定数截尾试验下Pareto分布参数的条件Γ-minimax估计

2022-03-06周巧娟

邵阳学院学报（自然科学版） 2022年1期

周巧娟

(南京审计大学金审学院基础部，江苏南京，210023)

帕累托(Pareto)分布是意大利经济学家Pareto研究经济问题时提出的，在经济、军事、可靠性分析等诸多领域中均有广泛应用。关于该分布的研究引起了学者们的广泛关注。韩明[1]在平方损失和熵损失下讨论了Pareto 分布中形状参数的Bayes 估计和多层Bayes估计,研究了其容许性等。徐宝等[2]在加权p，q对称损失函数下，研究了Pareto分布形状参数的最小风险同变估计、广义Bayes估计及最大最小估计，并研究了三者之间的关系。朱宁等[3]在尺度参数已知的情况下，得到了复合MLINEX对称损失函数下Pareto 分布形状参数θ的Bayes估计，并证明了其可容许性。魏艳华等[4]利用混合Gibbs算法给出了定数截尾试验下Pareto 分布参数的Bayes估计。李如兵等[5]在移动极值排序抽样下，针对共轭先验及Jeffreys先验，在多种损失下获得了Pareto分布形状参数的Bayes估计。这些成果大多是在不同损失下，运用各种抽样数据对Pareto分布形状参数的Bayes估计进行了研究，但关于Pareto分布参数的稳健Bayes估计的成果却不多见。

在Bayes方法的稳健性分析中，选择一个先验分布类是处理先验分布不确定性的常用方法，条件Γ-minimax估计是在给定一类先验分布族Γ的条件下得到的一种稳健Bayes估计。本文在对称熵损失函数下，讨论了Pareto分布形状参数的条件Γ-minimax估计问题。

1 Pareto分布形状参数的条件Γ-minimax估计

1.1 对称熵损失函数

PODDER提出MLINEX损失函数[6]，其定义为

(1)

这是一类非对称损失函数，金秀岩[7]在MLINEX损失函数的基础上，提出了复合MLINEX对称损失函数：

(2)

该损失函数为对称的非负严格凸函数，当ω=1,c=1时，式(2)为

(3)

此为对称熵损失函数[8]。这种损失具有对称性，即待估参数与其估计二者交换位置不会影响其函数形式。并且在该损失函数下，参数的稳健Bayes估计的求解要比一般的损失函数简单得多[9]。

1.2 Pareto分布形状参数的条件Γ-minimax估计

设Bayes统计推断中所采取的决策为δ=δ(x),损失函数为L(θ,δ(x))，x为子样，f(θ|x)为在子样x之下θ的后验概率密度，ρ(f(θ|x),δ)为采取决策δ的后验期望损失，即

ρ(f(θ|x),δ)=Ef(θ|x)[L(θ,δ(x))]。

条件Γ-minimax估计(CGM)最初是由WATSON[10]提出的，其定义为

MECZARSKI对其计算规则进行了研究，给出了求解条件Γ-minimax估计的关键定理：

定理1[11]定义函数r(α,a)=ρ(πα,a)，若该函数满足以下几个条件：

1)对于任何给定的α，r(α,a)对a是严格向下凸的。

2)对于任何给定的a，αmin(a)是r(α,a)的唯一极小值点，且是a的严格单调函数。

4)r(α1,a)-r(α2,a)是a的单调函数。

则满足r(α1,a*)=r(α2,a*)的a*即为a的条件Γ-minimax估计。

下面，将利用定理1讨论Pareto分布形状参数θ的条件Γ-minimax估计问题。

设随机变量X服从Pareto分布，其密度函数为

f(t;α,θ)=θαθt-(θ+1)

(4)

其中，α是尺度参数；θ是形状参数，且0≤α≤t，θ>0。

现有一批产品，寿命服从Pareto分布，共有n个，进行定数截尾试验，直到有r个失效为止，记失效时刻为t1≤t2≤…≤tr，则(t1,…,tr)的联合密度函数为

(5)

假设α已知，当样本t1,t2,…,tr为已知时，T为常量，所以，式(5)中参数仅为θ，取θ的先验分布为伽玛分布

(6)

由式(5)和式(6)可得θ的后验密度函数为

它仍为伽玛分布。

在对称熵损失函数式(3)下，选取决策δ的Γ-后验期望损失为

(7)

定理2取Pareto分布形状参数θ的先验分布族Γ1为

Γ1={π(θ;a,b)=Γ(a,b),a=a0,b1≤b≤b2,θ>0}

(8)

证明：该结论只需要证明，当π∈Γ1时，选取决策δ的Γ-后验期望损失

满足定理1的4个条件即可。

(9)

由式(9)可以看出：Δρ是δ的单调函数。

解得

(10)

定理3取Pareto分布形状参数θ的先验分布族Γ2为

Γ2={π(θ;a,b)=Γ(a,b),b=b0,a1≤a≤a2,θ>0}

(11)

证明：当π∈Γ2时，选取决策δ的Γ-后验期望损失为

解得

(12)

2 稳健性评价

关于条件Γ-minimax估计的稳健性评价，可沿用BERGER[12]的风险分析作为稳健性分析的基本方法。

决策δ(x)下的后验期望损失为ρ(π,δ(x))，那么决策δ(x)的稳健性指标为

(13)

由上式可知：若对任意取的值ε有

|RΓ(f(θ|x),δ)|<ε，

成立，则称该估计是ε稳健的。

因此，可以根据以上评价稳健性的指标来评价条件Γ-minimax估计稳健性的好坏。

3 随机模拟例子

假设有n=25个产品，寿命服从Pareto分布，其中，α=5，待估参数θ的真值为0.5，进行定数截尾试验，直到有r=20个失效为止，通过Monte-Carlo方法产生服从U(0,1)的随机数U1,U2,…,U20，再由ti=5/(1-Ui)2产生20个服从Pareto分布的随机数t1～t20分别为：17.786 5，20.472 2，51.496 2，7.675 7，9.475 9，920.523 8，8.537 0，6.575 6，14.491 1，37.468 9，7.463 3，14.038 2，51.628 7，11.003 3，849.922 4，84.745 2，13.940 0，7.736 9，13.902 8和6.994 3，那么可算得T=56.601 1，取θ的先验分布族分别为

由定理2和定理3的结论可得模拟结果，见表1。