培养推理意识 发展数学思维

南欲晓

【摘   要】推理是“数学思维”的主要表现形式之一，小学阶段要着力培养学生的推理能力，具体可从如何让学生经历归纳推理的过程，如何在教学中渗透类比推理的思维方式，如何让学生体验演绎推理的严密性这三个方面展开，以帮助学生逐步形成推理意识，发展数学思维。

【关键词】数学思维;逻辑推理;合情推理;演绎推理

学生推理能力的强弱决定了其是否“会用数学的思维思考世界”。推理是解决问题的一种重要思维方式，培养学生的推理能力是数学教育的重要目标之一。从教学的角度看，推理能力的培养有一条清晰的路径，那就是从小学的推理意识到初中的推理能力，再到高中的逻辑推理。小学生年龄较小，经验有限，所学的数学知识尚不丰富，很多时候他们的知识、经验、能力不足以支撑其进行严密的数学推理，所以教学中并不特别要求学生保证推理的严密性。但从让学生“会用数学的思维思考现实世界”这一角度看，小学教师自身需要清晰地了解推理的相關知识，理解在小学阶段的教学中渗透推理能力的重要意义与方法。

一、小学数学中的推理

数学推理主要有两种，即合情推理和演绎推理。虽然这两种推理相互依存，但就数学结论的获得而言，还是有所区别的。在一般情况下，人们是借助合情推理预测数学结论，借助演绎推理验证数学结论。

（一）合情推理

合情推理是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳等手段在某种情境和过程中推出结论。这种推理从观察、实验入手，或通过归纳而作出猜想，或通过类比而产生联想。

合情推理主要有归纳推理和类比推理。归纳推理是基于一个“类”的推理，经常从看似杂乱无章的对象出发，归纳得出共性的“一类”问题的结论，一般用来预测结果或探究成因，是发现新结论的有效途径。从思维的方式来说它是从特殊到一般的推理。在小学数学教学中，运用归纳推理进行学习的典型内容有找规律、运算定律、数的性质以及图形的面积、体积公式的推导等。如在“找规律”的教学中，学生需要从不同的角度出发，在变化中寻找不变，探寻事物共性的、内在的联系，并把它们归纳成“一类”。又如“运算定律”的教学，教师常常让学生先结合情境中的例子提出猜想，然后举例验证，最后归纳运算定律，这一教学路径体现了归纳推理的特点。再如“商不变性质”“小数、分数的基本性质”“比和比例的基本性质”等内容的教学，教师会先引导学生在几个例子中发现性质，然后思考“所有的都是这样吗，有没有不同的反例”等问题，这都是在帮助学生感知“根据一类事物的某个性质，进而推出该类事物具有这种性质的一般性结论”的推理方法。

类比推理是基于两个“类”的推理，依赖于两类（个）对象之间的相似性，一般用来寻找产生某种现象的原因。从思维方式看，它是“从特殊到特殊”的推理，它的关键是要找到两类内容的相似性。观察、比较与联想是类比推理的基础。小学数学教学中，需要运用类比推理思维进行学习的内容很多。比如在教学“亿以内数的读写”中，教师引导学生与“万以内数的读写方法”进行类比，这就是在运用类比推理的思考方式。如果能把新知识和相类似的旧知识进行类比，进而找到解决问题的方法，就实现了知识和方法的正迁移。其实，围绕“数的意义”，除了相对应的内容与方法间具有相似性外，不同年级数概念的教学也都有着相同的展开逻辑。从“20以内数的认识”到“百以内、千以内、万以内、万以上数的认识”，再到“小数的认识、分数的认识”，它们都是按照“数的意义→读写→数的组成→数的大小比较”这样的顺序进行的。这种对数学内容相似性的探索也是数学推理活动的常见形式。

“数的意义”“数的运算”以及“运算的规律”这些知识展开的方式也有一定的相似性，在整数教学中习得的方式同样在小数、分数教学中适用。“解决问题”也有相似性的探索，比较典型的有“鸡兔同笼”“抽屉原理”以及数量关系相近的问题等。这些内容学习时比较强调“这个内容归属于哪一类，内容之间有什么相似的关联，它们是如何孕伏、如何发展的”。从知识学习维度看，把知识联起来、让不同层次通起来，这些“知识结构”将会潜移默化地被学生“吸收”而内化为“认知结构”。

归纳推理和类比推理都属于合情推理，合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的，还需要用演绎推理去证明。

（二）演绎推理

演绎推理是按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。也就是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）、确定的规则出发，得到某个具体结论的推理。从思维的方式上来说它是“从一般走向特殊”。

演绎推理的主要功能是验证猜想或类比得到的结论是否正确。在小学数学教学中，演绎推理更多倾向于应用已经被验证过的结论解决问题。演绎推理中常见的推理判断有三段论、选言推理、假言推理、关系推理等，这些在小学阶段都有所涉及。如推导几何图形面积的过程、推导多边形内角和及探索多边形内外角关系时一般采用的都是三段论的推理判断;人教版二年级下册中的“数学广角——推理”、四年级上册中的“正确区分在同一平面内两条直线的位置关系”“通过量一量、画一画，判断出点到直线之间的连线中哪条最短”等采用的是选言推理判断;根据概念、性质等进行判断的一些问题采用的是假言推理判断;大小比较、恒等变形、等量代换等采用的是关系推理判断。

值得注意的是，有时不同的数学内容会用到同一种推理方法，同一数学内容的学习过程中，也会用到不同的推理方法。比如常用的法则、性质、定律、图形公式推导等常常先用合情推理得出结论，再借助演绎推理的思维方式运用结论解决问题。在小学数学教学中，这两种推理模式都是非常重要的，都应当在数学教育中予以充分的重视。推理能力的培养需要和内容有机结合，不同推理形式需要做到有机的统一，才能更好地培养学生的思维能力。

二、小学数学教学中推理能力的培养

（一）经历归纳推理的过程

人教版教材四年级下册“加法交换律”的教学是一节让学生真正经历归纳推理全过程的课。从教材内容的呈现看，教学流程大致为先引导学生根据情境列出算式40+56=96或56+40=96，得到40+56=56+40，然后请学生“再举出几个这样的例子”，进而归纳出加法交换律。要突出培养学生“会用数学的思维思考现实世界”，在教学时，教师要注意几个关键细节的处理。

首先是观察阶段。在让学生观察“40+56=56+40”这个例子时，教师要引导学生根据观察得出“交换40与56的位置，它们的和是不变的”这一结论。教师要清楚地知道，相对于“交换两个加数的位置和不变”来说，“交换40与56的位置，它们的和是不变的”只是一个特例，它的成立并不能代表其具有普遍性，所以需要进行更进一步的验证。

其次是举例阶段。让学生“举出几个这样的例子”，目的是让学生探寻其他例子中交换两个加数的位置它们的和是不是也不变。有了这样的认知，学生就会知道，要举出的例子应该是具有多样性的，比如两个数都是整数的，两个数都是小数的，两个数都是分数的，或者两个数是整数、小数、分数组合的，等等。引导学生通过对更多例子的观察发现，所有例子中“交换两个加数的位置它们的和都是不变的”，所以就把它们归为“一类”，这“一类”就是两个数相加;这“一类”的共性就是交换两个加数的位置它们的和不变。教师还要注意引导学生体会到，虽然已经把它们归成一类，且找到了这一类的共性，但它们仍然是这一类中的特例，不具有普遍性，所以还需要进行更进一步的验证。

然后是提出合理猜想阶段。教师要引导学生思考：如果举出的所有例子“交换两个加数的位置它们的和不变”都成立，那么是不是就可以说明所有的两个数相加，“交换两个加数的位置它们的和不变”都成立呢？从前期的例子中看，不管是整数、小数、分数还是它们之间的组合，“交换两个加数的位置它们的和不变”都是成立的，所以我们就提出合理的猜想，即“交换两个加数的位置它们的和不变”。这就是对这一类中所有的个体是否具有共性提出的猜想。

最后是验证阶段。前面提出了合理的猜想，猜想得出的结论是否成立仍需验证。教师引导学生明确：只要找到一个反例就能说明猜想是错误的，在还没有找到反例的情况下，暂时可以将它作为结论来使用。同时，虽然对于加法交换律来说，小学阶段不需要严格的证明，但教师可以引导学生通过画线段图等方式，用加法的意义来说明这一结论的正确性。

再如“找规律”教学时，规律得出的过程也是归纳推理的过程。规律就是从“一类问题”错综复杂的关系中提炼出来的本质的、内在的联系，即“万变”中的“不变”。如根据图1所示的一组图找规律，可以把“前一个点子图的数量和图列”作为“不变”，找到相邻两个图形的关系，也可以把“第一个点子图或者其中的某部分”作为最基本图形保持“不变”，找到它和所有图形之间的关系，还可以把“图形的层数”作为“不变”，找到相邻层之间的数量关系及最上一层数量与图序之间的关系，从而推断出点子图序与点子之间的关系。

“找规律”和“加法交换律”的学习，学生都要经历归纳推理的过程，但它们是不一样的。得出加法交换律的思考过程是“简单枚举”，也就是通过举例归纳共性，进而得出结论，因此在举例阶段，教师要引导学生尽可能多地找到不同的例子，以保证结论的可信性。而“找规律”时，得出结论的可靠性跟例子的多少没有太大的关系，主要思考的是对象之间的因果关系，这是一种应用“科学归纳法”进行的推理。

“归纳推理”是发现问题、提出问题或进行创造的基础。小学阶段发展学生的归纳推理能力，要引导学生不断丰富归纳推理的思维方式，让学生体会到：简单枚举推理需要扩大举例子的范围，并强化“找反例”，应用“科学归纳法”进行推理则侧重找关系，在变化中找到不变的规律。

（二）渗透类比推理的思维方式

类比推理指根据两类事物某方面的相似性推导出其他方面的相似性，因此比较强调“具有相同属性”。通过类比得出的结论具有或然性，但类比的思维方式能引发学生将已经掌握的知識进行迁移，使学生能“举一反三”“闻一知十”。类比推理能力强的学生遇到新问题时，会根据以前遇到过的类似问题的解决过程，尝试从旧知识、老办法中找到解决新问题的方案，这是适应当代社会非常重要的能力。

小学教材的编写遵循螺旋上升的原则。当教学的“新内容”与以往某些“老内容”有相似之处时，教师可以善加利用，渗透“类比”思维。这种渗透可以在上某节课之前进行，也可以隔段时间，在学生学习的某一阶段进行。如每学期的第一节数学课，可以组织学生上一节“目录课”，引导学生先按照不同领域对本册教材中要学习的内容进行分类，然后思考“这些内容可能与我们以前学过的哪些内容有关，学过的哪些内容可能对本学期的学习有帮助”。这样的教学能帮助学生整体把握知识结构，主动在旧知与新知之间建立联系。当然，在“目录课”中，学生所进行的“类比”是比较粗犷的，但却对学生“类比”思维的培育有重要的影响。他们会在后续学习中，进一步尝试通过“迁移”解决新问题。

小学阶段的计算教学内容很多，编排分散，教师可以引导学生通过类比迁移的方式萃取不同内容编排时的结构关系，感受计算学习内容的“相似性”和“一致性”。如学习认识了小数之后可以提问“小数与咱们学过的整数一样，都是数。先回想一下，你是怎么学习整数的，然后想想，关于小数你还想研究什么”。这样的问题指向引导学生通过“小数和整数都是数”这一相同属性进行“类比”，为学生后续学习中体会小数的大小比较、小数的计算意义、小数的计算方法与整数之间的一致性奠定基础。

也就是说，小学阶段，学生不一定要经历严密的类比推理过程，但教师要通过教学不断渗透类比的思维方式，让学生体会类比的价值。

（三）体验演绎推理的严密性

三段论推理是演绎推理中的一种简单推理判断，它包括一个包含大项和中项的命题（大前提）、一个包含小项和中项的命题（小前提）以及一个包含小项和大项的命题（结论）三部分。三段论是人们进行数学证明、科学研究时，能够得到正确结论的方法之一。三段论的语言形式具有“因为……所以……”的形式，是一种因果关系。虽然在小学数学教学中，不要求学生进行严格的逻辑证明，但需要培养学生的推理意识，要让学生体验到培养推理的严密性需从平时教学的点点滴滴做起。如培养学生“有条有理思考、有根有据表达”的习惯，做到“言之有据”“言之有理”，等等。

人教版教材四年级上册“直线和角”部分中有一道题，要求学生测量图中四个角的度数，并发现它们的相等关系（如图2）。这道题是让学生在现有知识基础上经历较为严谨的“演绎推理”过程的好素材。

教学时，有学生提出“用量角器分别量出四个角大小再比较”的方法，但因为“量”出结果有可能产生误差，所以结论并不严谨。教师要让学生先感受这种不严谨，然后提问：“能不能不用测量说明∠1和∠3相等，∠2和∠4相等？”引导学生经历演绎推理的过程：因为∠1+∠2是一个平角，平角是180°，所以∠1=180°-∠2;同理，因为∠3+∠2也是一个平角，所以∠3=180°-∠2，由此发现∠1和∠3相等。

现实生活中，人们面对纷繁复杂的信息，经常需要先进行选择和判断，接着进行推理、作出决策。因此，培养学生的推理能力，是培养学生“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养的重要着力点之一。核心素养的培育是一个漫长的过程，推理能力的形成也并非一朝一夕之事，小学数学教学中合情推理与演绎推理相辅相成，共同担负着发展学生“推理意识”的重要作用，促进这种“意识”在教学中落地，还需要我们共同努力。

（浙江省杭州市拱墅区卖鱼桥小学文汇校区   310015）