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由一道两圆公共弦所在直线的方程问题引发的思考

2022-03-09葛彩云

语数外学习·高中版下旬 2022年12期
关键词:两圆题海切点

葛彩云

如果两圆相交,那么这两个圆就会有两个交点,这两个交点的连线就称为两圆的公共弦.該弦较为特殊,弦的端点分别在两个圆上,端点的坐标满足两个圆的方程.那么如何求两相交圆公共弦所在直线的方程呢?

下面,我们一起来探究一道题目.

例1.求两个圆 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直线的方程.

仔细研究本题,可以发现,将(1)×3-(2),消去两圆的方程中二次项后的方程为7x -4y =0,该方程即为所求的两圆公共弦所在直线的方程.这是不是一种巧合呢?下面来证明一下此结论的正确性.

结论1:圆 x 2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (D1 2 + E1 2 - 4F1 > 0)与圆 x 2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0(D2 2 + E2 2 - 4F2 > 0) , 且 E1 ≠ E2 的公共弦所在直线的方程为 (D1 - D2)x +(E1 - E2)y +(F1 - F2)= 0 .

结论2:若两曲线的二次项系数成比例,则过其交 点的直线方程即为消去二次项后所得的二元一次方 程.

例2.若圆C1:x 2 + y2 - 4x + 6y = 0 与圆C2:x 2 + y2 - 6y = 0 的交点为A、B,求直线AB及其垂直平分线的方程.

利用上述结论1,消去两圆方程中的二次项,即可 得出相交弦所在直线的方程,这样大大简化了运算.

例3.求两圆 x 2 + y2 - 10x - 10y = 0 ,x 2 + y2 + 6x + 2y -40 = 0 的公共弦的长.

解答本题,需先根据结论1,将两圆方程联立,通 过变形将其二次项消去,求得两圆公共弦所在直线的 方程;然后根据圆的性质:弦心距、弦的一半、圆的半 径为直角三角形的三边,利用勾股定理进行求解.

例 4. 如图,过原点作圆 C:(x - 3) 2 +(y + 4) 2 = 1 的 两条切线,求过两切点的直线方程.

通过构造一个圆,将过两切点的直线问题转化为 求过两圆的交点的直线方程,即两圆公共弦所在直线 的方程问题来求解,那么解题过程就会变得十分简洁.

“题海”训练是一种低层次的学习方式,而跳出 “题海”最有效的办法,是探究一些典型、常见题目的 通性通法,总结解题的规律.这就要在面对每一道数学 问题时,不仅仅停留在解题的层面上,要对其进行更 深入的研究,在不断的探究中积累解题经验,提高解 题的能力.(作者单位:江苏省盐城市大冈中学)

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