数学原创命题的三点认识与思考

甘肃省庆阳市镇原县教育局 (744502) 董娅丽

近期，笔者参与了一些数学高考原创卷的命题和审核工作，期间有诸多的思考和认识.在此，将所思所想诉诸笔端，从原创命题的视角谈三方面的认识，与诸位同仁分享.

一、原创命题需科学严谨

科学严谨是原创命题的第一要素，原创命题需要符合科学依据，不能存在知识性、逻辑性或含糊不清的错误，不能有歧义、有误导性和违背科学规律，材料背景需要符合实际等.

例1 已知集合A={x|2x≥1}，B={-2,-1,0,1,2}，则集合CBA=( ).

A.{-2,-1} B.{1,2}

C.{-2,-1,0} D.{0,1,2}

分析：这是命题老师初稿中的一道试题，咋看试题，可能会觉得没有什么问题，其实这是一道错题.我们知道，补集的概念是在全集概念的前提下定义的，而题中的集合A不是B的子集，怎么会有集合CBA？所以说，该题的命题犯了概念、知识模糊和逻辑关系不清的错误.对于该题，命题作了下面的修正：

已知集合A={x|2x≥1}，B={-2,-1,0,1,2}，则集合(CRA)∩B=( ).

A.{-2,-1} B.{1,2}

C.{-2,-1,0} D.{0,1,2}

(1)求动点M的轨迹C1的极坐标方程；

分析：对于初稿中的这道试题，看似没有问题，但对于第(1)小题来说，缺乏前提条件，是不严谨的.因为不明确极坐标系和直角坐标系的关系，考生是无法“求动点M的轨迹C1的极坐标方程”的.经补充完善，修改如下：

(1)以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求动点M的轨迹C1的极坐标方程；

通过上述两题的命制我们认为，原创命题务必要做到：一是概念知识和逻辑关系明澈如镜，二是要严谨无误，即使是不经意间犯错也应避免的.

二、原创命题需严格规范

一道原创试题、一套原创试卷，既有考查学生知识和能力的作用，也有给学生示范的作用，所以小到标点符号、一字一句，大到题意的表述、解析过程的准确、完整，都要做到认真仔细、严格规范.切忌有题意表述随意、不条理，解答过程简单、不完善乃至缺步骤、图形不准确等现象的出现.

(1)求椭圆E的方程.

(2)设椭圆上顶点为P，若直线l与C相交与A,B两点,直线PA与直线PB的斜率的和为-1(直线l不经过点P).证明l过定点,并求定点坐标.

分析：这道试题，粗看也会觉得没什么大问题，但细究起来存在着多处不规范的地方.首先，椭圆方程中缺少了a>b>0的限制，而且将方程后面的“，其”换为“的”可使题意简洁；其次，“过F且垂直x轴的弦长为1”的表述不准确，应为“过F且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为1”；再者，(1)随意写成了“求椭圆E的方程”，应是“求椭圆C的方程”，而且后面的标点符号应是“；”，而不能用“.”；最后，(2)中用错了一个字，即“相交与”中的“与”应该是“于”.对此，进行了如下修正：

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆上顶点为P，若直线l与C相交于A,B两点,直线PA与直线PB的斜率的和为-1(直线l不经过点P).证明l过定点,并求定点坐标.

一个原创题，出现了这么多“细小”地方的不规范，在一定程度上反映了命题者教学基本功的不扎实和缺失.作为教师，应努力提高个人的教学基本功和教学修养.同时，在进行原创命题时，对每一个题目都应该字斟句酌、仔细揣摩和润色的，力争使每一道题目都达到“完美”的程度.

三、原创命题需落脚于“经典”

一道原创命题能否成为“经典”，不但需要从背景、条件到解法经过多次的提炼“打磨”，而且还应充分挖掘所潜在的拓展功能，发挥原创命题的最大效益.

分析：本题是三角求值题，主要考查三角函数的同角关系、诱导公式和简单的三角恒等变换等知识.题目虽难度不大，但计算量不小.经学生试做后，大多数的学生给出了下面的解法.

这样来看，解法2的计算量比之解法1的计算量要小的多了，但仍是处在“解题”的层面.对此，我们再引导学生：通过解法2，是否可以将题目的条件进一步弱化，去掉“α是第三象限角”呢？于是便有下面的变式题：

此变式已有了“解决问题”的端倪，体出现了多考想少考算的高考命题思路.在上面探索的基础上，我引导学生继续扩大“战果”，提炼出这类问题的模型：已知tanα值，求可化为关于sinα、cosα的齐次式的值.

这样就基本做到了“解决问题”，以上过程，很好地培养了学生“从‘解题’到‘解决问题’的能力”.