探析高考试题 引导思维延展——从一道高考试题探究圆锥曲线四点共圆问题

甘肃省灵台县第一中学(744400) 王海燕

若圆的两条弦AB,CD相交于圆内一点P,则|PA||PB|=|PC||PD|,这是相交弦定理.其逆定理告诉我们: 若直线AB,CD相交于点P,且|PA||PB|=|PC||PD|,则四点A,B,C,D共圆.这是证明四点共圆的一个重要结论,类比于此,那么圆锥曲线上四点共圆时,有怎样的关系呢?

我们先看下面一道双曲线上四点共圆的高考试题.

试题再现(2021·新高考全国1)设在平面直角坐标系xOy中,已知点=2,点M的轨迹为C.

(1)求C的方程;

(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

这是一道直线与圆锥曲线综合题,考查了数学抽象、数学推理、数学运算等核心素养,对于(1),由双曲线定义可知,轨迹C是以点F1,F2为左、右焦点的双曲线的右支,求出a,b的值,即可得出轨迹C的方程;对于(2),设点联立直线AB与曲线C的方程,可用韦达定理法,曲线系方程法,点乘双根法,直线的参数方程法探析.条件|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|说明四点A,B,P,Q共圆.

下面对(2)解法探析.

这道高考题可以看成是人教版课本选修4-4 第38 页例4[1]的改编.引导学生对课本题目深度探析,是培养学生发散思维的有效途径,对提升探究创新能力大有裨益.

追根溯源AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P,两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证: |PA||PB|=|PC||PD|.

由此推测圆锥曲线上四点A,B,C,D 共圆时,直线AB 与直线CD 的倾斜角互补,即直线AB 与直线CD 斜率之和为0.

问题拓展已知A,B,C,D 是圆锥曲线上不同四点,若直线AB 与CD 有公共点,则A,B,C,D 四点共圆的充要条件是直线AB 与CD 的斜率之和kAB+kCD=0.