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尝试自己得出结论 促进数学核心素养提升

2022-01-25廖蓓蓓

教学月刊·小学数学 2022年2期
关键词:数学思考解决问题

廖蓓蓓

【摘   要】“会用数学的思维思考现实世界”是数学素养的具体表现之一。学生经历自己得出结论的过程,有助于锻炼分析与解决问题的能力,发展数学思维。以“积的变化规律”一课为例,教师通过“巧用素材、质疑解析、应用模型、方法迁移”等方式,引导学生经历自己得出结论的过程,做到“言之有物、言之有据、言之有理、言之有瞻”。此外,教师结合教学实践提出“给足学生参与的时空,允许学生有试错的机会,提供人人有话说的素材”的思考,让数学素养的培育落到实处。

【关键词】积的变化规律;数学思考;解决问题;自己得出结论

“会用数学的思维思考现实世界”是数学素养的具体表现之一。学生经历自己得出结论的过程,有助于锻炼分析与解决问题的能力,发展数学思维。然而在实际教学中,学生自己得出结论时常常偏离核心或过于直观浅白,很难深入完整地对结论进行提炼。笔者以“积的变化规律”为例,谈谈如何为学生创设合适的学习环境,创造机会让学生能参与自己得出结论的过程,提升自己得出结论的能力。

一、教学内容分析

人教版教材四年级上册有探索“积的变化规律”这一内容,其中包括探索因数与积的协变关系,要求学生概述关系或以文字记录规律等教学内容。

“积的变化规律”是学生后续学习商的变化规律、运算定律、比例基本性质等内容的重要基础,也是引导学生经历抽象概括全过程,培养学生合情推理能力的好材料。从培养学生“会用数学的思维思考现实世界”这一角度看,这一内容的学习价值不仅仅体现在掌握“规律”本身,更重要的是让学生经历“数学思考”的过程,提升思维能力。

二、教学过程介绍

(一)巧用素材,使之“言之有物”

在对教材中的素材进行梳理与调整的基础上开始教学,引导学生在分析问题时做到“言之有物”。

1.经历初步形成结论的过程

教师呈现研究问题:

请你完成下面两组计算,你发现了什么?把你发现的现象写出来。

6×2=(  )      4×25=(  )

6×20=(  )    12×25=(  )

6×200=(  )   48×25=(  )

布置任务:①你发现了什么结论?②你是怎么发现这个结论的?③你觉得你发现的结论对吗?怎么证明它是对的?

交流学习:小组交流后得出以下三个结论。

结论1:第一个因数不变,第二个因数乘10,积也乘10;第一个因数乘几,第二个因数不变,积也乘几。

结论2:第一个或第二个因数不变,其余因数是倍数关系,积也是倍数关系。

结论3:某一个因数乘几,另一个因数不变,积就乘几。

2.辨析结论是否正确

教师组织学生针对以上三个结论进行讨论。因为结论1体现了规律从特殊到一般化的过渡,具有典型性,所以下面的教学围绕此结论展开。

(1)素材1:“第一个因数不变,第二个因数乘10,积也乘10”这个结论对吗?

生:对的。在左边这组算式中,先看前面两个算式。第一个因数6保持不变,第二个因数从2变为20,也就是乘了10,积也从12变成120,也是乘10。

生:从第2个算式到第3个算式也是这样的。第一个因数不变,第二个因数乘了10,积也是乘10。

师梳理并板书(如图1):我们先理一理是怎么发现这个规律的。6不变,20=2×10,那么6×20=6×2×10,也就是“6×2”的积12再乘10。

生:当20×10的时候,积就是(6×20)×10=120×10=1200。200也可以看作2×100,那么6×200=(6×2)×100=12×100=1200。

生:6都不变,一个因数乘10,积就乘10;一个因数乘100,积就乘100。

(2)素材2:“第一个因数乘几,第二个因数不变,积也乘几”这个结论对吗?

生:对的。可以看右边这组算式中的前两个算式。算式中的第一个因数25一直保持不变,第二个因数从4变为12,因为4×3=12,所以12×25=(4×25)×3=100×3=300。

生:看第二组中的第1个算式和第3个算式,也有这样的规律。4×12=48,那么48×25=(4×12)×25=(4×25)×12=100×12=1200。

生:這句话在左边这组算式中也适用。

(3)比较结论优劣,理解结论的一般化。

教师引导学生对比前文中总结出的结论,对比“第一个因数不变,第二个因数乘10,积也乘10”和“第一个因数乘几,第二个因数不变,积也乘几”这两句话,思考哪句话的表达更清晰、更准确。

生:后面的好。第一句只讲一种情况,后面是用一句话概括所有的情况。

师:包括哪些情况?

生:一个因数不变,另一个因数乘10,积就乘10;另一个因数乘100,积就乘100;因数乘3,积就乘3;因数乘9,积就乘9。

师:还有其他情况吗?

教师引导学生分两个层次举例,并记录(如图2)。

……

(4)对比归纳,修正结论。

师:结论2与结论3,所表述的意思一样吗?

生:我们组说的倍数关系,和乘几是同样的意思。

师:(指板书)关于“几”与“几”的关系,有具体要求吗?

生:积要跟着乘相同的数。

修正结论:一个因数不变,另一个因数乘几,积也乘相同的数。

以上过程,教师通过素材的呈现,引导学生观察、比较,不断发现、分析,理解规律蕴含的结构化思想,懂得提炼结论要“言之有物”。用“结论是否正确”来引导学生从结论倒回去看算式,通过对6×2与6×20,6×200积的变化规律的对比分析,清楚积的变化规律藏在两个算式的对比之中。再通过提问“哪个结论比较好”,引导学生对比结论的不同表述方式,经历从用具体数据描述规律到用“几”这样的一般性词汇描述规律的过渡。在这一过程中,学生更好地体会到结论一般化的含义,提炼了规律结构化的数学思想。

(二)质疑解析,使之“言之有据”

结论的得出必须要有依据,有依据的结论才具有科学性。教师应首先引导学生对结论的一般性进行质疑,解释结论的表述是否完整,让学生体会“推理的严密性”,再引导学生用学过的知识,如面积模型、乘法的意义等对结论的合理性进行解释,体现“言之有据”。

1.分析结论的合理性

(1)质疑。

师:我们举了这些例子后,是不是就可以说明结论一定合理?

生:还要举更多的例子,例子是举不完的。

师:如果能找到它的反例,就可以说明结论不成立。

生:0除外。

师:这是对数的要求做补充。(板书:0除外)

(2)解释。

师:如果找不到反例,那么我们说暂时这个结论可用。除此之外,你还有什么办法能解释此结论确实合理吗?

生画图解析:我画了一个长方形,长是5,宽是4。如果长不变,宽乘2,面积就乘2。如果宽不变,长乘2,面积也是乘2。

……

借图归纳:长方形面积用“长×宽”来表示,在长与宽中,一个数不变时,不管是长乘几或者宽乘几,面积都会跟着乘相同的数。这和积的变化规律完全一致。

(3)总结。

看来,通过面积图或者对乘法意义的解释,确实可以说明以上总结出的“积的变化规律”是存在的。

2.完善“积的变化规律”

师:研究到这儿,你还能“推”出其他的猜测吗?

生:如果一个因数不变,另一个因数除以几,或者加上几、减去几,积是不是也会随着发生同样的变化?

学生提出猜测后,教师引导学生推翻不成立的猜测,解释成立的猜测,并用一句话把规律写完整。

(三)应用模型,使之“言之有理”

模型建立后,应用模型的过程既是对模型进行巩固的过程,也是从归纳走向演绎,用已经证明是正确的规律解决问题的过程。在这个过程中,学生要做到“言之有理”。

教师出示问题:

(1)如果A×8=200,那么A×8×3=?

(2)如果A×8=25,那么A×8×3=?A×32=?

学生解答问题……

教师呈现学生解决问题(1)的两种情况。

情况1:A=200÷8=25,A×8×3=25×8×3=200×3=600。

情况2:A×8×3=200×3=600。

教师追问:情况2中的200是从哪里来的?

生:因为A×8=200,所以可以用200代替“A×8”。

师:用这两种方法都能得到答案,给两种方法各取一个名字,你会怎么取?

生:第1种叫按步计算法,第2种叫打包法。

……

师:看问题(2),如果A×8=25,要求A×8×3=?你选哪种方法?

生:用打包法。因为这道题要把A求出来,那是有小数的,不好算。

生:用打包法更方便,A×8就是25呀!25×3=75,一下子就算出来了。

师小结:看来可以把“A×8”看成一个标准,快速求出“A×8×3”的积。

教师再次出示题目:A×32=?请学生计算并写出思考过程。

学生解题后,教师呈现学生作品(如图3)。

教师引导学生思考并交流:①三种方法有什么相同的地方?②生2作品中的(8×4)是什么意思?“A×8”圈起来又是什么意思?③根据A×8=25,你还能求哪些算式的积,看谁想得多……

“打包法”以“A×8”的积为参照标准,可求出“A×8×3”与“A×32”的积。学生在解决问题的过程中体会“A×8”与“A×32”的关系。图中生2的方法是将规律作为一个结论使用,这其实就是对后续要学习的乘法结合律的实际应用。学生自主编题求积,是结构化模型的再应用,对促进自身数学思维的发展具有重要的意义。

(四)方法迁移,使之“言之有瞻”

在本课学习之后,学生获得了探索规律的一般方法和经验,这为他们后续的探索和研究提供了学习路径,使之“言之有瞻”。

1.回顾梳理

师:这堂课我们分几个步骤研究了积的变化规律?

2.追问

师:研究积的变化规律后,你还想研究什么?

借问题给学生提供研究方向:①两个因数同时变化时,积会怎么变?②两个因数发生怎样的变化,积不变?引导学生选一个问题课后进行探究。

学生由本节课研究的“积的变化规律”联想到“如果两个因数同时变化,积会怎么变”以及根据“积的不变规律”联想到“商的变或不变规律”等。本课探索规律的研究路径,为学生后续的规律探索提供了方法上的支持。这些活动经验与数学思考将支持学生的长久发展。

三、教学实践启示

選择合适的素材,创设有价值的活动,让学生经历自主得出结论的过程,可以培养学生的数学思维,促进其核心素养的提升。要达到此目的,教学时,教师需要做好以下三件事情。

(一)给足学生参与的时空

学生要自己得出有价值的结论,需要经过积极深入的思考和钻研,经历观察、发现、分析、归纳等学习过程。因此要给学生提供充足的时间,并为学生提供独立思考的机会,让他们先尝试记录想法,再与同伴充分地讨论、交流,经过比较、辨析,让大多数学生都能完整经历过程,深入思考结论。

(二)允许学生有试错的机会

数学学习是知识不断扩充、能力不断发展的过程,纠错也是数学学习的必要途径。教师应允许学生有试错的机会,可以经常使用“写下你发现的结论”这样的方式让学生尝试有深度的思考。同时,教师不要立即对学生的结论给出评价,而要通过学生间的交流、讨论,让他们尝试自己发现问题,从而得出正确的结论。

(三)提供人人有话说的素材

教师在挑选教学素材时,需考虑学生的不同水平层次,设计让人人都有话说的素材。如本课中“已知A×8=200,求A×8×3=?”学生都能求解,但解题方法未必相同;“A×8=25,A×32=?”学生得到的答案是相同的,但他们记录的思考过程及方式却不一定相同。这些都是让人人有话说的好素材。

参考文献:

[1]李光树.小学数学学习论[M].北京:人民教育出版社,2014:167-203.

[2]程靖,孙婷,鲍建生.我国八年级学生数学推理论证能力的调查研究 [J].课程·教材·教法,2016(4):17-22.

[3]林碧珍.数学臆测引发数学论证的课堂实践(上)[J].小学教学(数学版),2018(4):4-7.

(浙江省温州市永嘉县瓯北中心小学   325102)

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