轨迹法在解不定三角形问题中的应用

安徽省芜湖市第一中学 刘海涛 （邮编：241000）

在一轮复习的教学中，发现一些以解不定三角形为背景的取值范围或最值问题中，若考虑构造三角函数解题，往往计算量大，过程繁杂，学生容易出错，而从动点的轨迹方面入手，数形结合分析问题，可以巧妙求解，避免繁杂的运算过程，起到事半功倍的解题效果.下面通过八道解不定三角形问题，谈轨迹法在解不定三角形中的应用.

1 轨迹为线段模型

例1已知M是锐角△ABC的边AB上一点则AB的取值范围是_____.

解析在△ACM中，由余弦定理得AM2＝CM2+AC2-2·CM·ACcos∠ACM＝72，即，由正弦定理得，即如图1，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥AC交AB于点F，由题不难明白点B的轨迹是线段EF（不含端点E、F），则AE＜AB＜AF.易知△ACE是以AC为底边的等腰直角三角形，△ACF是以AF为底边的等腰直角三角形，所以AE＝综 上 ，得

图1

图图22

评注解答该题的关键是抓住锐角三角形这一条件，分别作出B、C为直角顶点的临界情况（以AC为底边的等腰直角△ACE，以AF为底边的等腰直角△ACF），得到点B的轨迹是线段EF（不含端点E、F），进而得到AE＜AB＜AF.

例2在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75o，BC＝2，则AB的取值范围是______.

解析如图2，过点C作CM//DA交AB于点M，分别延长CD、BA交于点N，则可以理解为点A的轨迹是线段MN（不含端点M、N），则BM＜AB＜BN.在△BCN中，由正弦定理得即在 △BCM中，由正弦定理得即

评注从动点的轨迹入手，深入分析题目中四边形的结构特征，找到点A的运动轨迹为线段MN（不含端点M、N），分别分析点A位于M、N两点的临界情况，从而确定取值范围.该题也可以利用对角线AC将四边形分割为两三角形，将问题转化为关于∠BAC的三角函数，但是计算量大，过程复杂.

2 轨迹为外接圆模型

例3已知△ABC中则△ABC面积的最大值为____.

解析设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得即R＝1.设边BC上的高为h，则如图3，圆O为△ABC的外接圆，点A的轨迹为优弧BC（不包含B、C两端点），显然当点A位于优弧BC的中点时，h取最大值为1+所以△ABC面积的最大值为

图3

评注利用外接圆找到动点A的轨迹为圆弧，数形结合，知点A位于优弧BC的中点时取到面积的最大值，解答过程巧妙自然容易理解掌握.该题也可以运用函数思想构造函数解题，得到再求出最大值，但是该法运算量大，容易出错.

例4已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若则bc的取值范围是____.

解析设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得即R＝1.如图4，圆O为△ABC的外接圆，A1C、A2B均为圆O的直径，则，则点A的轨迹为劣弧A1A2（不包含A1、A2两端点），数形结合不难明白动点A从点A1向点A2运动的过程中，边c长度递增，边b长度递减.在直角△A1BC中 ，b＝2，c＝1，则b-c＝1；在 直 角△A2BC中，b＝1，c＝2，则b-c＝-1.综上bc∈ （-1，1 ）.

图4

评注相较于例3，例4中的三角形要求为锐角三角形，通过外接圆考虑角B、C分别是直角的临界情况，得到动点A的轨迹，数形结合分析点A运动的过程中边b、c的变化情况，问题迎刃而解，过程简捷，避免了繁杂的计算.

3 轨迹为隐圆模型

例5已知△ABC中BC＝2，AB＝AC，则△ABC面积的最大值为____.

解析如图5，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则B（-1，0），C（1，0）.设A（x，y）（y≠0），由AB＝AC，得整 理 得 （x-2）2+y2＝3，则点A的轨迹是以点（2，0）为圆心为半径的圆（除去与x轴的两个交点），则≤，故△ABC面积的最大值为.

图5

评注该题看似与解析几何无关，实则为隐圆（阿波罗尼斯圆）问题，若解题时能看破这一点，建立坐标系则可轻松解题，省去繁杂的计算.该题也可以设AC＝b，建立面积关于b的函数求解，但过程复杂，运算量大.

例6已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+2b2+2c2＝8，则 △ABC面积的最大值为____.

解析如图6，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xBy，则B（0，0），C（a，0），设A（x，y），由 题 得a2+2（x2+y2）+2（x-a）2+y2＝8，整理得数形结合，有S△ABC＝当且仅当，即

图6

评注首先固定边BC，将A视作定点，由条件式得为定值，发现该题的本质是隐圆问题，于是借助坐标系得出动点A的轨迹方程，轻松得出面积的最值.关于隐圆问题，在文献[1]和[2]中做了详细的介绍，读者可参考.

4 轨迹为椭圆模型

例7已知△ABC的周长为18，BC＝8，则△ABC内切圆半径r的最大值为____.

解析容易知道S△ABC由题知AB+AC＝18-8＝10＞BC，由椭圆的定义知，点A的轨迹为以B、C两点为焦点，10为长轴长的椭圆（除去椭圆长轴两端点）.如图7，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则点A的轨迹为轨迹方程为数形结合，知点A位于短轴端点时，S△ABC取最大值为

图7

评注首先通过S△ABC＝9r将问题转化为三角形面积最大值问题，由条件不难发现AB+AC＝10＞BC，进而得到点A的轨迹为椭圆，数形结合便可得到答案.另外该题也用海伦公式S＝将三角形面积转化为关于边b（或c）的函数求最大值.

例8已知△ABO（O为坐标原点）的重心、内心分别是G、I，且则cos∠OAB的最小值为____.

解析设A（x，y）（y≠0），则由得点I的横坐标为，又I为 △ABO的内心，所以＝8＞||

OB，由椭圆定义知点A的轨迹为以O、B为焦点的椭圆（除去长轴两端点），如图8，由椭圆的几何性质已知点A位于短轴端点时∠OAB取最大值，此时△ABO为等边三角形，则cos∠OAB的最小值为

图8

评注该题是一道内涵丰富的解三角形问题，考查了重心、内心等性质，解答该题的关键在于得到|AB|+|AO|＝8为定值，由椭圆定义知动点A的轨迹为椭圆，利用椭圆性质解答该题省去繁杂的计算过程，巧妙简捷.

以上8道求取值范围或最值问题，是笔者在一轮复习中为学生准备的解不定三角形例题，旨在帮助学生建立从动点轨迹的角度分析问题的解题意识，学会从不同角度思考问题，发散解题思维，形成解题策略，提高解题能力，发展数学核心素养[3].