例说“数学的眼光”

郜舒竹 冯林

【摘   要】我国数学课程与教学的一个传统是重视计算，学习者对于视觉感知和推理的经历与经验不足。“数学的眼光”作为数学素养以及数学课程目标的要素之一，在数学教学实践中得到落实，可以弥补这样的缺憾。把数学的眼光与视觉感知和推理联系起来，让其成为认知主体与外界对象、环境交往互动的过程与结果，同时将其发展为人的一种认知能力，具有非常重要的意义。这种能力的强弱会直接影响学生的学习。眼光作为一种认知能力，是需要在数学学习过程中逐步锻炼并提升的。利用小学数学课程内容中常见的平面图形面积关系的比较，详细说明了“数学的眼光”具体、狭义的意义。从教育的角度说，这样的意义不仅是认知方面的，而且还包括情感意义的鉴赏。

【关键词】数学的眼光;视觉感知;视觉推理;面积;平面图形

“数学的眼光”被认为是数学素养以及数学课程目标的要素之一。从抽象、广义的角度说，它可以指向认识事物的思想观念;从具体、狭义的方面看，它可以指向认知实践中的过程与方法。为了将数学的眼光落实到数学课程设计与教学实践中，下面重点讨论其具体、狭义的意义，把“眼光（Visualization）”理解为人利用眼睛这一视觉器官“看”的过程与结果，其中既有“视觉感知（Visual Perception）”获取信息的过程，也有“视觉推理（Visual Reasoning）”生成想法的思维活动[1]。视觉感知主要指看的过程以及形成思维“表征（Representation）”的过程，视觉推理则倾向于感知信息与已有心理“图式（Schema）”之间相互作用的思维活动。

因此眼光是认知主体与外界对象、环境交往互动的过程与结果，同时也是一种认知能力，简单地说就是“如何看”和“看到什么”的能力。这种能力的强弱会直接影响学生的学习，许多学习中产生的困难、误解和错误都与眼光有关，眼光作为一种认知能力，是需要在数学学习过程中逐步锻炼并提升的。下面以平面图形的认识以及面积的比较为例进行说明。

一、看不见的“相等”

这里的“相等”，更准确的说法是“等价（Equivalence）”，指的是不同图形之间面积大小的关系。任何一个封闭的平面图形，都会有“质（Quality）”与“量（Quantity）”两方面的认知元素，属于质的元素是形状、颜色等，属于量的元素是长度、面积、体积、角度等。如果在平面上画出一个等腰三角形ABC，将BC边中点M与顶点A连接成线段AM。那么大三角形ABC就被分为两个小三角形ABM和AMC（如图1）。

这时通过视觉可以自然地感知到这两个小三角形的面积是相等的，判断的依据是两个小三角形看起来完全相同，也就是“全等（Congruence）”。视觉感知的过程可以伴随着“具身的（Embodied）”对折动作，如果把大三角形ABC视为一张纸，沿着虚线AM对折后，两个小三角形可以完全“重合（Superposition）”（如图2）。

这样的重合意味着两个三角形作为量的面积是相等的，同时作为质的形状是相同的，判断的依据更倾向于质性的形状相同。因此可以说，当比较对象质与量的关系一致时，通常不会造成认知困难。进一步，如果将顶点A向右稍加移动，使得整个三角形的形状发生变化，呈现出倾斜的状态（如图3），那么两个小三角形ABM和AMC的形状就不一样了，比较的对象出现了“形异”的情况，这时比较三角形ABM和AMC的面积是否相等，视觉感知就会出现困难，因为沿袭前面对折的经验，无法使得两个三角形重合（如图4）。

在对北京一所小学五、六年级学生进行调查后发现，当学生已经知道三角形面积公式后，多数学生能够得出两个小三角形面积相等的结论，依据是“等底等高”。但如果进一步问学生：“除此之外还有什么方法能够判断出面积相等？”几乎无人能够回答。在对职前、职后教师进行调查后同样发现，许多教师也不能回答这样的问题。

这就反映出数学课程与教学的一个问题，重视公式和计算，轻视针对数学对象进行视觉感知和推理的认知活动。如果把数学教学视为教育的过程，那么提升学生的认知能力自然应当成为数学教学的目的之一。为此就需要在课程设计与教学中，让学生有机会去经历视觉感知和推理的过程，通过图形的运动与建构，使得看不见的关系“可视化（Visible）”。

二、从正方形与长方形说起

小学阶段认识平面图形，通常始于正方形与长方形，而且把正方形视为特殊的长方形。从逻辑分类的角度看，因为正方形具有长方形的所有属性，因此把正方形视为特殊的长方形是合理的。但从认知的视角看，正方形与非正方形的长方形是存在差异的。下文所说的“长方形”都特指长与宽不等，也即非正方形的长方形。那么这样的长方形与正方形存在哪些认知方面的差异？

正方形相对于长方形最明显的特征是四条边的长度都相等，如果画出对角线，将正方形分为两个三角形，那么二者形状、大小都相同。这样的性质可以通过沿着对角线对折重合明显看出（如图5）。

长方形则不同，一条对角线将长方形分为两个直角三角形，虽然通过视觉可以“感觉（Sensation）”到二者的形狀、大小都相同，但这样的相同并不能通过沿着对角线对折重合感知到（如图6）。因此这只是一种感觉，尚未达到感知的水平。

这就表明，长方形与正方形在视觉感知的过程与方法方面存在差异。对折重合体现的是“轴对称（Axis Symmetry）”的关系，是人类经验中最熟悉的关系，诸如人的身体、建筑物、植物等许多熟悉的事物，都或多或少地表现出轴对称的关系，因此是最容易通过视觉感知到的。像长方形对角线这样，不能使得分出的两个三角形对折重合，就需要改变视觉感知的方式，这样的改变自然也是提升认知能力的机会。

如果把对折或对称看作一种“动态（Dynamic）”的运动过程，即利用视觉在看的过程中将图形作了运动，那么这种视觉中的图形运动，就叫作图形的“变换（Transformation）”。这样的运动或变换其实质是思维中的活动，画在纸上的图形是静止的，是观察图形的人通过视觉使其发生了变化，因此这样的运动也叫作“虚拟运动（Fictive Motion）”，是观察者对客观对象运动的想象或思维中的模拟（Simulation）[2]。古希腊欧几里得的《原本》中对于图形的全等，就是利用“通过运动可以重合”定义的[3]。某图形通过运动能够与另一图形完全重合，就说这两个图形的形状和大小完全相同，也就是全等。其中的运动其实是虚拟的运动，由于运动过程保持了图形的形状和大小不变，因此也叫作“刚体运动（Rigid Motion）”[4]。

小学数学课程内容中的图形运动不仅包括对称，还有平移和旋转。用旋转的眼光看长方形对角线分出的两个三角形（如图7），最左侧的阴影三角形沿着对角线中点，逆时针（也可以顺时针）旋转180度，就与另外一个三角形完全重合。因此运用图形旋转的认知方式，就可以感知到长方形对角线所分出的两个三角形全等。

虽然结论与正方形相同，但视觉感知和推理的过程是不一样的。正方形可以同时运用轴对称和旋转的方式实现重合，而长方形只能运用旋转的方式。教学中让学生有机会经历并辨别这样的过程差异，对于提升学生的视觉感知能力是十分必要的。接下来进一步看长方形和平行四边形在认知过程方面的差异。

三、长方形与平行四边形

平行四边形对角线所分出的两个三角形同样具备形同量等的全等关系。视觉感知和推理的过程与长方形类似，同样可以通过围绕对角线中点旋转180度实现两个三角形重合（如图8）。

但二者在轴对称方面存在差异。对于长方形，如果连接相对两边的中点作出直线，那么这样的直线就成为对称轴，也就是可以实现分出的两个小长方形对折重合。但平行四边形（非长方形，下文同）不具备这样的轴对称性，也即相对两边中点连线，将大平行四边形分为两个小平行四边形，二者不能实现对折重合（如图9）。

因此非长方形的平行四边形不具备轴对称的性质，也即没有任何一条直线可以成为平行四边形的对称轴，而长方形可以通过连接相对两边中点得到两条对称轴。因此长方形具有轴对称的性质，平行四边形不具备这个性质，这是长方形与平行四边形最大的差别。尽管如此，平行四边形相对两边中点连线所分出的两个小平行四边形仍存在全等关系，这样的关系可以通过旋转重合看出（如图10）。

将图10中的阴影平行四边形，沿着逆时针（或顺时针）方向，绕相对两边中点连线的中点旋转180度，就可以实现两个小平行四边形完全重合。至此得到了正方形、长方形和平行四边形共同的性质：

l对边中点连线和对角线将图形分为两个形状、大小完全相同的图形。

从轴对称的角度说，正方形具有最强的对称性，有两条对边中点连线和两条对角线作为对称轴;长方形次之，有两条相对两边中点连线作为对称轴;平行四边形没有对称轴。从旋转的角度说，三者都有旋转中心，可以通过旋转一定角度实现重合，这样的图形也可以说具有“旋转对称（Rotational Symmetry）”的性质。旋转对称的一个特殊情况，即旋转180度可以实现重合的两个图形，也叫作“中心对称（Central Symmetry）”或“点对称”，因此，正方形、长方形和平行四边形不仅具有旋转对称性，也具有中心对称性。

具有旋转对称性以及中心对称性的图形有很多，如我国经典的“阴阳八卦图”并非轴对称，而是一个典型的旋转（中心）对称图形（如图11），即图中阴影部分围绕大圆圆心旋转180度，就可以与右侧部分重合。古今中外艺术作品中，这样的旋转对称现象十分普遍。可以说，“对称性”是视觉艺术审美的核心要素。

四、回到三角形

回到文初关于三角形的问题，为了能够看出图1中两个小三角形ABM和AMC面积相等，就需要将“形异”变为“形同”，也就是要将视觉感知和推理方式进行改变，将原图进行重新建构。从前面的讨论可以知道，一个平行四边形对角线分出的两个三角形可以通过旋转实现重合。那么，反过来看，三角形也应当可以通过旋转形成平行四边形（如图12）。

图12左图中两个小三角形ABM和AMC分别绕AB边和AC边中点，顺时针或逆时针旋转，就可以形成右图两个平行四边形AMBD和AMCE，并且二者拼接为一个大平行四边形DECB。也可以通过将线段BM和MC分别向上平移成为DA和AE，线段AM分别向左、右平移，成为BD和CE，同样得到大平行四边形DECB。

其中点A和点M分别是大平行四边形DECB中DE边和BC边的中点。根据之前的经验，线段AM将大平行四边形DECB分为两个形状、大小完全相同的小平行四边形，因此三角形ABC的两条边AB和AC相当于同一个平行四边形的两条对角线，自然就说明每个三角形的面积都是同一个平行四边形面积的二分之一，因此其面积是相等的。三角形一边中点与对面顶点的连线，叫作这个三角形的一条“中线（Median）”。因此前面通过图形运动的视觉感知和推理得到的结论可以表述为：

l任意三角形的一条中线所分出的两个三角形面积相等。

虽然这样的结论可以通过三角形面积公式以及等底等高的条件轻易得到，但这只是逻辑意义的概念，缺少情感意义的“自然而然”。运用视觉感知“看出来”，使得认知过程和结果更加亲切自然，具有了“美学（Aesthetics）”的意蘊，使得认知过程融入了对于对称现象的鉴赏体验和愉悦的情感体验，对于引发学习动机十分有益。不仅如此，这样视觉感知和推理的经验可以使得许多所谓的难题变得显而易见。2011年国际著名的期刊《数学教育研究》（Educational Study in Mathematics）发表了一篇对高中学生关于面积守恒认知能力的调查研究报告，发现多数学生对于下面的问题存在认知困难。[5]

问题：如图（图13），两个相同的正方形有一个共同的顶点，二者之间有两个三角形（阴影）。这两个三角形面积相等吗？

这一问题与前面三角形中线问题类似，两个三角形形状不同。不仅如此，二者底边长度和高的长度也明显不同，因此三角形面积公式就失去了作用。如果对于平面图形面积的学习仅仅是“公式+计算”，那么对于这样的问题自然会束手无策。如果有了前面关于视觉感知和推理的经验，在视觉中可以将下面小三角形沿着逆时针（或顺时针）方向旋转90度，将两个三角形拼接成为一个大三角形（如图14）。

那么这两个小三角形就是在同一个大三角形中用中线分开的两个小三角形，其面积自然应当是相等的。此外，也可以将上面的小三角形沿着逆时针（或顺时针）方向旋转90度，再将两个三角形拼接起来。同样可以看出二者面积相等（如图15）。

通过运动将图形进行重构，是视觉感知和推理的重要方面，这种重构的过程与方法也是多样的。在对小学六年级学生进行的调查中发现，有学生利用上、下两个三角形都是等腰三角形，用竖直线段将两个三角形平分，然后将下面左侧三角形顺时针旋转，右侧三角形逆时针旋转，进而感知到相等关系（如图16）。

具体来说，就是将下面三角形的左侧部分顺时针旋转90度，右侧部分逆时针旋转90度，与上面的三角形拼接成为一个长方形（如图17）。

这时利用长方形相关性质，相等关系就一目了然了。尽管这样的视觉感知和推理的过程是依赖直观感受，并非严格的证明，但从素养导向的数学教学的角度来说，这样的过程对于提升学生视觉感知和推理的能力十分有益，也是图形认知不可逾越的阶段。

小学数学课程中关于平面图形面积的教学，一般按照长方形（正方形）、平行四边形、三角形、梯形、圆形的顺序进行，依次推导出面积公式，而后运用公式进行面积计算。这样的课程安排与教学重视的是公式和计算，缺乏关于面积之间关系的感知和推理。因此在课程设计与教学中，应当增加指向视觉感知和推理的学习活动，让学生在运用眼光“看”的活动中提高视觉感知和推理的能力。

在重视视觉感知学习活动的同时，也应注意其局限性。视觉感知过程中存在着“视觉误差（Visual Illusion）”，也就是似是而非的现象。比如著名的“桑德平行四边形（Sander Parallelogram）”，是将一个等腰三角形（图18右）放在一个倾斜的平行四边形中（图18左），这个三角形两条相等的边，在视觉中显得不相等了。[6]

应当相信，任何认知活动都不可能是十全十美的，人的认知过程和认知活动应当是综合的、多样的。有视觉感知的活动，就应当伴随思维的推理和想象的活动;有解释、证明正确的活动，就应当伴随辨别谬误的“证伪（Refutation）”活动。学生只有在这样丰富多样的活动中才有可能在各个方面获得更全面的发展。如果把人的智力活动概括为以下六点：感觉（Sensation）、感知（Perception）、推理（Reasoning）、想象（Imagination）、象征（Symbolism）、文化（Culture），那么视觉感知和推理是其中最为基础，也是最为重要的阶段。如果把数学中利用公式的计算视为是“量化（Quantitative）”的程序操作，那么视觉感知和推理更偏向于“质性（Qualitative）”的感知和推理，强调“看”的过程和“看出”结果，而不仅是“算”的过程和“算出”结果。这样“看”的活动和“看出”的能力，不仅可以锻炼认知能力，而且可以实现对于“美”的情感意义的鉴赏。教师应当在数学学习活动设计中对此引起高度重视，让学生经历“看+想+做”的全过程，将培养学生“数学的眼光”真正落实到学生的学习活动过程中。

参考文献：

[1]NEMIROVSKY R，NOBLE T. On mathematical visualization and the place where we live[J]. Educational Studies in Mathematics， 1997， 33（2）： 99-131.

[2]TEENIE M. Fictive motion as cognitive simulation[J]. Memory & Cognition， 2004， 32 （8）： 1389-1400.

[3]GOODSTEIN R L. Euclidean geometry and the rigid motion group[J]. The Mathematical Gazette， 1953， 37（320）：117-118.

[4]GEORGE K，PANAGIOTIS S，DIONYSSIOS L. Exploring students’ strategies in area conservation geometrical tasks[J]. Educational Studies in Mathematics， 2011， 77（1）： 105-127.

[5]GEORGE W H. Gestalt psychology and mathematical insight[J]. The Mathematics Teacher， 2007， 100（1）： 16-21.

[6]ALEXANDER H B. Living mind： an inquiry into the psychological and logical foundation of human understanding[J]. The Pluralist， 2008， 3（1）：11-88.

（首都師范大学初等教育学院   100048）