小学数学数量关系教学的实践与思考

周浦吉

（常州市武进区鸣凰中心小学，江苏常州 213000）

一、当前背景

传统“应用题”教学留下“熟悉类型—识别类型—套用解题方法”的基本模式。以发展的眼光来看，类似这样机械的数量关系教学并不可取。而新课改后的教学又将关注的重心过多地放在对信息的收集、整理上，对数量关系的形成与分析显得比较单薄，导致教学从“生活情境”直接走向“应用”，忽视了“数量关系形成”这个重要的数学建模过程。这样的教学，势必会削弱学生解决问题的思考能力，缩小学生的数学理解空间，这与新课程要求“解决问题”教学所要达到的目标相去甚远。

二、实质内涵

数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，因此数量关系的本质是多与少。他认为小学应用题从本质看，只有三种类型：1.总价=单价×数量、路程=速度×时间；2.植树问题；3.归一法问题，其余都是变式题型。

我们也可以将四则运算意义分为两大类，一类是部分量与总量的从属关系，另一类是两个量的比较关系。

简单地讲，小学数量关系就是加、减关系、乘、除关系以及复合关系。加减计算是一切计算的基础，由此产生的加减关系自然成为所有数量关系的基础，加减关系从小学一年级一直延伸到六年级。加减法的关系具体表现在两方面，一方面是部分与总数的部总关系可以有不同的呈现方式让学生感知；对加法的逆运用——从总数中减少一部分数。另一方面是比较类，也就是比大小，相差关系。

而对于乘除法，乘法本身产生于加法，是一种简便的加法，每个加数都相同的连续加法就是乘法；同理除法也是一种特殊的减法，连续递减同一个数，直至减完为止，就是除法。因此对应的乘除法关系也有两大类，一类是总数、每份数、份数关系；让学生体会到乘法的三种模型：连加、数轴和矩阵，并且熟识它们之间的转化。乘除法的第二类关系是比较类，该类关系是把较小的数看成一份，较大的数有这样的几份，或者把较大的数看成单位“1”，较小的数有这样的几分之几。

复合数量关系就是既有加减关系，又有乘除关系。实际来说，复合类解决问题才是教学的难点，复合应用题需要同学们能理解两层逻辑关系，先抓住题干中的主要数量关系，然后再寻找子元素下的分数量关系，就能有效解题了。

一上已经渗透了部总、相差和分总关系，一下有大量的部总和相差关系，二上是更抽象的相差关系和分总关系。也就是到二上为止孩子们对于部总、相差和分总之间的关系应该是比较清楚的了。二下是两步计算的问题，以及分总关系的一种变形。到三上是倍数关系，并且出现连除的问题。这就要求前期对数量关系是非常熟悉和熟练的。到三上为止，基本的数量关系都出现了，并且都应该是比较熟练的。三下还有连乘的问题。后期都是把数量关系柔和到一起进行使用，因为出现两步甚至三步的解决问题。其实还是万变不离其宗的。从三上开始出现解决问题的策略，每册书一种策略。

三、教学策略

数量关系的教学，承载着学生“由表及里，由浅入深”的质的飞跃。教师的教学应“深入浅出”，学生的学习应“浅入深处”。如何把握这“深”与“浅”的度，我们认为可以从以下几个方面尝试：低段启蒙 感知数量关系、情境感悟 提炼数量关系、全程贯穿 分析数量关系和生活中数学灵活选择数量关系。

策略（一）：低段启蒙 感知数量关系

在前面我们已经提到：四则运算的意义是数量关系最为基本的模型，数量关系与四则运算是相伴相生的，所以数量关系的教学要伴随着四则运算同步进行，在四则运算意义教学中有效渗透数量关系，做到低段启蒙，感知数量关系。如在二上学完表内除法后，设计了这样一题：根据这幅图，请学生说说下面算式的意思：8＋2、8-2、8×2、8÷2。学生的回答是比较精彩的：8＋2表示买1个文具盒和1块橡皮一共要多少钱。8-2表示买1个文具盒比1块橡皮要贵几元钱。8×2表示买2个文具盒要多少钱。8×2表示买8块橡皮要多少钱。8÷2表示买1个文具盒的钱可以买几块橡皮。这是一个比较复杂的问题，引导学生主动把实际问题与加减法和乘除法的意义联系起来，有利于学生加深理解数量关系，发展学生的求异思维能力。

只有以各种方式不断拓展对运算本质的理解，才能逐步完善学生对运算意义的建构。在此过程中学生也会有意识地思考情境中的问题与运算意义的联系，基本数量关系的教学也得到潜移默化的渗透。

策略（二）：情境感悟 提炼数量关系

新教材提倡让学生自主经历，从实际问题情境中探索隐含的数学模型，然后去解决数学问题，体现数学的过程。

如二上40页习题：一包饼干是4元，一块蛋糕是3元，一盒巧克力是6元，那么3包饼干、5块蛋糕和2盒巧克力分别是多少元？教师可以大胆放手。首先让学生自己计算，出示算式，让学生初步感受到一包饼干、一块蛋糕和一盒巧克力的价格是“几个几”中第二个“几”，3包、5块和2盒是第一个“几”，其实就是每个物品的价格、物品个数、物品的总价。并且通过观察、比较，学生还会发现三个算式的共性，找到三者之间的关系，从而构建出“每个物品的价格×物品个数=物品的总价”这一具体的数量关系，其实也是“每份数×份数=总数”的具化。在教学的时候，就可以渗透单价、数量、总价的概念了，构建总价类数量关系。

其次，也可以采用一些已有的生活常识与经验来增强学生的“数感”训练。如利用学生熟悉的购物经验，可以进行总价数量关系的专项练习；也可以利用学生熟悉的路程问题，进行对比梳理。帮助学生建构常见的数量关系。

策略（三）：全程贯穿 分析数量关系

并不是当我们遇到一个问题，才想起数量关系教学；数量关系的教学也不是一蹴而就的，必须经历由特殊到一般、由量变到质变、由感性到理性、由具体到抽象等过程。

如三下长方形和正方形面积教学，学生通过列表感悟长、宽与面积的关系；再出示图形，分割，发现一行有5个小正方形，有这样的3行，所以小正方形的个数是3×5得15个。这里就包含着简单的数量关系——分总关系，从而分析出具体的数量关系——长×宽=面积，从而类比出正方形面积计算公式。

而对于平行四边形、三角形和梯形的面积的计算学生存在很大的问题，因为在教学中往往会忽略探讨问题的过程，从而学生只记公式，最后公式经常记错，比如平行四边形的面积会把两条边的长度乘起来，这种问题究其本质，是因为学生没有真正理解平行四边形的面积公式是如何利用数量关系推导而来的,北京特级教师刘延革老师是这样教学的：

师：长方形的面积=长×宽，长表示什么意思？宽呢？

生：长是一行有多少个面积单位，宽表示一列有多少个面积单位，面积就表示有多少个面积单位。

师：正方形面积=边长×边长，在计算面积时，边长表示什么意思？

生：和长方形一样，都是一行有多少个面积单位和一列有多少个面积单位。

师：再想想长方形和正方形在计算面积的时候有什么相同的地方？

明确：有两条边相乘，第一个数表示一行有几个面积单位，第二个数表示一列有几个面积单位也就是有几行，最后算得一共有多少个面积单位。

追问：谁再来说一说？

提问：你能用刚刚的方法解决平行四边形的面积吗？

学生操作活动。

交流探讨学生都想到要转化成一个长方形或几个长方形来计算。

提问：每行单位面积的个数对应平行四边形的哪里？行数呢？

推导公式：平行四边形的面积=底×高。

……

刘延革老师在新授课前做了很多铺垫，复习长方形和正方形的面积公式，可是她不光光复习面积公式，更多的是复习面积推导方法，从而为后面的教学提供了有力的保障。事实上面积公式的探究权利应该教给学生，学生进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，找到新旧两个图形之间的对应关系，推导出公式，从而抽象出“直角模式”：一行单位面积的个数和行数，所有图形的面积都是由几行单位面积堆叠出来的，要找到这样堆叠的单位面积就需要进行转化成有直角的图形——长方形，那么计算面积的时候就得把底和高相乘，而不是两条边相乘，同样地，如果接下来梯形或者圆形的面积公式孩子也会有一些方法，而不会盲目效仿记忆公式。

面对一个问题情境，比如三上《长方形和正方形》教学，篮球场长28米，宽15米。篮球场的周长是多少米？教师应鼓励学生基于自己已有的知识经验自主构建“原生态”的数量关系，大部分学生都会得到求周长的方法：长+宽+长+宽，在此基础上，教师可以引导学生进一步转换思维视角，获得更简单、更为概括的数量关系第一次简化：长×2+宽×2，第二次简化：（长+宽）×2，通过对这一数量关系的变式运用，实现数量关系结构化迁移，从而贯穿我们教学的始终，学生有了这样的数量关系结构化迁移的经验，自然而然地会发现在解决问题时，一开始方法可能复杂的，可是随着探究数量关系的迁移，问题会越来越简单，也许这才是新课标中说的真正地解决问题吧。

目前，很多职业院校会计教学仍然是“一支粉笔走天下，一块黑板写春秋，一本教材定乾坤”，现代化的会计教具和教学手段十分有限，硬件设备落后，会计实训器材缺乏，会计模拟实训室不能充分发挥作用，实训基地不足，实训课成了名副其实的“副课”“加时课”，不能将原理与实务、手工记账与会计电算化、会计核算与分析有机结合,不能满足学生学习会计专业知识的需求。[1]

策略（四）：灵活运用 提炼数量关系

在教学中，数量关系是解决问题的途径，既是可操作的方法，也是解决问题的策略，因此数量关系教学应与解决问题的策略互相渗透。传统应用题教学中，分析法和综合法是运用最多的具体方法，值得我们学习。它们有别于针对解决某类典型问题的单项技能技巧，具有广泛的基础性、迁移性和普适性，是解决任何问题都需要具备的最基本的能力。

教材还介绍了画图法、列举法、倒推法、替换法和假设法。这些策略与数量关系分析，是你中有我，我中有你，并不是孤独存在的。可是不管是哪种方法可能都是孩子解决问题的策略，在策略中需懂得其中的本质方法——数量关系，如植树问题一直是教学中的一个难点，但是我想难就难在没有懂得其中真正的数量关系，也就是明确点和段的关系。浙江特级教师俞正强老师是这样教学的：

师：20米，5米分1段，共分几段？

生：4段。

师：为什么？

生：因为20 ÷4=5。

师：为什么用除法解决？不用加、减法？

生：因为是平均分的问题。

师：你可以用图形来表示吗？

学生画图

师：20米，5米种一棵树，共种几棵？

生：4棵。

师：有不同意见吗？

生：前面还有一棵，所以应该4+1=5（棵）。

师：到底是4棵还是5棵？怎么证明是5棵？

生：用画图的方法。

师：好，那你们去试试。

学生都画图。

师：实际上这是什么问题？

生：平均分的问题，所以用除法。

师：后面为什么还要加1？这两个问题的相同点是什么？不同点是什么？

生1：相同点是都是平均分的问题，不同点一个有1道算式，另一个有2道算式。

生2：第一个是求“段”的，第二个是求“点”的。

师：树是种在哪里的？

生：种在点上。

师：1段有几个点？2段？3段呢？

……

不管最后是一头种树，还是两头种树还是两头都不种树，学生都能通过画图的方式明确是求点的问题，都是平均分成几段后加1，再从图上看哪里不种，再用点数减几就能得到正确的答案，这样学生不需要再去刻意地记忆公式，只需要记住画图的方法就可以了，最后也培养了学生探究数学规律的能力，学生的感悟也非常深刻，这样的教学真的非常棒！

最后，学生数量关系的形成低段启蒙是重点，提炼概括是升华，全程贯穿是保证，灵活运用是关键。新一轮课程改革中如何引领学生更好地提炼数量关系，需要全体教师的主动参与，更应该以新的观念、扬弃的态度，传承精华、开拓创新，让学生动态探索，真正达到灵活运用数量关系的目的。