初中数学最值问题的突破途径

●骆建新

最值问题是一类综合性较强的数学问题，包含代数计算、方程（含参数的方程组）、不等式（组）、函数的单调性、几何计算与证明、对称等数学知识。 其往往以难题形式出现，学生感到解题十分困难。而教材对这一知识没有专门章节进行系统阐述， 更加大了学生学习的难度。 本文从代数和几何两方面寻找解决这一问题的突破口，将教材中分散的内容整体化，以促进学生对该问题的认知形成系统，提高学生分析和解决问题的能力。

代数最值集中体现一个代数式的值在变化过程中出现最大值或最小值， 而初中数学刻画变化过程的知识就是函数，体现运动变化思想，产生最值。 利用函数的增减性和函数本身的最值是解决这一问题的常用方法。 具体思路是：1.把要求最值的代数式化为只含一个变量的代数式。 2.若代数式是一次式就利用一次函数的增减性，确定自变量取值范围，在端点处取得最大值和最小值。 3.若代数式是二次式就利用二次函数的最值问题， 通常包括两种情形：（1）顶点的横坐标在自变量取值范围内，函数最值为函数本身的最值和两个端点处的函数值；(2)顶点的横坐标不在自变量取值范围内， 函数最值为端点处的函数值。 4.运用绝对值、算术平方根、偶次方运算特征求最值。 5.当一个代数式含有多个字母时，可用配方法解决代数最值问题。6.数形结合求最值，利用构造法求最值。 7.分类讨论求最值，涉及多个绝对值的运算需用零点分段法分类讨论求最值。8.最优方案设计问题，这也是最值问题的常见运用。

例如：①当x=时，|x-3|+5 取最小值______。可用运算特征直接获取最值。 ②代数式x2+y2-4x+6y+12的最小值是 _______。 可利用配方法解决问题，x2+y2-4x+6y+12=(x-2)2+(y-3)2-1，故代数式x2+y2-4x+6y+12的最小值是-1。 ③已知x、y、z 是三个非负数，且3x+2y+z=5，2x+y+3z=1，若s=3x+y-7z，求s 的最大值与最小值。这是一个典型的函数型最值问题，需把s 用一个变量的函数表示。条件“3x+2y+z=5，2x+y-3z=1”可以实现这一目标，得到x=7z-3，y=7-11z,这样S 可以表示为一个变量z 的一次函数s=3z-2。 这时S 的最值由一次函数的增减性确定， 必须求这个变量z的取值范围，接下来“x、y、z 是三个非负数”可以得出一个不等式组:7z-3≥0，7-11z≥0，z≥0，求出z 的取值范围问题得以解决。 ④y=-2x2-8x+5的最大值为 ______。本题中自变量可以取一切实数，当时，y 取最大值为13。 ⑤y=-2x2-8x+5 (3≤x≤5)的最大值为______，最小值为 _____。当3≤x≤5 时，对称轴x=-2 不在这一取值范围（当x-2 时，y随x 增大而减小）；当x=3 时，y取最大值为-2×32-8×3+5=-37； 当x=5 时，y 取最小值-2×52-8×5+5=为-85，求的最小值。 由平方和联想勾股定理，构造两个直角边分别为x、1 与(3-x)、3 的直角三角形，转化为两个定点A,B 到直线l 的距离AC=1和BD=3，一个动点P 在CD 上运动，CD=3，求AP+BP和的最小问题，使问题转化为作点A 关于CD 的对称点A1，连接A1B，则A1B 的长度是最小值为5。 ⑦求y=x-5+x+1 的最值。 由零点分段法：x≤-1；-1＜x＜5；x≥5。 (1)当x≤-1 时，y=-2x+4，当x=-1 时，y 的最小值为6；（2）当-1＜x＜5 时，y=6；（3）当x≥5 时，y=2x-4，当x=5时，y 的最小值为6。综上所述，y=x-5+x+1 有最小值为6（-1≤x≤5）。

几何最值常用两个公理：（1）两点之间线段最短；（2）点到直线之间垂线段最短。 再结合对称知识使问题得以解决。 其包括以下几种类型：

1.立体图形中的最值模型。 当我们沿立体图形的表面寻找最小值时，通常会展开为平面图形，再根据两点之间线段最短求最值。 例如： ①矩形ABCD为圆柱体的横截面，BC 是上底的直径，其中AB 为4cm，底面圆周长为16cm，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱侧面爬行到点C，则爬行最短路程是多少？②圆柱形玻璃杯高为12cm，底面周长为18cm。在杯内离杯底4cm 的点C 处有一只蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜处的最短距离为______cm。 这两个问题均需展开为平面图形。第一题直接将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答。 底面周长为16cm，半圆弧长为8cm，画展开图形由题意得：BC＝8cm，AB＝4cm， 根据勾股定理得第二个问题需用对称的知识进行转化，即将圆柱沿过A 的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在直线上找一点F，使AF+CF 最小，则先作出A 关于杯口所在直线的对称点A′， 连接A′C 与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A′F+CF＝A′C，再利用勾股定理求A′C 的长即可。

2.一定一动取最小值模型。 题目出现一个定点A，一个动点B 在直线上运动，求AB 的最小值。 利用点到直线之间垂线段最短可以解决。 例如：Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4， 点D 是BC 上动点，求AD 的最小值。 A 到BC 的垂线段AD 的长度可以用面积法求得，AB×AC=BC×AD，得

3.两定一动和最短模型。 题目中出现两个定点A、B 和一个在直线上运动的动点C，求AC+BC 的最小值。 可分两种情况：两定一动（定点在直线异侧），可直接用两点之间线段最短，获取AC+BC=AB 为和的最小值；两定一动（定点在直线的同侧），则要用对称的知识作A 关于直线的对称点A′，把定点由同侧变异侧，转化为第一种情形，AC+BC 的最小值为A′B 的长度。

4.两定一动差最大模型。 题目出现有两个定点A、B，和一个动点C 在一条直线上运动，求AC-BC的最大值。 分两种情况：两定一动（定点在直线同侧），根据两点之间线段最短的推论（三角形两边之差小于第三边），当三点共线时，AC-BC 取最大值等于AB。 两定一动（定点在直线异侧），则需要用对称的知识作A 关于直线的对称点A′， 使异侧变同侧，转化为第一种情形，AC-BC 取最大值等于A′B 的长度。例如：①在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，-3）两点，与x 轴交于点C。在y 轴上找一点P 使PB-PC 最大， 求PB-PC 的最大值及点P 的坐标。 其属于两定一动差最大（同侧）问题，PB-PC 的最大值为BC 的长度。 故P 为BC 与y 轴交点。把A（3，5）代入可得m＝3×5＝15，反比例函数的解析式为；把点B（a，-3）代入y2=，可得a＝-5，得B（-5，-3）。 把A（3，5），B（-5，-3）代入y1＝x+b， 所以一次函数的解析式为y1＝x+2；一次函数与y 轴的交点为P （0，2）， 此时，PB-PC＝BC最大，P 即为所求，令y＝0，则x＝-2，所以C（-2，0），所 以②一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点A（-2，a）和点B（b，-1），过A 点作x 轴的垂线， 垂足为点C，△AOC 的面积为4。 在y 轴上取点P，使PB-PA 取得最大值时，求出点P 的坐标。 这属于两定一动差最大 （异侧）问题，作点A 关于y轴的对称点A′，点P 为A′B 与y轴的交点。 由△AOC 的面积为4，得解得k＝-8，或k＝8（不符合题意舍去），反比例函数的关系式为，把点A（-2，a）和点B（b，-1）代入y＝-，得a＝4，b＝8；由于点A（-2，4）关于y 轴的对称点A′（2，4），又B（8，-1），则直线A′B 与y 轴的交点即为所求的点P，则有直线A′B的关系式为与y 轴的交点坐标为即点P 的坐标为

5.一定两动和最短模型。 题目中出现一个定点A 和两个动点B,C，点B 在l1上运动，点C 在l2上运动，求AB+BC 的最小值，分两种情况：点A 与l2在l1异侧时，当A，B，C 共线时和最小，且垂线段最短，A到l2的垂线段的长度是AB+BC，为最小值；当点A与l2在l1同侧时，则要利用对称的知识，作点A 关于l1的对称点A′，转化为第一种情形解决。例如：在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，BC＝4，若E 是BC上的动点，F 是AC 上的动点，则AE+EF 的最小值为多少？ 这属于一定两动在直线的外部情形。 本题中一个定点为A，两个动点E 是BC 上的动点，F是AC 上的动点。 要使AE+EF 最短，属于第二种情形，无法利用两点之间线段最短求解，故作A 关于BC 的对称点D，交BC 于H，过D 作DF⊥AC 于F，交BC 于E， 根据点到直线之间垂线段最短， 此时AE+EF 的值最小，且AE+EF 的最小值为DF。 由∠A＝90°，∠B＝60°， 得∠C＝30°， 作A 关于BC 的对称点D，交BC 于H，过D 作DF⊥AC 于F，交BC 于E，则此时AE+EF 的值最小， 且AE+EF 的最小值为DF，连接CD， 可证△ADC 为等边三角形。 又BC＝4，得,故

6.一定两动周长最短模型。 题目中出现两条直线l1与l2交于一点，点A 在l1上运动，点B 在l2上运动，P 为角内部一定点， 求三角形ABP 周长的最小值。 要想取得PA+PB+AB 的最小值，如何使这三条线段共线是关键。 利用两次对称，作P 关于l1的对称点P1，作P 关于l2的对称点P2，连接P1P2，则P1P2的长度是三角形ABP 周长的最小值。 例如：平面直角坐标系中，已知M(1,3)，A 为x 轴上一动点，B为y 轴上一动点，求三角形MAB 的周长的最小值。可以通过两次对称，三角形MAB 的周长最小值为M 关于x轴对称点（1，-3）M 关 于y 轴(-1,3)之间的距离

总之， 初中代数最值问题可通过含最值的运算和函数思想解决。几何最值往往转化为：一定一动利用垂线段最短解决；两定一动和最小（异侧，同侧），利用两点之间线段最短解决； 两定一动差最大（同侧，异侧），利用三角形两边之差小于第三边，共线时等于第三边取最大值解决； 一定两动和最小利用两点之间线段最短、垂线段最短综合应用解决；一定两动周长最小，利用两次对称两点之间线段最短解决。