一个三角形内角不等式的加细

四川成都实验外国语学校 宿晓阳 （邮编：611130）

刘保乾先生在文[1]中给出了如下优美的三角形内角不等式:

在△ABC中，则

其中Σ表示三元循环.

笔者在文[2]中提出并且证明了如下优美的三角形内角不等式:

在△ABC中，则

通过比较不等式①和②，我们猜测

在△ABC中，有

通过探究不等式③是成立的.本文将给出不等式③的证明，供参考与欣赏.

命题1在△ABC中，有

其中Π表示三元循环积.

证明由三角形恒等式

于是易知③式等价于

再由三角形恒等式

知不等式⑤等价于

由⑤式及柯西不等式，有

即有

又易知：设a、b、c是正实数，则

于是在不等式⑧中，令

即得不等式

于是比较不等式⑦和⑨即得不等式（6）成立.故不等式③成立.

注比较不等式②和③即得不等式①的加细.

命题2在△ABC中，有