求函数值域的八种方法

陈秀红

值域是函数的三大要素之一.求函数的值域问题比较常见，侧重于考查函数的解析式、定义域、性质、图象的应用.这类问题具有较强的综合性，同学们需掌握扎实的基础知识，具备较强的变通能力，才能从容应对.下面，结合实例谈一谈求函数值域的八种方法.

一、观察法

对于一些含基本初等函数的简单复合函数值域问题，只需通过观察和对函数解析式进行简单的变形， 便可根据自变量 x 的取值范圍，利用基本初等函数的非负性、单调性、有界性等求出目标函数的值域.

例1.求函数 y =4- x2 的值域.

通过观察，可发现目标函数为二次函数与幂函数 y = 的复合函数，而 y =具有双重非负性，即：（1）定义域的非负性；（2）值域的非负性.利用二次函数的有界性与幂函数的非负性，就可以轻松求得函数的值域.

二、配方法

当所给的函数是二次函数或可化为类二次函数 F（x）= af2（x）+ bf（x）+ c（a ≠0）时，可以通过配方法求函数的值域.将函数式配方后得到形如 F（x）= af（x）+ m2+ n 的式子；再结合二次函数的图象，利用二次函数的单调性和有界性即可求得函数的值域.值得注意的是，运用配方法解题，要先确定自变量的取值范围，因为题中给定的或隐含的关于 x 的取值范围会影响到二次函数的值域.

例2. 求函数 y = x4 + 1 x4 - 1的值域.

求函数的值域，不但要重视自变量 x 、因变量 y 之间的对应关系，而且要特别注意定义域对值域的制 约作用.如本题中，在求得最值后，还要检验当y取最 小值1时，x 的值是否满足题目条件.

三、反函数法

若不易求得分式函数中 y 的取值范围，就可将 y 看作参数，用y表示x，求得x的表达式，则该式为原函 数的反函数.根据“原函数的定义域为其反函数的值 域，原函数的值域为其反函数的定义域”这一性质，通 过求反函数的定义域，间接求得原函数的值域.

例3. 求函数 y = 5x - 1 4x + 2 的值域.

直接求该目标函数式的值域较为困难，于是将该 分式函数变形，用y表示x，就能求得原函数的反函数， 求得反函数的定义域即可解题.运用反函数法求函数 的值域，可转换解题的思路，达到化难为易的效果.

四、分离常数法

若分式函数的分子中x的最高次数等于或高于分母 中x的最高次数，即形如y = cX + d aX + b （a ≠ 0）、y = cX2 + dX + e aX + b （a ≠ 0） 函数式，则需采用分离常数法，将原函数式转化 为 y = c a + m aX + b 、y = cX + d a + z aX + b （a ≠ 0） 的形式；再 结合x的取值范围，利用基本不等式、反比例函数与对 勾函数的性质，求得函数的值域.要特别注意函数的定 义域对值域的制约作用.求定义域是求值域的先决条 件，在求值域前，应先求出定义域.

例4. 求函数 y = x 2 - x x 2 - x + 5 的值域.

经观察，函数式的分子、分母中均含有 x 2 - x 项， 于是把它看作一个整体，进行常数分离.分离常数后， 表达式中只有分母含有变量，借助二次函数的有界 性，即可确定分式函数的值域.本题中的分母 x 2 - x + 5 = ? è ? ? x - 1 2 2 + 19 4 大于0，在解题时一定要考虑到分母不 能为0的情况.若分母为0时，要剔除掉对应的x、y值.

五、判别式法

对于二次函数值域问题，我们通常可以将 y 看作参数，将函数式转化为关于x 的一元二次方程 A（y）x2+ B（y）x + C（y）=0 ；再根据判别式 B（y）2-4A（y）? C （y）≥0，求出y 的取值范围，即可得到函数的值域.

例5.求函数 y = 的值域.

该函数的分子、分母都是关于x 的二次式，故可将其转化为一元二次方程；然后判断二次项系数是否为0.当系数为0时，方程为一次方程，判断该情形是否满足题意；当系数不为0时，方程才为二次方程，才能运用判别式法来求函数的值域.值得注意的是，若原函数的定义域不是整个实数集时，应将值域里扩大的部分剔除掉.

六、换元法

换元法是一种重要的解题方法，即是通过等量代换，求得函数的值域.在解题时，往往要先设出新的变 量，将其替换函数式中复杂的代数式，使函数式变得更为简单、熟悉；再根据新变量的取值范围，来确定新函数的值域.

例6.求函数 y =2x -3+ 13-4x 的值域.

对于形如 y = ax + b± （ a ≠0）的含有根式的函数式，往往要将根式或根号下的式子进行换元，以去掉根号，将函数式化为简单的二次函数式，再利用二次函数的性质来求函数的值域.换元后，一定要求出新变量的取值范围，以此来限定新函数的值域.

七、图象法

对于一些容易画出图形的函数值域问题，可以利用数形结合思想，通过研究图象，确定函数图象的最高点、最低点，从而求得函数的值域.在解题时，首先要深入挖掘函数式中代数式，如绝对值、根式、方程的几何意义，根据其几何意义来画出相应的图形.

例7.求函数 y = + 的值域.

经过巧妙的转化，便可将看似复杂的函数式以简单的图形呈现出来.通过直观的函数图象，即可将函数的最值一目了然了地呈现出来.

八、基本不等式法

基本不等式 a + b ≥2a >0， b >0是求函数值域的重要工具.在求函数的值域时，通常要将函数式进 行合理的变形，如添项、拆项等，以便配凑出两式的和 或积，并使其中之一为定值，就能运用基本不等式及 其变形式 a2 + b 2 ≥ 2ab、a + b + c ≥ 3 abc 3 求得函数式的 最值.运用基本不等式求得函数的值域，要满足“一正” “二定”“三相等”的条件.

例8. 求函数 f （x） = x 2 + 2x + 2 x + 1 的值域.

由于定义域为 x ≠ -1，所以不能确定 x + 1的符号， 故要分 x + 1 > 0 和 x + 1 < 0 两种情况，利用基本不等式 来求函数的最值.将函数式变形为 f （x） = x + 1 + 1 x + 1 ， 即可发现 x + 1、 1 x + 1 互为倒数，且为和式，这便为运用 基本不等式创造了条件.

除了上述的八种方法外，求函数的值域，还有最 值法、导数法等.在解题中，应注意结合函数的结构特 征，选择最合适的方法.总之，求函数的值域没有固定 的方法和模式，有时一道题可有多种解法，有时多道 题目的解法又可化归为一种解法，这就要求同学们不 断积累解题的经验，提升解题的能力.

（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）