轨道角动量算符与矢量算符及标量算符对易关系的严格证明

秦绪明，康东彪,2，郝红军，赵冬秋，张希威

(1. 安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳 455000；2. 浙江广厦建设职业技术大学 智能制造学院，浙江 金华 322100)

两个力学量算符之间的对易关系决定了这两个力学量能否同时取确定值，以及它们不确定度之间的关系，因此计算对易关系是量子力学的重要课题之一[1]. 角动量算符是量子力学中的一个重要算符[2]，人们经常要计算角动量算符与其它算符之间的对易关系. 杨秀德等人[3]对常见的坐标算符、动量算符、角动量算符与角动量算符之间的对易关系进行了计算，并由此总结出了角动量算符与矢量算符的一个普遍的对易关系. 该对易关系是十分重要的，但通常的教材中并没有给出严格的证明. 由于角动量算符与空间旋转有关，本文利用矢量算符的旋转特性，严格的证明了角动量算符与矢量算符的对易关系；同时，也论证了角动量算符与标量算符的对易关系；然后，我们列举了几个矢量算符和标量算符，验证了它们与角动量算符的对易关系；最后，我们讨论了矢量算符和标量算符的定义问题. 本工作有益于深入理解角动量算符、矢量算符和标量算符. 本文只讨论轨道角动量算符，所提角动量算符皆指轨道角动量算符.

1 空间旋转下矢量算符和标量算符的性质

1.1 矢量算符在空间旋转下的性质

(1)

(2)

(3)

Rβ(θ)eα=eα′

(4)

图1 空间旋转下矢量算符的性质示意图

(5)

最后，将Ψ′顺时针旋转θ角就可得

(6)

根据式(2)和式(6)，再由Φ是任意波函数，可得

(7)

式(7)给出了矢量算符在空间旋转变换下的性质.

1.2 标量算符在空间旋转下的性质

(8)

(9)

最后，将Ψ′顺时针旋转θ角就可得

(10)

比较式(8)和式(10)可得

(11)

式(11)给出了标量算符在空间旋转下的性质.

2 角动量算符与矢量算符和标量算符的对易关系

2.1 角动量算符与矢量算符的对易关系

先由式(7)推导角动量算符与矢量算符的对易关系.假设空间以eβ为轴逆时针旋转无穷小角度Δφ，则eα变为eα′，即

eα′=eα+Δφeβ×eα

(12)

所以

(13)

(14)

由于ψ(r,θ,φ)是任意波函数，所以

(15)

相应地，对于顺时针旋转算符将上面的Δφ改变符号就可以了.式(14)和式(15)的推导可以从通常的量子力学的教材中找到，比如曾谨言先生的《量子力学教程》中就有类似的推导[4].

把式(13)和式(15)代入式(7)得

(16)

整理并忽略Δφ的高阶无穷小可得

(17)

式(17)给出了角动量算符与矢量算符的一般的对易关系.由此对易关系可以给出在直角坐标系下，角动量算符各分量与矢量算符各分量的对易关系.比如令eβ为z轴方向的单位矢量，eα为x轴方向的单位矢量，则式(17)变为

(18)

对于角动量算符各分量与矢量算符各分量的对易关系的一般表达式可以写为

(19)

其中，σ、δ和λ表示直角坐标系中的3个分量x、y和z，εσδλ为三阶反对称单位张量符号.这样，杨秀德等人[3]通过归纳得到的式(19)，这里通过严格的论证得到了，它给出了角动量算符与任意矢量算符的对易关系.

2.2 角动量算符与标量算符的对易关系

下面由式(11)推导角动量算符与标量算符的对易关系.这里仍然假设空间以eβ为轴逆时针旋转无穷小角度Δφ，则把式(15)代入式(11)得

(20)

整理后得

(21)

式(21)给出了角动量算符与标量算符的一般的对易关系，即角动量算符向着任意方向的投影都与标量算符对易.由式(21)可以给出在直角坐标系下，角动量各分量算符与标量算符的对易关系

(22)

所以，杨秀德等人[3]通过归纳得到的式(22)，这里通过严格的论证也得到了，它给出了角动量算符与任意标量算符的对易关系.

3 角动量算符与标量算符和矢量算符对易关系的验证

下面对角动量算符与标量算符和矢量算符的对易关系进行验证.杨秀德等人[3]已经把比较常见的标量算符(像动量的平方算符、坐标的平方算符)和矢量算符(像坐标算符、动量算符和角动量算符)与角动量算符的对易关系进行了验证，是符合式(22)和式(19)的.下面再构造几个标量算符和矢量算符进行验证.

(23)

(24)

(25)

不难验证这3个算符都与角动量算符的所有分量对易，满足式(22).

(26)

(27)

4 标量算符和矢量算符定义的讨论

4.1 从空间旋转不变的角度定义矢量和标量算符

(28)

(29)

首先由式(29)导出式(7).式(29)的两端同时点乘eα，得

(30)

这样就得到了式(7).

(31)

(32)

其中

(33)

其中，i′表示将空间旋转后，i转成了i′，第3个等号是根据式(7)得到.式(32)的其它几项也可以做类似的推导，所以

(34)

得到了式(29).

现在，我们可以对矢量算符的定义用文字表述为：当一个算符作用到一个波函数上得到一个矢量函数，并且该算符是空间各向同性的，则该算符称作矢量算符.式(7)或式(29)是空间各向同性的具体含义.

(35)

4.2 从与角动量算符的对易关系来定义矢量算符和标量算符

本文把式(7)和式(11)分别作为矢量算符和标量算符的定义，然后据此推导出了角动量算符和矢量算符的对易关系即式(19)，和角动量算符与标量算符的对易关系即式(22).其实也可以反过来，把式(19)和式(22)分别作为矢量算符和标量算符的定义.这是因为式(7)和式(19)是等价的，式(11)和式(22)是等价的.

下面我们对此进行证明.由于有限的空间旋转可以由连续进行无穷小空间旋转得到，所以只需要证明无穷小旋转下上面的命题成立即可.由前面的论证，在无穷小旋转下，式(7)与式(17)是等价的，式(11)与式(21)是等价的，所以现在只需要证明式(17)与式(19)等价，式(21)与式(22)等价.前面已经证明可以由式(17)得到式(19)，由式(21)得到式(22)，所以现在只要证明反过来也成立即可.设任意单位矢量：

eβ=β1i+β2j+β3k

(36)

eα=α1i+α2j+α3k

(37)

则

(38)

(39)

代入式(17)得

(40)

由式(19)可以证明式(40)是成立的，所以对于矢量算符的情况证明完毕.

对于标量情况，将式(38)代入式(21)得

(41)

由式(22)容易证明式(41)是成立的，所以对于标量算符情况的证明也完毕了.

从上面的证明可以看出，式(7)与式(19)是等价的，式(11)与式(22)是等价的.所以我们既可以用式(7)和式(11)作为矢量算符和标量算符的定义，也可以用式(19)和式(22)作为矢量算符和标量算符的定义，这反映了角动量算符与空间旋转之间的关系.两种定义各有优点：式(7)[或式(29)] 与式(11)从空间旋转的角度定义矢量算符和标量算符，比较直观和易于接受，也有利于加深对矢量算符和标量算符的理解；式(19)与式(22)从角动量算符与矢量算符或标量算符的对易关系进行定义，可以使人们更方便的利用对易关系，也有利于人们加深对角动量算符的理解.所以在教学中，应该对这两种定义都进行讨论，这样有利于学生深刻的理解矢量算符、标量算符和角动量算符，以及角动量算符与空间旋转的关系.

5 结论

本文从空间旋转的角度给出了矢量算符和标量算符的性质，并据此作为矢量算符和标量算符的定义，以此证明了角动量算符与矢量算符和标量算符的对易关系，并列举了几个例子进行验证.最后又讨论了矢量算符和标量算符可以从空间旋转的角度进行定义，实际上是要求这两个算符具有空间旋转不变性，也可以从它们与角动量算符的对易关系进行定义，两种定义各有优点，所以在教学中，对两种定义都进行讨论，对学生理解矢量算符、标量算符和角动量算符是非常有利的.