解答数列求和问题的三个常用路径

王飞

纵观历年来全国各地的高考数学试题，不难发现 数列求和问题是重点考查的对象之一.数列求和问题 中的条件以及求和要求不同，因而往往需运用多种不 同的方法进行解答.本篇文章主要对三种求和路径：错 位相减、分组求和和裂项相消进行分析和探讨，以期 帮助同学们更从容地应对数列求和题目.

一、错位相减

若数列的各项由等比数列和等差数列各项的乘 积构成，则可采用错位相减法求数列的前 n 项和.其解 题的步骤：①列出数列前 n 项和的表达式，并在该式 的左右同时乘以等比数列的公比；②将两式错位相 減，使其中的部分项构成等比数列；③根据等比数列 的前 n 项和公式进行运算、化简，即可求得数列前 n 项的和.

仔细研究 {bn} 通项公式的结构特点，可发现，其 由等差数列 {n} 和等比数列 {2 } 2n - 1 各项的乘积构成. 于是采用错位相减法，在数列和式的左右同时乘以公 比 q = 22 得到另外一个表达式；再将两式错位相减，根 据等比数列的前 n 项和公式进行求解即可.

二、分组求和

分组求和法是指把数列的前 n 项和式按照一定 规律分成几个不同的组，再分别求和.在分组时，可按 照奇数项和偶数项，将数列的前 n 项分成不同的两组； 也可抽取其中的部分项使其构成等差数列、等比数列、 常数列，还可以将其中的负数项分为一组，将正数项分 为一组；等等.分别根据等差、等比数列的前n项和公式 求得每一组数列的和，最后综合所得的结果即可.

虽然该数列的通项公式并不明确，但根据数列的 各项具有一定的规律，于是将带有负号的项分为一 组，其他正数项分为另外一组，通过求常用数列{n}和 {n } 2 的和求得数列的和.

三、裂项相消

裂项相消法是指将数列的通项公式分裂为两项 的差的形式，通过重新组合，在求和时某些项能够相 互抵消，从而达到求和目的.运用裂项相消法求和，需 根据所求数列通项公式的结构特点，将其进行适当的 裂项.

数列{bn} 的通项公式可分裂成  的形 式，于是采用裂项相消法，将数列{bn} 的前 n 项相加， 那么中间的部分项，如 - 1 2 与1 2 、 - 1 3 与1 3 …- 1 n与1 n 就 会相互抵消，化简剩余的项，即可得到数列的和.

总之，错位相减法、分组求和法、裂项相消法的适 用情形和特点均不相同，同学们在解题时要仔细研究 数列和式以及通项公式的结构特征，选择与之相应的 方法进行求和.

（作者单位：甘肃省清水县第一中学）