谈谈异面直线之间距离的求法

谢琴琴

求异面直线之间的距离问题具有较强的抽象性.在面对此类问题时，很多同学常常感到无从下手.其实，求两条异面直线之间的距离，关键是要找到两条异面直线的公垂线，将问题转化为平面几何问题来求解.本文主要介绍两条异面直线之间距离的几种求法，供大家学习、参考.

一、定义法

异面直线是指在空间内既不平行也不相交的两条直线.而异面直线之间的距离就是同时垂直于两条直线的线段的长度，即公垂线的长度.运用定义法求异面直线之间的距离，需根据几何图形的结构特征作出公垂线，再将公垂线视为某个三角形、平行四边形、矩形的一条边，运用正余弦定理、勾股定理、矩形的性质等求公垂线的长度.

例1.已知正方体 ABCD -A′B′C′D′的棱长为1，求异面直线 DA′与AC 之间的距离.

运用定义法求异面直线之间的距离，先要作出异面直线的公垂线.在本题中，A′C ⊥ OE 、OE ⊥面A′CD ，即可证明 OE 同时垂直于 DA′和AC 两条直线.然后将 OE 放置在直角三角形中，根据三角形的面积公式求出 OE 的长度，即为异面直线 DA′与AC 之间的距离.

二、向量法

运用向量法求异面直线之间的距离，要根据几何图形的结构特征，建立合适的空间直角坐标系，并给各个线段赋予方向，将各点、线段、平面用坐标表示出来，就可以通过向量的坐标运算，求得异面直线之间的距离.

例2.在长方体 ABCD -A1B1C1D1中，AB =4，AD =3， AA1=2，M，N 分别为 DC、BB1的中点，求异面直线 MN与A1B 之间的距离.

先设出异面直线公垂线的方向向量；然后在两直 线上各取一点 A、B ，求出向量AB ；再求出AB 在公垂 线方向向量上的射影，即可求得两条异面直线之间的 距离.

三、函数最值法

异面直线之间的距离，也就是两条直线上的两个 点之间距离的最小值，我们可以将问题看作最值问 题，把两条异面直线之间的距离表示成某一个变量的 函数，通过求其最小值，来解答异面直线之间的距离 问题.

设出变量，将公垂线的长用函数表示出来，便可將问题转化为函数最值问题，这样将数与形相结合，便可快速求得异面直线之间的距离.

总之，上述三种方法都是较为常用的方法，针对不同的条件问题，选用最为合适的方法求解，才能简化解题的过程，降低解题的难度.

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）