巧用导数法解答函数与数列问题

代思波

导数法是一种重要的解题方法.利用导数法解题，实际上是利用导函数与函数单调性之间的关系来判断函数的单调性，进而根据函数的单调性来求得问题的答案.对于一些与函数单调性、函数的最值、数列的最值有关的问题，利用导数法，可转换解题的思路，将问题转化为导数问题来求解，这样便可从新的途径寻找到解题的方案.

一、函数问题

导数是解答函数问题的重要工具，尤其在判断函数的单调性、求函数的最值时，灵活运用导数法，可有效地提升解题的效率.

1.判断函数的单调性

一般地，若函数 y =f（x）在区间 D 内可导，且在区间 D 内 f ′（x）>0 ，则 f（x）在区间 D 上为增函数；若 f'（x）<0，则 f（x）在区间 D 上为减函数.在解题时，可先对函数求导，然后判断导函数与0之间的大小关系，进而根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性.

例1.若函数 f（x）= ln（2x +3）+ x2 ，试讨论 f（x）的單调性.

若题目中直接给出了函数的解析式，对于这种相对简单的题目，可首先确定函数的定义域；然后对函数进行求导，并在其定义域内讨论导函数与0之间的关系；最后根据导函数与函数单调性之间的关系得出结论.

例2.已知函数 f（x）= ln x +2x2+ mx +1在0， +∞内单调递增，求 m 的取值范围.

有些函数式中含有参数，在运用导数法判断函数的单调性时，若容易分离出参数，则先采用分离参数法将参、变量分离；然后对不含参数的式子进行求导，根据导函数与函数的单调性之间的关系建立关于参数的关系式.若不容易分离参数，则需对参数进行分类，并在每一种情况下讨论导函数与函数单调性之间的关系.

2.求函数的最值

运用导数法求可导函数 y =f（x）的最值的步骤如下：

（1）利用导数公式及运算法则求出函数的导函数 f'（x）；

（2）通过分解因式或利用求根公式求方程f'（x）=0在定义域内的根；

（3）判断 f ′（x）在方程 f ′（x）=0的根 x0左右两侧的符号.如果 f ′（x）在x0 的左侧附近为正数、右侧附近为负数，那么函数 y =f（x）在 x = x0 处取得极大值.如果 f ′（x）在x0 的左侧附近为负数、右侧附近为正数，那么函数 y =f（x）在 x = x0处取得极小值；

（4）若函数的定义域为闭区间[a， b]，则需将所求的极值与定义域端点处的函数值 f（a）、f（b）进行比较，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.

在求函数的极值时，往往可以结合函数的图象或表格来分析问题，这样有利于提升解题的效率.

例3.已知函数 f（x）= x3-12x +8在区间-3， 3上的最大值与最小值分别为 M， m ，则 M - m =___.

在解题时，同学们要注意极大（小）值与最大（小）值之间的区别，在定义域为开区间时，极大（小）值即为函数的最大（小）值；在定义域为闭区间时，极大       （小）值不一定为函数的最大（小）值，有时最值在区间的端点处取得.

例4. 函数 f（x）=  ，当 a≠0时，求f（x）的最值．

根据题意可知函数的定义域为 R，所以在利用导数法讨论函数的单调性时，要用导函数的零点将实数集 R 划分为三个子区间，并在每个子区间上讨论导函数与0之间的关系.该解法中，用表格的形式直观地呈现了导函数与0之间的关系，这为我们确定函数的极小（大）值带来了很大的便利.

二、求解数列问题

数列是自变量为正整数的函数.对于数列最值问题，通常可先将数列的通项公式、前n 项和式等看作关于n的函数式；然后对函数求导，研究导函数与函数单调性之间的关系，即可判断出函数的单调性，求得最值.

利用导数法求解数列最值问题，关键是利用导数的性质判断数列及其关系式的单调性，从而根据其单调性求得最大、小值.

总之，在解答较为复杂的函数、数列问题时，同学们要学会将问题与导数关联起来，利用导数法来判断出函数、数列的单调性，从而使问题顺利获解.运用导数法解题的思路较为简单，且容易入手，但是解题过程中的运算量较大.（作者单位：江西省宜春市第九中学（宜春外国语学校））