方程思想在初中数学教学过程中的运用

钟志莹

摘  要：方程思想的学习与运用是初中数学教学的重要内容，文章从方程思想的基本概念出发，结合案例和教学心得，从方程思想在代数和几何的教学过程的运用进行分析，验证了方程思想在初中数学教学中的重要作用。

关键词：方程思想，初中数学，教学过程

引言

方程思想是指从问题中的未知量入手，探求未知量和已知量之间的数量关系，运用数学语言，将问题中的条件转化为数学模型，适当设元建立相应个数的方程（组），实现问题与方程的相互联系，进而达到解决问题的目的。方程思想既是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式，也是初中数学教学的核心内容之一。教师在教学中要有意识地渗透方程思想，让学生学会初步应用。初中数学学习与小学数学学习有极大的不同，小学数学学习以同一题型反复多练，或者反复操练各种题型，也就是说小学的数学学习以模仿为主，这样容易束缚学生思维，不利于学生思维能力的培养。中学新课程理念下的数学教学强调要重视数学思想方法的渗透，构建良好认知结构，培养和发展学生的数学思维能力。而方程思想是学生数学学习的指导思想，更是基本策略。在数学教学过程中有效地运用方程思想，能够极大地优化学生的知识结构，易于理解掌握，还能够指导学生探索出更多解决问题的方法。

方程思想在初中数学学习中应用广泛，常见的是与方程有关的应用题。解决这类问题，不仅可以训练学生的方程思想，也可以让学生体验到利用方程思想解决问题的便捷性。在代数问题中建立方程求解未知数，在几何问题中引入未知量，建立方程求解的教学，可以使学生树立应用方程思想分析问题和解决问题的观点，体验到该方法的优越性和直观性。

小学数学中常出现的鸡兔同笼问题两种解法对比：

例1   鸡兔同笼，共有头30个，腿86条，问鸡兔各多少只？

小学解法：设都是兔子，则30只兔子应有120条腿，而现在只有86条腿多算了34条。这是因为每把一只鸡算成一只兔子就会多算两条腿，多算了34条腿一定是因为把17只鸡算成了17只兔子了。所以鸡是17只，兔子是30-17=13只。

初中方程思想解法：设有鸡x只，兔子y只，则

答：有鸡17只，兔子13只。

显然，初中方程思想解法一目了然，清晰易懂。

一、教学心得  初中数学教学过程中，方程思想运用举例

面对初一新生，如何上好第一节课甚为关键，通过介绍初中数学的学习方法与思想，特别是方程思想的学习，强化学生的思想认知。意识到中学数学学习，只要是求值、计算问题，每一节新课老师都是在教会你如何用新的方法寻找方程（组）或不等式（组），而你需要解决的大部分求值、计算问题都是在不断地寻找方程（组）与解方程（组）的过程中完成。因此，审题时必须带着方程的思想去将题目的条件转变为方程，从而达到解决问题的目的。

1.方程思想在代数教学过程中的运用：

（1）方程思想在数与式中的运用：

（2）方程思想在函数中的运用：

求点P的坐标和直线l1的解析式.

分析：a、函数图像过已知点告诉我们什么？——点满足函数解析式，即点的坐标可代入解析式得方程。b、函数图像交点如何使用？——即图像过交点（与a同理得方程）

显然用待定系数法求函数解析式，这里有k，b两个系数要求，必须要有两个方程才能解决，两个条件即告诉我们两个方程，问题迎刃而解。

（3）方程思想在解应用题中的运用

例5  “绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务。甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，且甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等.求甲工程队每天整治多少米？

应用题是同学们感觉入手比较难的题型，关键是找等量关系比较困难，其实一般都有明显或隐含的等量关系即方程，本题“甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等”是明显的等量关系，如何准确表达出两工程队工作的时间就是解决问题的关键所在。

解：设甲工程队每天整治x米，则乙工程队每天整治（1500-x）米，根据题意可得：

解得x=900，

经检验，x=900是原方程的根，且符合题意.

答：甲工程队每天整治900米.

例6  A、B两地相距160km，一人骑自行车从A地出发，速度為20km/h;另一人骑摩托车从B地出发，速度是自行车速度的3倍，两人同时出发，相向而行，经过多长时间相遇？

这种题看似没有等量关系，实则隐含对所有行程问题都适用的方程s=vt，即：同一个人所走的路程与他的速度和时间的关系，还有，这是相遇问题，即两人所走路程之和等于总路程，这样，运用方程思想就容易解决了。

方程思想在解决代数问题时随处可见，应用非常广泛，下面谈谈方程思想在几何计算中的运用。

2.方程思想在几何教学中的运用

几何教学中有几何证明、几何计算、作图等知识点。几何计算常会有求长度、求角度、求面积等问题，因此，找到合适的方程进行计算求值是必不可少的，下面举几个例子加以说明。

（1）方程思想在翻折问题中的运用：

如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长。

分析：这道题由于是矩形中部分翻折，因此，很多直角和直角三角形，故易想到直角三角形的性质和相关知识，如勾股定理，三角函数等等， 由翻折可知全等图形，从而知道哪些线段相等？哪些角相等？把已知的量标在图上相应位置，设要求的AG=x，则BG=4- x，在△ABD中运用勾股定理求得BD=5，由翻折可知 A'G= AG=x， A' D=AD=3， A' B=BD- A' D=2， 同理运用勾股定理可以表达出△BGA'  中三边关系A'B2+ A' G2=GB2，，即有22+ x2=（4-x）2  求出x即可.这里充分利用了直角三角形中三边关系勾股定理来构造方程解决问题.

（2）方程思想在相似三角形中的运用

例7  如图 D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：要求线段长度，自然想到找到等式来求解，即要找到相应的方程，告诉我们角相等，又有公共角，显然想到三角形相似对应边成比例是解决问题的关键。

解得，AE=3，故选C.

二、总结

经过实践与案例的论证分析可知，在初中数学教学过程中，无论是代数还是几何，方程思想的运用都是非常广泛的，如能灵活掌握方程思想，充分运用方程思想，带着方程思想去思考数学问题，将问题中已知量与未知量之间的数量关系，抽象成方程、不等式等数学模型，则初中数学的教与学必是轻松、愉快、高效的。

参考文献：

[1]李树臣.引导学生在过程中感悟数学思想——兼谈学生感悟方程思想的根本过程[J].中学数学杂志， 2020（4）：1-5.

[2]王萍. 初中生方程思想解题现状研究[D].上海：上海师范大学，2020.