“问题解决”“问题提出”与“问题引领”

【摘   要】对“问题解决”的现代研究与教学实践进行分析，可以更好地理解“问题提出”的重要性，包括从教育角度做出进一步的审视;相对于“问题提出”的一般性论述而言，“问题引领”则对改进教学具有更直接的指导意义。对这三者进行相关分析，可以被看成是对国内外相关研究进行分析比较与互补整合的一个实例。

【关键词】问题提出;问题解决;问题引领

笔者近年来越来越强烈地感受到了这样一点，即中国与世界数学教育日益接轨。例如，2021年7月在上海召开的第14届国际数学教育大会（ICME-14）显然就可被看成是这方面的一个很好实例，特别是在这一数学教育界最高水平的国际性大会上，可以响亮地听到“中国数学教育的声音”。

就当前的发展趋势而言，一些学者可以说发挥了重要的作用。如中国旅美学者蔡金法教授，不仅从宏观方面帮助中国同行了解国际上的最新发展做了很大努力，特别是直接促成了由美国数学教师全国委员会（NCTM）组织出版的《数学教育研究手册》（Compendium for Research in Mathematics Education，2017）这一高水平文集在中国的翻译出版（人民教育出版社，2021），还投入大量的时间和精力直接参与了中国一线教师的培训工作，如“回家乡浙江萧山，和老师们一起工作，搭建平台，为萧山教育出智出力”。[1]8

笔者在这方面一贯有这样一个主张：“放眼世界，立足本土。”这就是指，我们对于国际上数学教育整体发展与最新成果的了解与学习都应服务于促进我国数学教育事业发展这样一个目标。我们在当前还应特别重视这样一点，即在努力“向外学习”的同时，也应高度重视自身工作的总结和反思，包括通过对国内外工作的对照比较以及对两方面进行必要的互补和整合，从而取得更大的进步。

后一主张意味着基本立场的重要转变：我们应由盲目崇外而否定自己的传统转向清楚地认识自己的长处，在充分肯定自身优点的同时，也能清楚地认识存在的问题与不足之处，并能通过向外学习和进一步的工作不断取得新的进步。

在笔者看来，这就是我们面对《数学教育研究手册》这一文集应当采取的态度，即在努力学习的同时，也应高度重视对自身工作进行总结和反思，包括对照比较、互补整合。在此我们还应特别重视对国外工作的深入剖析。下面就以蔡金法教授在“问题提出”这一方面的工作为直接对象做出具体分析，希望能对促进我国的相关研究，特别是实际教学工作发挥积极的作用。

为了达到更大的分析深度，笔者将采取这样一个分析路径，即将“问题提出”（problem posing）与“问题解决”（problem solving）联系起来加以考察。这正是理解概念十分重要的一个方法，即将此与其他密切相关的概念联系起来进行分析比较。例如，为了理解“结构化教学”，我们就应同时考虑“碎片化教学”和“整体性教学”这样两个概念，特别应注意分析“结构化教学”与“整体性教学”的联系与区别，否则就容易将这两者简单地等同起来，统一理解成对于“碎片化教学”的直接反对。当然，将“问题提出”与“问题解决”联系起来还有这样一个优点：由于在后一方面已有了大量的实践与研究，就可为前一方面的工作提供重要的借鉴。

具体地说，在此可以首先提及这样一个问题：我们应当如何理解所说的“问题提出”？笔者的看法是：尽管蔡金法教授在“访谈录”中已经为此提供了具体解答“它是一个教学目标;它是一种认知活动;它是一种教学手段”[1] 9。但只有联系“问题解决”，特别是人们在这方面认识的发展过程，包括著名数学家、数学教育家波利亚的相关工作以及20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一数学教育改革运动，我们才能对此有更好的理解，从而更好地确定进一步努力的方向。

一、“问题解决”现代研究与教学实践的启示与教训

显然，按照通常的理解，無论是所谓的“问题解决”，还是“问题提出”，都应被看成一种实际活动;但这正是波利亚特别强调的一点，即“问题解决”对于人类的特殊重要性，也即我们应当将此看成人类活动最基本的一种形式：“我们大部分有意识的思维都和问题有关。当我们并未沉溺于娱乐或白日做梦时，我们的思想是有方向和有目的的：我们寻找，我们试图解决一个问题。”应当提及的是，这一论述事实上也可被看成对于“问题解决”的一种界定：这应是一种“有意识的思维活动”，应有明确的方向和目的;另外，对于所说的“问题”也应做广义的理解，而不应局限于“数学问题”。这也就如波利亚所指出的：“在这种研究中，我们不应忽视任何一类问题，并且应当找出处理各类问题所共有的特征来。我们的目的应当是找出一般特征而与主题无关。”[2] 221-222

按照波利亚的观点，人们解决问题能力的大小可被看成智力的集中表现：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，正是绕过障碍，在眼前无捷径的迂回的能力使聪明的动物高出愚笨的动物，使人高出最聪明的动物，并使聪明的人高出愚笨的动物。”显然，这也提供了关于“问题解决”具体含义的进一步分析，后者大致相当于“问题解决”这一改革运动中对于这一概念的如下界定：这主要是指我们如何能够有效地解决那种“非单纯练习题式”的问题（non-routine problem），包括实际问题和源自数学内部的问题。[3]

与前者相比，波利亚的以下认识又可说更具有重要性，因为它将“问题解决”与教育特别是数学教育直接联系了起来：“如果教育未能对智力的发展做出贡献，那么这样的教育显然是不完全的。”数学在这方面“具有最大的可能性”，因此，“数学教师的首要责任是尽其一切可能来发展他的学生解决问题的能力”。

那么，数学教育如何才能很好地承担起这样一种责任呢？按照波利亚的看法，应帮助学生很好地掌握所谓的“数学启发法”。当然，按照先前的论述，我们应明确肯定“数学启发法”的普遍意义，也就是“数学启发法”所具有的常识性质。这里所提的方法“对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的”，因为只有这样，我们才能很好地实现这样一个目标：“数学启发法”的用途“不限于任何题目。我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的……”因此，这也直接决定了我们应当如何去从事“数学启发法”的研究：“现代启发法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。”[2] 2-3，130

从历史的角度看，波利亚对于“数学启发法”的强调可以看成是在传统的“两极对立”之间开拓了一个新的方向。具体地说，在人类文明的发展进展中，人们曾希望能找到这样一种方法，用之即可有效地解决一切问题，包括有效地从事发明创造。如笛卡尔就曾提出过所谓的“万能方法”：第一，将任何问题转化为数学问题;第二，将任何数学问题转化为代数问题;第三，将任何代数问题归结为解方程。从现今的立场看，上述对于“万能方法”的寻求显然过于简单了，因为，正如不存在可以把万物点化为黄金的“哲人之石”，能有效解决一切问题或从事发明创造的“万能方法”也不存在。然而，就基本的研究倾向而言，人们却又一度由一个极端走向另一极端，即认为根本不存在任何发现的方法。在历史上后一种观念与逻辑实证主义的“科学观”有着直接的联系：后者明确提出了关于“证明（检验）的方法”与“发现的方法”的区分，并认为方法论的研究应当局限于前一范围，而发现的问题则因为不可能做出任何理性或逻辑的分析而应被归属于心理学的范围。这也就是说，所谓“发现的方法”根本不存在。逻辑实证主义在西方学术界中曾长期占据主导的地位，因此，关于发现或创造方法的研究也一度处于停顿状态。

正是在上述的严峻形势下，波利亚自觉地承担起了“复兴”数学启发法的重任。波利亚对于这一问题的基本立场是：所谓的“万能方法”并不存在，但是，“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言等等。这些都还是有用的。”[4] 这也就是所谓的“启发性”的模式或方法：尽管它们并非人们在解决问题过程中必须遵循的硬性规范，但仍可给人们一定的启示和帮助。由此可见，波利亚“数学启发法”的提出事实上就是在上述“规范性”与“描述性”的两极对立之间开拓了第三种可能性，并为如何提升学生解决问题的能力指明了努力的方向：除去数学基础知识与基本技能的学习以外，我们还应帮助学生很好地掌握所说的“数学启发法”。

波利亚的上述思想一经发表就获得了普遍好评，但就数学教育领域中的相关发展而言，却又只能说是一种“曲折的前进”。因为，20世纪60年代在数学教育领域中占据主导地位的是“新数运动”;到了70年代，作为改革的一种“反动”，“回到基础”又成了西方特别是美国数学教育界的主要口号;而在经历了这样的曲折过程之后，人们的注意力在80年代才重新回到了“问题解决”上，这包括对于“波利亚的重新发现”。具体地说，“问题解决”正是美国数学教育界在20世纪80年代的主要口号，并在国际范围内产生了广泛的影响，而作为这方面的一个重要指导性文件，美国数学教师全国委员会在1980年出版的《学校数学中的问题解决》就重印了波利亚在1949年发表的一篇短文《论中学里的数学解题》作为全书的第一篇文章。

综上，我们就应充分肯定波利亚在这方面的重要贡献。但从现今的角度看，我们又应更深入地去思考这样一些问题：第一，是否应将“问题解决”看成人类活动最重要的形式，乃至将问题解决的能力看成人类智力的集中表现？第二，是否应将努力提升学生解决问题的能力看成教育特别是数学教育最重要的目标？第三，“数学启发法”是否应被看成实现上述目标最重要的一个方面？还应强调的是，如果将20世纪80年代开展的“问题解决”这一改革运动看成是波利亚相关思想的具体实践，那么，这在一定程度上也可被看作是为上述问题提供了初步解答，并标志着人们在这一方面认识的重要发展。

例如，这就是这方面十分重要的一项理论成果：正是通过教学实践的总结与反思，包括进一步的研究，人们认识到了“启发法”并非决定人们解题能力的唯一要素，恰恰相反，所谓的“元认知”和“观（信）念”也应被看成在这方面具有十分重要的作用。再者，这也可被看成是关于新的改革运动认真反思的一项重要结果，即人们清楚地认识到了单纯强调“问题解决”的局限性。这也正如“问题解决”现代研究的主要代表人物舍费尔德所指出的：“现在让我回到‘问题解决’这一论题。尽管我在1985年出版的书中用了‘数学问题解决’这样一个名称，但我现在认识到这一名称的选用并不是很恰当。我所考虑的是，单纯的问题解决的思想过于狭窄了。我所希望的并非仅仅是教会我的学生解决问题——特别是别人所提出的问题，而是帮助他们学会数学地思维。”显然，后一论述也直接涉及“问题解决”与“问题提出”之间的关系，或者说，从一个角度指明了“问题提出”为什么会在20世纪80年代后期获得人们的特别重视。当然，更一般地说，我们又应特别提及爱因斯坦的以下论述，因为这显然也可被看成十分清楚地表明了“提出问题”的重要性：“提出一个问题比解决一个问题更为重要，因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”

当然，波利亚的工作与“问题解决”这一改革运动之间也存在一定的区别，特别是除去直接的继承以外，后者还提出了一些更加“激进”的主张。具体地说，新的改革运动主张不仅应以努力提升学生解决问题的能力作为学校数学教育的主要目标，也应以“问题解决”为中心对学校数学教育做出全面的改造或重建，即学校的全部数学课程与数学教学都应采取“问题解决”这样一种形式。当然，这又是笔者将此称为“激进主张”的主要原因：不仅相关的实践已经证明后一主张在现实中根本行不通，从理论的角度看，这也是一个十分重要的问题，即不应将“基本的教育思想”与“数学教学的基本形式”简单地等同起来。

那么，从学校数学教育的角度看，究竟如何才能有效提升学生解决问题的能力呢？正是从这一角度进行分析，我们应特别提及中国学者的贡献，特别是这样一个思想：与“问题解决”的专门教学相比，我们应当更加重视相关思想在日常教学活动中的渗透与指导，即应当努力做好用思维分析的方法带动具体数学知识的教学，从而将数学课真正“教活、教懂、教深”。[5]因为，只有通过这一渠道，我们才可使学生真切地感受到数学思维的力量，并切实防止在不知不觉中将相关研究变成纯粹的“纸上谈兵”。（由此可见，如果认定美国数学教师全国委员会的以下主张可以被看成“问题提出发展历程中第一个里程碑式的事件”：應“把问题提出整合到课程和课堂教学中”[1] 11，那么，我们也就应当充分肯定中国数学教育工作者在“问题解决”发展历程中的重要贡献）

当然，就中国学者关于“问题解决”的研究而言，也有一定的局限性，特别是相关研究主要集中于“启发法”（或者说“解题策略”）的研究，特别重视“解题策略”的细化，乃至希望由此而实现解题活动的“程序化、算法化”。但这也正是国外的相关实践所给予我们的又一重要启示，即上述方向的努力并不能真正提升学生解决问题的能力。与此相对照，笔者认为，这是一个更加合理的主张，即不仅应当超越具体知识和技能深入到思维的层面，也应由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略，特别是应通过数学教学努力提升学生的思维品质，包括由理性思维逐步走向理性精神。[6]

应当强调的是，上述分析为我们更好地理解“问题提出”，包括如何从事相关工作提供了重要背景和直接启示。这也正是下一节的直接论题。

二、聚焦“问题提出”和“问题引领”

除去“问题提出”以外，我们为什么又要特别提及“问题引领”这样一个概念？这不仅因为后者相对于前者有一定的独立性，还因为它对于我们改进教学具有更直接的指导意义和促进作用。

在此我们显然也应首先提及这样一个问题：数学教学为什么应当特别重视“问题引领”？笔者的看法是：这是我们落实“双主体”这一基本教学思想的主要途径，特别是在充分发挥教师在教学过程中主导作用的同时，也能很好地体现学生在学习活动中的主体地位。

进而，这也直接涉及数学教育的基本目标：作为“思维的科学”，数学教育的主要任务应是促进学生思维的发展，特别是能帮助他们逐步学会更深入、更清晰、更全面、更合理地进行思考。显然，就目前的论题而言，这也为我们如何进行“问题引领”指明了方向，即应当通过适当提问引导学生更深入地进行思考，从而达到一定的思维深度。[7]

显然，按照上述的分析，“问题引领”在现实中获得普遍重视也就不足为奇了：不仅国内很多数学教材都采取了这样的编排方式，这在教学实践中也得到了广泛应用，更有不少教师在这一方面取得了很多有意义的研究成果。也正因为此，这就不能不说是一些相关的总结性工作的一个明显不足，即将“问题引领”完全从属于“问题提出”，从而不仅未能给予足够重视，而且没有认识到这就是我国对于数学教育这一人类共同事业的一项重要贡献。[8]

当然，在这方面也有很多问题需要深入研究，特别是在理论研究与教学实践的密切结合上应做出切实的努力，如我们如何能够超出知识的学习并从更广泛的角度发挥“问题引领”的作用？教学中又应如何处理“生问”与“师问”、“大问题”与“问题串”之间的关系？等等。显然，从同一角度我们也可更好地认识超出一般性的“问题提出”并更加突出“问题引领”的重要性，特别是这可被看成是为广大教师改进教学提供的一个好的抓手，“一个切实可行的，在课堂上抓得住摸得着的，让学生能够体验、学习的载体”。[1] 9

以下再转向对“问题提出”的分析。在此笔者要再次强调这样一点，即我们不应将这一概念与其他相关概念绝对地分割开来，而应清楚地看到“问题解决”与“问题提出”之间的重要联系。正如波利亚所指出的，在解决问题的过程中常常需要引进辅助问题，而这事实上就已进入“问题提出”的领域：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？”再者，这也是数学思维的一个重要特点，即数学家们通常不满足于问题的解决，而是力图通过新的研究发展自己的认识，如能否对已获得的结果做出推广，能否对相应方法与符号系统等做出优化，在新获得的结果与其他结论之间是否存在一定的联系，是否可以将它们纳入某个统一的数学结构？等等。更一般地说，这可被看成是数学发展的一个普遍性模式：问题提出—问题解决—新的问题提出……

综上可见，我们就不应过分强调“问题提出”与“问题解决”之间的区别，而应高度重视“问题解决”的现代研究与教学实践在这方面给予我们的启示，特别是思考我们究竟应当如何提升学生提出问题的能力。具体地说，是学生解决问题能力的提升。我们在此显然也应明确肯定这样一个事实：学生提出问题能力的提升主要依赖于后天的学习，而且相对于这方面的专门课程而言，我们也应更加重视相关思想在日常教学活动中的渗透与指导。

当然，这显然就可被看成是前一认识的一个明确结论，即我们不应片面地强调“生问”，乃至认为教学必须围绕学生所提的问题去进行，而应更加注重如何能够通过自己的教学努力提升学生提出问题的能力。再则，依据后一分析我们也可更好地理解蔡金法教授的这样一个建议，包括我们为什么应当特别重视“数学教学中的问题引领”：“要把问题提出整合到教材中去，整合到课堂教学中去，把问题提出这样一种教学活动变成常态，来改善学生的数学学习。”[1] 12最后，这显然也可被看成“问题解决”与“问题提出”之间存在密切联系的一个直接结论：从实践的层面看，只有很少情况可以被看成“问题提出”的专门课程，与此相对照，我们应更加重视这两者之间的辩证关系与相互促进关系。

也正是从后一角度进行分析，笔者以为，以下关于“问题提出”教学的建议就不是恰当或不够全面，即认为相关教学应当集中于“情境设置”：“问题提出教学是以情境为开端的，教师首先要让学生基于情境提出一些数学问题，然后根据一堂课的教学目标来确定需要解决的问题。”[1] 10这显然也是这方面工作十分重要的内容，即教师应当围绕数学概念和对“问题解决”的理解去提出问题。更一般地说，即教师应当善于依据具体的教学目标与课堂上的具体情况有针对性地去提出问题，特别是通过这一手段引导学生更深入地进行思考。这事实上也就是现实中人们特别重视整体设计“问题串”的主要原因。

当然，在此也有大量问题需要我们深入地进行研究。例如，就如何有效提升学生提出问题的能力而言，除去教师的言传身教以外（前面已经提及，这正是数学教学为什么应当特别重视“问题引领”的重要原因之一），我们显然也应很好地处理教学的开放性与规范性之间的关系，既应鼓励学生积极地提出问题，又应切实做好引导的工作，特别是应帮助学生逐步学会如何对问题的重要性和恰当性做出评价，也应当将此看成是提升学生提出问题能力十分重要的一个环节。再者，这显然也是这方面十分重要的一个问题：正如“解题策略”的教学，我们是否也应帮助学生很好地掌握“提问的策略”？应当强调的是，尽管笔者对此持肯定的态度，但这显然也是这方面工作應当注意防止的一个趋向，即策略的过度细化，乃至对于提问“程序化、算法化”的不恰当强调;恰恰相反，与具体策略的学习相比，我们应更加重视提升学生的思维品质。

再者，这也可看成是从更广泛的角度进行分析的又一重要结论，即无论是培养学生提出问题的能力或是解决问题的能力，都不应被看成是数学教育的主要目标。与此相对照，我们应更加重视如何通过自己的教学促进学生思维的发展，包括由唯一强调“数学地思维”走向“学会思维”，也即应当更加注意提升学生的思维品质。另外，与单纯强调在教师指导下进行学习相比，我们也应高度重视提升学生在这一方面的自觉性，即应帮助他们逐步地学会学习，包括不断提升自身解决问题和提出问题的能力，从而真正成为学习的主人。

应当指出的是，从上述角度进行分析，我们在教学中显然应当十分重视这样一项工作：总结、反思与再认识，包括对于“长时间思考”的积极提倡，也即应当将此看成是提升学生提出问题能力和解决问题能力的又一重要环节。

还要强调的是，这事实上也正是笔者近期为什么积极提倡“数学深度教学”的主要原因，后者可被看成是对于上面所提及的各个论点的一个概括，从而为我们改进教学指明了努力的方向：数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略過渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人。[9]

最后，依据上述分析我们显然可以引出这样一个结论：“问题引领”同样应当被看成是做好教师培训工作的关键，因为只有通过提出适当问题引导教师积极地进行思考和研究，广大教师才能真正成为培训活动的主人，而不是始终处于“被培训”或“受教育者”的地位，包括由此而获得教学中如何做好“问题引领”的亲身体验和直接启示。当然，所说的“问题引领”并不只适用于“‘问题提出’的主题式教学专业发展工作坊”，也包括所有的教师培训。

上述工作也可被看成是我们如何做好“向外学习”的一个实例，特别是在加强学习的同时，教师也应高度重视自身工作的总结和反思，包括通过国内外工作的对照比较与互补整合明确前进的方向，从而将自己的工作做得更好。

参考文献：

[1]贾随军，姚一玲.问题提出的回顾与展望：美国特拉华大学终身教授蔡金法访谈录[J].教学月刊·小学版（数学），2021（10）.

[2]波利亚.怎样解题：数学教学法的新面貌[M].徐泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，1982.

[3]郑毓信.问题解决与数学教育[M].南京：江苏教育出版社，1994.

[4] 波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究和讲授[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.北京：科学出版社，2016.

[5] 郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，1991.

[6] 郑毓信.“数学思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）.

[7] 郑毓信. 数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（3）.

[8] 郑毓信. 中国数学教育的“问题特色”[J].数学教育学报，2018（1）.

[9] 郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

（南京大学哲学系   210093）