探索导数变式 回归概念教学*
2022-02-16湖北省咸宁市教育科学研究院437100廖明芳
湖北省咸宁市教育科学研究院(437100) 廖明芳
湖北省鄂南高级中学(437100) 李环宇 张文瑜
已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明: 存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
(2) 函数f(x)=ex -x,g(x)=x -lnx,如图,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞) 上单调递增;g(x) 在(0,1) 单调递减,在(1,+∞) 上单调递增;易知当x →-∞时,f(x)→+∞;当x →+∞时,f(x)→+∞;当x →0 时,g(x)→+∞;当x →+∞时,g(x)→+∞.
微积分的创立是数学史上的里程碑,其创立与处理四类科学问题直接相关,其中两类就是求曲线的切线和求函数的最大值与最小值.此解法中,很明显,需要考生对导数的概念,几何意义充分理解透彻,能够随时在概念和几何意义中切换,由数想形,以形助数,达到数与形的完美结合.也就导向明确地直指教学,对导数概念课的教学不宜机械化,它的生成是有着深刻实际背景的,借助背景来强化导数的教学,让学生能够体会到导数和曲线的切线、函数增减性的微妙关系.
我们知道,指对数函数有多种同构形式,如果我们把函数f(x),g(x)解析式中的减号改为除号,我们可以得到新的题目,如下:
变式1已知函数有相同的最大值.
(1)求a;
(2)证明: 存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
解(1)可得a=±1,因为是最大值(不是最小值),故a=1.过程略.
虽改变了题目形式,但解题思路仍大同小异,围绕导数概念进行考察.通过求导,很容易发现两个函数图象的走势,建立起导数和增减性的密切关系,从而达到解题的突破.在解题过程中对数学抽象、直观想象、逻辑推理都有着很好的培养.
思考我们知道y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)有三个交点是特殊情况,不妨再往前大胆探讨一下,如果直线y=b与两条曲线共有四个不同的交点,那么这四个交点的横坐标是否满足什么恒等关系呢?
变式2已知函数f(x)=和g(x)=有相同的最大值.
(1)求a;
(2) 若存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x) 和y=g(x)共有四个不同的交点,从左到右的四个交点的横坐标分别记为x1,x2,x3,x4,求证:x1x4=x2x3.
解(1)a=1,过程略.
此变式源于对数列性质的灵活运用,只有对导数概念有深刻的理解,我们才能对一道题有着各种不同的变式,和各类知识融会贯通.
最后,我们还原重新回到高考题,可以猜想如果直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点,从左到右的四个交点的横坐标分别记为x1,x2,x3,x4,那么这四个交点满足什么恒等式呢? 这里面还可以挖掘更多有意思的结论.在此仅抛出一种供大家鉴赏.
变式3已知函数f(x)=ex -ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.
(1)求a;
(2) 若存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x) 和y=g(x)共有四个不同的交点,从左到右的四个交点的横坐标分别记为x1,x2,x3,x4,求证:x1+x4=x2+x3.
总结高考题具有很好的导向作用和研究价值,今年的压轴题第22 题,很好的考察了高中数学的导数概念,体现了学科核心素养,这也给了我们一个很好的启示: 在面对数学教与学的过程中,概念教学不深刻,对数学方法和原理没有深入的思考和拓展,光靠题海战术,是难以驾驭高考数学的.
