培养数学逆向思维 提升学生核心素养

福建省漳州市第一中学 黄素兰

逆向思维是一种创造性思维，能辅助学生深度理解教学内容与相关数学知识，对培养学生逻辑性思维有着重要的作用。在初中教育阶段这一学生数学学习的基础时期，应当为学生的逆向思维培养进行合情合理策略的构想，并在实践中实施相关策略，促进学生的数学逆向思维培养，提升学生的数学核心素养。

一、逆向设问，启迪逆向思维意识

培养学生的逆向思维，首先就要在教学中逆向设问，让学生通过逆向问题进行相应的逆向思考，从而启迪学生逆向思维意识，打开逆向思考的窗口。在逆向问题的指引下，学生的分析也会更加得心应手。

如在“有理数”这一节中，学生要学习到与有理数的概念相关的数学知识，此时教师就可以向学生进行逆向设问，启迪学生的逆向思维意识。在认知有理数这一概念时，以往常规的问题是有理数包含哪些类别，然后让学生进行整数、分数等多个类别的概括，容易出现含糊的情况，且提问方式较为常规，不容易让学生进行相关概念的记忆。此时教师就可以进行逆向设问，提问学生反方向的问题。教师首先引领学生阅读教材内容，让学生了解有理数包括哪些类别的数字组成后，向学生提问：“与有理数有关的知识我们已经了解了一部分，与有理数相对的无理数包括哪些数字？”学生此时就会根据已有的经验推断出无理数就是无限不循环小数这一概念。然后，教师向学生讲解：“是的，对有理数和无理数这一对概念，我们只需要把握住准确的无理数概念——无限不循环小数，除此之外的数字就是有理数，这样这一概念就比较容易记忆，大家也能更好地区分哪些是有理数，例如我们生活中常见的整数、分数都是有理数。”学生此时就理解了有理数、无理数之间的概念差别，通过紧紧把握无限不循环小数这一概念，实现对这一节内容的深度学习。

这样进行逆向设问，可以让学生进行灵活思考，为学生的逆向意识形成打开有效的窗口，从而打破以往教学中存在的定势，进行创新的同时发散学生的思维，实现对逆向思维意识的有效培养。

二、逆用公式，提升思维灵活性

培养学生的逆向思维，还要求教师引导学生进行数学公式的逆用，让学生通过逆用公式实现对数学问题的求解。这种逆用公式的方法为学生的问题解决打开了新的思路，有效促进了学生思维灵活性的提升。

如在“勾股定理”这一节中，学生要学习到与勾股定理相关的数学公式。此时教师可以引导学生进行数学公式的逆用，提升学生的思维灵活性。在这一节中常规的题目是根据勾股定理计算斜边边长，这种题目不能让学生完全习得勾股定理。教师可以为学生出逆向利用公式的题目，让学生进行灵活解决。“我侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后汽车与他相距500 m，你能计算汽车的速度吗？”学生此时就会发现，这一题目属于利用勾股定理进行计算的问题，但是已知的条件并不是两条直角边，而是一条直角边和斜边，学生此时就会进行勾股定理的逆向应用，根据斜边500 m、直角边400 m的情况，计算出另外一条直角边为300 m的结果，而这辆汽车用了10 s行驶了300 m，即可得到汽车的速度为300÷10＝30 m／s，实现了逆用公式解答题目，有效提升了学生的思维灵活性。教师继续向学生解释道：“我们在运用勾股定理时，不能只通过直角边的平方和进行斜边的计算，而是要学会根据任意两条边求第三边的值，例如在这一题目中知道直角边和斜边求另一直角边，这就需要我们熟悉勾股数都有哪些，在这一题目中出现的是3、4、5这一组勾股数，另外还有6、8、10，7、24、25，5、12、13这些，我们要形成逆向思维，不仅出现直角边数字要迅速想到斜边数字，出现斜边数字也应当迅速反应出相关直角边数字。”

引导学生进行逆用公式，从相反的方向理解如何进行题目解答，可以有效促进学生的数学逆向思维能力培养。在数学教材中存在许多可以进行逆向使用的公式，教师要酌情选择相关公式进行使用，提升学生对数学知识的理解深度。

三、逆向分析，执果索因

培养学生的逆向思维，还要从逆向角度，引导学生进行相反的分析，让学生通过反方向的分析，了解数学问题的前因后果，从结果入手推导出原因，从而实现对数学知识的深度掌握，促进学生的数学逆向思维的形成。

如在“一元一次方程”这一节中，就可以引导学生进行逆向分析，因为方程本身就是一种典型的从结果出发进行等式建构的数学方法，因此教师可以运用方程的题目让学生进行逆向分析。教师首先向学生出题：“某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱，我们现在将它的底面直径由4 m减少为3．2 m，在容积不变的情况下，高度应当增加到多少米？”学生此时就会开始思考，底面直径和高均为4 m，那么体积应当为16 m，而底面直径减少到3．2 m时，其底面积变为了2．56 m，此时16÷2．56，得到高应当为6．25 m。教师向学生讲述：“与其我们这样一步步的分析，不如直接从结果入手进行一元一次方程的设置，我们先将水箱的高设为x，那么我们就可以得到体积相等的式子，即2×2×4＝1．6×1．6×x，这样就可以直接通过结果得出等式，之后中间再进行化简，可以简便运算，得到结果。”学生就会了解到如何通过结果进行逆向分析，教师继续补充：“运用这种执果索因的方法，关键在于找到等量，运用等式进行计算。”

进行逆向分析可以帮助学生从结果入手，了解数学问题的推导过程，从而节省理解问题的时间，帮助学生进行高效的数学思考，促进学生的数学学习，在这一过程中，学生的数学逆向思维也被大大强化了。

四、反证，调转思维方向

反证是指在数学问题的解决过程中从相反方向给出的数学证明方法，它打破了常规教学的思路，有效实现了数学问题的创新解答，促进学生调转思维方向，实现逆向思维的有效培养。

如在“平行线的判定”这一节中，教师可以让学生运用反证的方法，调转自己的思维方向。教师首先向学生提出问题：“什么情况下两直线平行？”学生会回答教师与内错角、同位角、同旁内角相关的判定定理。教师再提问学生：“大家看我黑板上画的这两条直线，已知角1等于角2，那么两条直线平行吗？”学生发现两个角并不是同位角、同旁内角、内错角的关系，但是可以通过平角为180°推出同旁内角其实是相等的。此时学生就会从判定两者不平行的角度进行分析，由于两者的同旁内角相等且不同为90°，因此同旁内角不互补，因此两直线不平行，这样就实现了反证。

这样运用反证法进行数学问题的解决，让学生调转了思维的方向，促进了学生逆向思维的培养，在这一过程中，学生对数学问题的理解思路由正向验证转变为了反向思考，有效培养了数学逆向思维。

五、主客互换，转化矛盾

主客互换是指在数学解题时，把常量换为变量，从而达到转化数学矛盾的目的。它将题目中的已知条件转变为可操作、可变换的变量，有效实现了对数学问题创新性解答，实现了对学生逆向思维的培养。

如在“一元一次不等式”这一节中，教师可以让学生针对题目中的条件进行主客互换，实现矛盾转化。在“－x＋1＞7x－3”这一题目中，学生需要求出x的取值范围，为了使不等式两边尽量简化，就需要在两边同时加减整数实现去常量的目的，此时常量就会发生变动，学生将两边同时加3，就变味了－x＋4＞7x，这样就可以直接移项得到结果。

主客互换虽然没有直接采用逆向的解题方法，但它通过对数学问题中变量常量的转换，有效实现了对数学问题的创新解答，也是属于逆向思维的一种。这种主客互换的方式有较大的条件限制，教师要引导学生进行有效的情况区分。

在核心素养背景下，初中数学教师要有针对性地培养学生的逆向思维能力，帮助学生养成多角度、全方位思考问题的良好习惯，确保数学知识在现实生活中得到充分、合理的运用。