题，有23道题涉及二次函数的最值、17道题涉及二次函数的对称性.

3. 适度创新，彰显能力素养

（1）提供新颖背景，考查数学迁移能力.

例6 （贵州·遵义卷）数经历了从自然数到有理数、到实数、再到复数的发展过程，数学中把形如a + bi（a，b为实数）的数叫做复数，用z = a + bi表示，任何一个复数z = a + bi在平面直角坐标系中都可以用有序数对Z（a，b）表示，如z = 1 + 2i表示为Z（1，2），则z = 2 - i可表示为（）.

（A）Z（2，0）（B）Z（2，-1）

（C）Z（2，1）（D）Z（-1，2）

此题借用复数这个初中生比较陌生的背景知识，考查学生的阅读理解能力和知识迁移能力，体现了《标准》对于培养学生创新意识的要求，反映了命题者考查学生创新意识的基本思路. 2021年广西贵港卷第18题引用了向量的知识，这些内容都是高中数学的教学内容，在中考中引入高中内容是否会使平时的教学导向出现偏差，值得商榷. 命题时，创新问题的呈现背景可以从科技、生活、生产入手，也可以从物理、化学等其他学科领域入手，目的是让学生在不同于日常数学学习的情境中自觉运用数学知识分析、解决问题，发展他们的创新意识和知识迁移能力.

（2）设计趣味问题，考查分析和推理能力.

例7 （浙江·金华卷）如图4，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及平行四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上. 若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 .

此题用一个七巧板图案巧妙构筑了一个数学问题，丰富了数学的生活味道，有利于激发学生的探究热情. 解答此题需要仔细观察各图案在原正方形中的位置和大小，再结合它们在坐标系中的位置，设出未知数，建立方程，逐步推出点F的横、纵坐标，既有难度又充满了挑战. 在探究过程中，能充分体现学生对等腰直角三角形、平行四边形、正方形中边、高、对角线等内容的掌握情况，对方程思想的灵活运用水平，对问题的分析、解决能力，几何直观和推理能力，都有很好的考查效果.

（3）设计开放性问题，考查几何直观和推理能力.

例8 （浙江·绍兴卷）如图5，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标为[D52，2].

反比例函数[y=kx]（常数k > 0，x > 0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是 .

开放性问题是发展学生批判性思维的良好载体，常表现为条件开放型、结论开放型、解題思路开放型. 此题是条件开放型问题，看上去感觉条件不够充分，解答难以入手，根本原因在于点A的位置没有确定. 基于此，不妨设点A的坐标为A（m，0），将点B，C的坐标用m表示出来，再利用两点都在反比例函数的图象上建立方程，求得m的值或判断无解. 由于反比例函数过哪两个点没有确定，解题时要进行分类讨论.

（4）设计探究性问题，考查研究发现能力.

例9 （四川·达州卷）在平面直角坐标系中，等

边三角形AOB如图6所示放置，点A的坐标为A（1，0），每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依此类推，则点A2 021的坐标为（）.

（A）（-22 020，[-3]× 22 020）

（B）（22 021，[-3]× 22 021）

（C）（22 020，[-3]× 22 020）

（D）（-22 021，[-3]× 22 021）

归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法. 此題通过对点A1，A2，A3的坐标的求解过程，发现符合条件的任意点An的坐标存在的规律，从而获得猜想，然后通过验证最终得出正确结论. 在探究过程中，能充分体现学生科学发现的能力水平. 在抽取试卷中，这类题目较多，如山东泰安卷第18题、山东东营卷第18题、广东深圳卷第21题、黑龙江齐齐哈尔卷第17题、贵州黔东南州卷第19题、黑龙江绥化卷第26题、山东菏泽卷第14题、湖北荆州卷第16题等.

三、复习建议

1. 夯实基础，强化“四基”

“图形与坐标”是平面几何走向解析几何、常量数学走向变量数学的桥梁，坚实的基础是学生未来发展必须具备的条件. 在基础知识和基本技能层面，要明确《标准》对坐标与位置、坐标与运动的9条要求，系统掌握知识结构体系，准确把握学习难度，科学训练，不做繁、难、偏、怪的题目. 在基本思想方法和基本活动经验层面，要让学生充分体验和熟练掌握建立坐标系、描点画图这些基本操作过程，并借助图形直观研究问题. 要让学生经历把“研究对象”抽象成“图形”，再把“对象之间的关系”转化为“图形之间的关系”的过程，深刻理解数形结合、转化、分类、抽象等数学思想方法，并把这些思想方法自然运用于学习和解题中.

2. 认清特点，用好“工具”

对于“图形与坐标”的学习，不能止步于“四基”层面. 基于它的工具作用，在后续学习中要加强与函数、不等式、解三角形等知识的密切联系，边学习边回顾，把坐标与位置、坐标与运动的《标准》要求与新内容充分融合，达成知识螺旋发展的良好态势. 例如，在函数教学中，通过函数史特别是笛卡儿解析法的回顾，充分认识坐标系在函数发展历史上的重要价值，在解决文中例5这类问题的时候，先从解析式的角度进行分析，再从图形的角度观察，加深学生对坐标系在解决函数问题中的优越性的认识，进而自然而然地熟练运用坐标系这一工具.

3. 着眼发展，提升素养

数学教育要落实立德树人的根本任务，促进学生在情感、态度、价值观方面的健康发展，让学生在学好“四基”、掌握“四能”的基础上，提升数学素养. 素养的发展不是一蹴而就的，而是渗透于日常的学习生活中的. 例如，例3的教学，这道题难度不大，站在着眼于学生发展的角度，就不能只是解题了事，而应当以问题为引导做深度探究. 问题1：阅读试题，此时我们首先要做的事情是什么？其次呢？再次呢？该问题意在让学生在审题中建立文本条件和图形条件对应的意识，培养他们细致观察图形的习惯，发展几何直观素养. 问题2：在思考问题1时，你联想到什么？产生了哪些解题思路？该问题意在让学生建立思路梳理的解题习惯，而不是不管不顾地直接解题，发展他们有条理思考问题的能力，也就是逻辑推理素养. 问题3：完成此题的解答过程，思考还有其他的解题思路吗？与同学交流你的想法，尝试用另一种方法再次解答. 该问题意在拓展学生思维，提高学生的思维品质. 在问题引导下，学生完成解题后，可以让学生再思考，上述问题对学会解题有什么作用，进一步引导学生总结解题策略. 在国家“双减”要求的背景之下，课堂教学要减负增效，“效”从哪里来？从学生的学习习惯培养中来，从发展学生能力和素养中来，从引导学生学会学习的教学中来.

四、模拟题欣赏

1. 如图7，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为A（4，0），点B的坐标为B（0，-1），则点C的坐标是（）.

（A）（2，2）（B）（3，2）

（C）（3，3）（D）（2，3）

答案：B.

2. 如图8，已知点A的坐标为A（1，0），点B在直线[y=-x]上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）.

（A）（0，0）（B）[12，-12]

（C）[22，-22] （D）[-12， 12]

答案：B.

3. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图9所示，若OA = 2，∠AOC = 45°，则点B的坐标是（）.

（A）（2 +[2]，[2]）

（B）（2 -[2]，[2]）