例析三类简易逻辑问题的解法

叶松林

简易逻辑问题的难度一般不大，但很多同学在解题时经常会出现错误.对此，笔者对三种常见的简易逻辑问题及其解法进行了总结，以供大家参考.

一、充分条件、必要条件的判定

若p＝q，则p是q的充分条件；若q＝p，则p是q的必要条件.判定充分条件与必要条件的常用方法有如下三種.

1．定义法．运用定义法判定充分条件、必要条件，需先理清题目的条件、结论，判断出“条件→结论”和“结论→条件”的真假.若“条件→结论”为真，而“结论→条件”为假，则为充分而不必要条件；若“条件＝结论”为假，而“结论＝条件”为真，则为必要而不充分条件.

2．集合法．可设集合A＝｛xlp（x）｝，表示命题p为真时变量x的取值范围；B＝｛xlq（x）｝，表示命题q为真时变量x的取值范围.若A是B的真子集，则p是q的充分而不必要条件；若B是A的真子集，则q是p的充分而不必要条件.

3．等价转换法．若直接判断命题的真假有困难时，则可以考虑判定它的等价命题，即逆否命题的真假.

例1．设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是IAB＋ACI＞IBCI的（ ）.

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析：因为点A，B，C不共线，所以AB与AC的夹角为锐角，可得AB·AC＞0．

因为IAB＋ACI＝AB＋AC2＋2AB·AC， IBCI=IAC-AB=AB+AC-2AB·AC， 所以IAB＋ACI＞IBCI，可得AB·AC＞0． 综上可得，AB与AC的夹角为锐角，则IAB＋ACI＞IBC1．故选C项．

本题不仅考查了充分条件、必要条件的判断，还考查了平面向量的线性运算、数量积、夹角.我们需将“AB与AC的夹角为锐角”视为条件，将“IAB＋ACI＞IBCI”视为结论，根据充分条件、必要条件的定义进行推理，得出结论.

二、写全（特）称命题的否定

写全（特）称命题的否定问题在高考中出现的频率很高.题目一般以基础题的形式呈现.写含有一个量词的命题的否定，需先明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词的位置，对其进行否定，再写出相应的否定结论.一些常用词的“否定”：是→不是；全是→不全是；至少一个→都没有；至多n个→至少n＋1个；小于→大于等于，对于含有逻辑联结词的否定，对应改变逻辑联接词，如p，q均变为p，7q：p或q→yp且～q；p且q→7p或nq．

例2．（1）若命题p为假命题，命题～q为假命题，则命题“pVq”为假命题；（2）命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”；（3）命题“VxER，2＇＞0”的否定是“3xeR，2＂≤0”，则以上结论正确的个数为（）.

A.3

B.2

C.1

D.0

解析：（1）→q为假命题，则q为真命题，所以p，q一假一真，pVq为真命题，故（1）错误；

（2）“若…，则…”命题的否定，要将条件和结论均否定，而（2）中对“x＝0或y＝0”的否定应该为“x≠0且y≠0”，所以（2）错误；

（3）对于全称命题的否定，要改变量词和语句，且x的范围不变．所以（3）正确．

因此本题的答案为C项.

需注意的是：全称量词的否定是存在量词；存在量词的否定是全称量词.对全称命题或特称命题否定时，需先更换量词，然后再否定结论.全称命题：p：VxEM，p（x）的否定为：p：xeM，p（x）；存在性命题： p：3xeM，p（x）的否定为-p：VxeM，-p（x）．

三、“任意型”“存在型”含参不等式问题

含有全称或特称量词的含参不等式问题一般称为“任意型”“存在型”含参不等式问题.一般可将“任意型”“存在型”含参不等式问题等价转换为求两个函数的最大或最小值，以及比较它们的大小问题.常见的转化形式为：①Vx1E［a，b］和Vx2E［c，d］，恒有f（x）≤g（x2） M≤n；②］x，e［a，b］和Vx2E［c，d］，恒有f（x）≤g（x2）

例 3.已知函数 f （x）= 2e x + 2e -x 3 ，其中 e 为自然对 数的底数.

我们将“总存在 x1 ∈[-a，a]（a > 0）， 对任意 x2 ∈ R， f （x1） ≥ g（x2） 都成立”等价转化为“函数 f （x） 在 [-a，a] 上的最大值不小于 g（x） 的最大值 ”.分别讨论函数 f （x） 、g（x） 的单调性和最大值，建立满足题意的关系式 即可解题.求解“任意型”“存在型”含参不等式问题，需 先将问题转化为函数最值问题，然后将其转化为不等 式恒成立问题.

总之，解答简易逻辑问题，需熟练掌握基本定义 以及相关的结论，对题目中的条件、结论、量词进行分 析、转化，以便将问题转化为易于求解的问题.（作者单位：江苏省溧水高级中学）