“函数”单元结构化教学设计

张嘉玲

摘  要：单元结构化教学有助于学生理清知识的内在关联，培养学生的数学学科核心素养，养成解决问题的一般规律. 明确“函数”单元结构，掌握学生认知基础，围绕数学学科核心素养，用结构化的观点进行“函数”单元的教学设计. 从具体到具体，形成研究具体函数的一般路径;从具体到抽象，探索函数的本质特征;从一般到具体，培养学生用函数解决问题的能力，体现“函数”单元结构化教学的系统性、联系性和发展性原则.

关键词：结构化教学;单元教学设计;函数

随着新版教材的实施和推广，高中数学教学应该从全局观、大局观、联系观的角度出发，设计符合学生认知发展规律的课堂教学. 获得的知识如果没有完美的结构联系在一起，则多半会被遗忘. 为了避免学生所习得的知识碎片化，以结构化的观点进行单元教学设计，重组教学内容，重视数学知识之间的内在联系，促进学习的可持续发展. 从整体的角度来认识数学知识，从联系的观点剖析数学本质，更有利于学生建立数学知识结构，探寻解决数学问题的一般规律，提升数学学科核心素养. 用结构化的观点，对“函数”单元进行整体分析，形成“函数”单元教学的一般路径.

一、单元结构化教学设计的含义

单元教学设计是从某一单元（章节）或者某部分适合组织在一起的知识出发，综合利用各种教学方法和教学策略进行的教学设计，以让学生通过这一阶段的学习完成相对完整的知识单元的学习. 结构化教学就是从整体的角度，以联系的观点和促进发展的目的进行课堂教学. 单元结构化教学设计就是用整体观、联系观和发展观进行单元教学设计，突出大概念、大单元的思想，单元结构化教学的核心是促进学生完善知识体系，引导学生发展思维，促进学生养成能力.

二、“函数”单元结构化教学设计的意义

函数是高中数学的核心内容，它的重要性不仅在于知识本身，更在于其中蕴涵的丰富的数学思想，与其他数学知识联系紧密. 例如，用函数思想求解方程与不等式，用函数观点解释数列及求解析几何中的距离问题等. 函数内容丰富、思想深远，奠定了其在数学中的重要地位. 以结构化视角，将数学知识建立从点状到结构、从局部到整体的联系，更有利于学生的数学学习.

“函数”单元结构化教学的意义重大. 首先，从整体看局部，有助于理清知识之间的内在关联. 以宏观的角度把握函数知识的脉络，建立知识结构图，起到统筹全局、运筹帷幄的效果. 其次，从内部看联系，有助于培养学生的数学学科核心素养. 教师就如同方向标，指引学生学习函数单元知识，聚焦局部问题之间的关联，通过内部的结构化学习，形成数学学习方法和数学思想. 最后，从局部看整体，有助于形成解决问题的一般规律，使学生学会用函数思想解决问题，培养学生的数学建模素养，使学生的能力得到进一步升华.

三、“函数”单元结构化教学设计的原则

在整体观引领下，用联系的观点和发展的眼光，以函数的某个主题为教学主线进行的教学设计，应该遵循系统性、联系性和发展性原则. 函数贯穿于小学、初中、高中的数学学习，随着学生知识结构与认知能力的发展，其对函数的认识不断完善. 因此，需要关注函数的核心内容，重视函数知识的系统性和发展性. 对于函数的内部知识结构，既要关注函数知识间的内部联系，也要关注函数知识与其他数学知识之间的联系，重视函数的应用，以及函数在其他学科的辐射意义. 函数单元的教学，重在启发学生的思维发展，引导学生从具体到一般、从一般到应用，掌握研究问题的一般规律，形成解决问题的一般方法.

四、“函数”单元的整体结构化分析

1. 整体看教材，明确函数单元结构

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中明确指出，函数的内容包括：函数概念与性质，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用. 沪教版《普通高中教科书·数学》必修第一册，对函数内容进行了调整，将函数内容分为两个部分：第四章“幂函数、指数函数与对数函数”，研究函数的定义、图象、性质;第五章“函数”，包含函数、函数的基本性质、函数的应用、反函数（选学）. 将幂函数、指数函数、对数函数内容前置，再引出函数的概念、性质和图象，最后为函数的应用. 遵循了“具体函数—函数—函数的应用”的教學主线，是一种数学思想的引领，帮助学生掌握研究函数的一般规律.“函数”单元的知识结构如图1所示.

本单元的总体设计，是从特殊到一般，再从一般到特殊的过程，帮助学生进行概括与抽象、探究与实践，符合学生的认知发展规律. 从幂函数、指数函数、对数函数这三类具体的初等函数入手，研究其概念、图象及性质. 函数相关概念及性质的学习延续了具体函数学习的一般历程，对具体函数中的共性进行归纳概括，提炼出函数的一般概念，培养学生的数学抽象素养. 使学生学会用函数图象和代数运算研究函数的性质，了解其蕴含的规律，为研究一般函数的性质和图象打好基础，培养学生的逻辑推理和直观想象素养. 在现实问题中，能利用函数模型解决问题，体现了数学的应用价值，培养了学生的数学建模素养.

2. 掌握学情，明确学生认知基础

学生是课堂学习的主体. 作为教学活动的组织者和引导者，教师需要明确教学内容和教学目标，并基于学生的学习基础开展有效教学. 认知发展共有四个阶段：感知运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段. 高一学生正处于形式运算阶段，对事物的理解倾向于具体形象，具有一定的抽象概括能力. 本单元的学习，前有幂运算、指数运算、对数运算的基础，也有初中学习的具体函数为基础，教学设计应该结合学生认知发展的特点，关注学生的思维形成过程，发展学生智力. 以起点为基点，分析学生的思维形式、思维方式和思维过程，从学生的视角入手找到学生思维的难点. 从特殊到一般、从具体到抽象、从现象到本质，再从一般到具体、从本质到应用进行整体教学设计，使每位学生都获得发展.

3. 围绕核心素养，确定单元教学重点和教学难点

函数是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用，是贯穿高中数学课程的主线. 通过学生的生活背景，以具体的初等函数引入课题，使学生感知数学来源于生活、应用于生活，激发学生对数学文化的认同感，润物细无声地发挥数学的育人作用. 用描点法作具体函数的图象，归纳、总结函数图象的性质，并用代数方法研究函数的性质，逐渐形成研究具体函数的一般路径. 归纳、完善函数的概念及性质，学会用集合语言和对应关系理解函数，初步体会用代数运算和函数图象解释函数的主要性质. 利用函数的思想构造模型，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程，解决简单的数学问题和实际问题. 在函数单元的学习中形成数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理等素养，最终达到会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.

五、“函数”单元结构化教学设计的案例分析

1. 从具体到具体，形成研究具体函数的一般路径

幂函数、指数函数、对数函数的教学具有共性，都是以具体函数为载体，帮助学生发现、总结、归纳、证明函数的相关性质，为接下来学习函数的概念及性质奠定基础，可以形成研究具体函数的教学路径. 以“幂函数”教学为例（预计2课时），其主要内容包括幂函数的定义与图象，幂函数的性质.

（1）教学目标分析.

从学生生活实际中发现幂函数，从具体函数中总结、提炼幂函数的概念，用描点法作幂函数的图象，从特殊到一般，归纳幂函数的图象特征，并用代数方法证明幂函数的性质. 学会运用幂函数的图象及性质比较大小、求解不等式、作具体函数图象. 初步体会图象与代数运算是研究函数性质的重要方法，为研究函数及函数的性质提供一个基本途径.

（2）教学方法分析.

对于幂函数的图象与性质，从学生熟悉的生活问题入手构建幂函数模型，帮助学生感受用函数描述客观世界事物的变化规律，感受幂函数模型在生活中的广泛应用，提升学生的数学建模素养. 采用从特殊到一般的方法进行概括与抽象，让学生经历从具体到抽象、从几何直观到代数证明的过程，体会运用图象与代数运算是研究函数性质的一般方法，为下一阶段函数图象、性质及应用的探究奠定基础.

（3）教学环节分析.

设计7个教学环节：直观感知、形成概念、明确概念、绘制图象、研究性质、应用探究、结构概念.

环节1：直观感知.

从生活实例发现数学问题：橘子每千克1元，购买[x]千克需支付[y]元;正方形面积为[x]，边长为[y];神舟十一号载人飞船飞行1千米花了[x]秒，平均速度为[y]千米 / 秒. 将[y]表示成关于[x]的函数，直观感知、归纳总结出幂函数的共同特征，感受数学的魅力，渗透爱国主义教育.

环节2：形成概念.

由直观感知，引导学生归纳幂函数的形式特征，形成幂函数的概念，提高学生的数学语言表达能力，使他们学会用数学语言表达世界.

环节3：明确概念.

考虑到学生的学习能力差异，通过概念辨析进一步帮助学生理解概念，明确幂函数的形式特点，理解具体符号和变量的意义.

环节4：绘制图象.

在同一平面直角坐标系中作函数[y=x12，y=x3，y=][x-2]的图象，通过描点法作图，观察、总结函数图象的几何特征，学会用代数方法证明性质. 初步体会数形结合思想，培养学生的直观想象素养，为研究一般函数的性质提供一般化路径.

环节5：研究性质.

通过具体函数的图象和性质，总结幂函数在第一象限内的图象和性质，启发学生用代数方法证明函数性质，培养学生从具体到抽象的归纳能力，提高学生的数学抽象素养.

环节6：应用探究.

构造幂函数比较大小，如[1.3243]与[-243];已知[a-3-3<1+2a-3]，求实数[a]的取值范围;对于函数[y=x-1x-2，] 利用函数性质作图. 在解决问题的过程中培养学生的数学建模素养，引领学生感悟数学的应用价值.

环节7：结构概念.

引導学生根据所学内容，建构属于自己的数学知识结构图或思想方法结构图，师生共同建构认知结构图如图2所示.

2. 从具体到抽象，探索函数概念的本质特征

学习函数的概念及函数的基本性质，是一种从具体到抽象的过程. 例如，对于函数及函数的表示方法，可以设计教学主线如图3所示.

（1）教学目标分析.

从生活实际和具体函数中感知数学的实际价值，在初中用变量之间依赖关系描述函数的基础上，进一步用集合语言和对应关系来刻画函数，建立完整的函数概念，渗透化归思想. 了解构成函数的几个要素，能够根据不同的需要用图象法、列表法、解析法表示函数，通过具体实例了解函数的分段表示法，能在简单情形下求函数的定义域，理解函数图象的意义. 了解函数概念的形成与发展，体会数学知识的来之不易，达成立德树人的育人目标.

（2）教学方法分析.

学习函数的过程，经历了小学、初中、高中，函数概念的学习从模糊到清晰、从朴素到深入，与历史上函数概念的形成与发展过程类似，符合学生的认知发展规律. 本单元重在对具体函数中的共性进行归纳，提炼出函数的一般概念，是数学抽象素养的具体体现. 能够用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质，体现了数形结合思想，培养了直观想象素养. 教学过程中，从具体到抽象，再回到具体的过程，培养了学生的数学抽象素养.

（3）教学环节分析.

设计6个教学环节：情境引入、形成概念、明确概念、概念辨析、概念应用、历史回眸.

环节1：情境引入.

分别以生活实例和具体函数作为引入情境，如喷泉的水柱高度和时间的对应关系;吉林一号卫星的速度和燃料质量的对应关系;天气预报中温度和时刻的对应关系. 感知数学的实际价值，培养学生的数学建模素养.

环节2：形成概念.

由具体函数归纳函数的概念，学会用集合语言和对应关系完善函数的概念，挖掘概念的表现到本质，体现系统性原则，培养学生归纳、总结的能力，提高学生的数学表达能力，渗透化归思想，培养学生的数学抽象素养.

环节3：明确概念.

进一步理解概念，抓住概念的本质，逐步形成探究事物的一般规律. 从函数的概念中提炼函数的两个要素——定义域、解析式，进而确定函数的值域. 结合情境中的生活实例，总结函数的表示方法——解析法、列表法、图象法，体现联系性原则.

环节4：概念辨析.

围绕概念设计简单问题，辨析函数的概念，了解函数图象的作用;会判断两个函数是否为同一函数，如[fx=xx]与[gx=1，x>0，-1，x<0.] 了解函数的分段表示法.

环节5：概念应用.

围绕函数的概念，帮助学生解决函数的相关问题，会求函数的定义域和解析式，理解函数值的意义，提高学生解决数学问题的能力，培养学生的数学运算素养. 会作具体函数的图象，利用代数运算总结函数的性质，运用图形特征检验函数的性质，形成数学直观素养. 在解决问题的过程中进行单元小结，整理出整节课数学知识、数学方法、核心素养的脉络.

环节6：历史回眸.

介绍函数概念的形成与发展，让学生从函数的历史由来感知函数概念的形成是从模糊到清晰、从朴素到深入的逐渐完善的过程，也是人们认识事物的一般规律. 了解函数概念的发展历史，对于更好地理解函数概念有很大帮助.

3. 从一般到具体，培养学生解决数学问题的能力

学生通过函数单元的学习，体验从一般到具体、用函数思想解决现实世界中的变量关系，探寻现实生活中变与不变的规律，提升解决实际问题的能力. 以用函数观点求解方程与不等式、用二分法求函数的零点为例，设计函数应用的教学路径如图4所示.

（1）教学目标分析.

理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题中有关量的变化规律. 了解函数的零点与方程的解的关系. 在簡单的教学情形下，能借助函数的性质求解方程与不等式，能借助函数的图象解释求解的过程. 了解连续函数的零点存在性定理，理解用二分法求方程近似解的思想及算法.

（2）教学方法分析.

学会用函数的观点求解方程与不等式，探究函数、方程、不等式之间的内在联系，培养学生的函数思想和数学转化能力，在解决问题的过程中提升学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养. 函数的应用中蕴含了三条主线，分别是数学知识主线、数学思想方法主线和解决数学问题主线. 引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

（3）教学环节分析.

设计5个教学环节：问题导入、理论背景、思想提炼、应用探究、结构升华.

环节1：问题导入.

以简单的数学问题导入，用函数观点解不等式[x-12-1>0.] 将不等式[fx>0]的解用函数的观点转化为函数[y=fx]的图象位于[y>0]部分的所有点的横坐标，关注函数[y=fx]的零点，即方程[fx=0]的解.

环节2：理论背景.

解释其理论背景，探究函数、方程、不等式之间的内在联系，明确函数的零点、方程的解、函数图象的交点之间的关系，了解零点存在性定理，理解二分法. 提炼解决一类问题的知识基础，阐明关联，体现联系性原则.

环节3：思想提炼.

提炼数学思想，用函数的观点求解方程与不等式，用函数的图象解释求解的过程. 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的一个重要数学语言和工具. 函数思想与方程思想本质上揭示了运动和静止的万物规律，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，用函数的图象及其性质去分析问题、转化问题，从而解决问题.

环节4：应用探究.

用函数的观点求解方程问题及不等式问题. 例如，用函数的观点证明方程[x3+2x+1=100]不存在整数解;用函数的观点解不等式[2x+log2x≥2.] 培养学生的函数思想及数学转化能力，在解决问题的过程中提升学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养. 探寻函数、方程、不等式之间的相互联系，揭示变与不变之间相互依存、相互转化的规律. 对学有余力的学生进行思维拓展训练：若方程[x4+ax-4=0]的各个实根[x1，x2，…，xk k≤4]所对应的点[xi， 4xi i=1，2，…，k]均在直线[y=x]的同侧，求实数[a]的取值范围.

环节5：结构升华.

在数学知识、数学思想、问题解决的主线中，通过小组合作学习，引导学生掌握数学知识，促进思维发展，探寻事物变化的规律，形成数学思想和数学方法. 帮助学生逐步形成对函数本质的认识，学会用函数的观点解决实际问题，提升数学学科核心素养.

六、结束语

“函数”单元的结构化教学，是以系统性、联系性、发展性为指导原则，以函数的某一个主题为教学单元，关注数学知识之间的内在联系，注重学生的思维养成，重视学生的能力发展，形成解决问题的一般规律. 学生心中有结构，便能形成独立的学习架构;教师心中有结构，便能系统地指导学生发展，启发学生用数学眼光探索未知世界，开阔视野、丰富见识.

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