重视因果表达 提升推理能力

邵蓓瑜

【摘   要】推理是思维的基本形式之一。数学教材中有很多内容都可以作为培养学生推理能力的材料，习题中也能挖掘出可以引导学生由已知信息出发逐步得到结论的推理素材。以“角的度量”单元中的一组习题为例，教师在教学中要帮助学生掌握以下方法：处理好已知与结论的关系;重视隐含的已知信息;学会用“因果”关系进行表达的方式，让学生逐步形成“用数学的思维思考现实世界”的核心素养。

【关键词】角的度量;因果表达;数学思维;推理意识

推理是一种基本的思维形式。推理意识，是数学核心素养在小学阶段的具体表现形式之一。小学阶段的数学教学，不要求学生用规范的语言、符号表达推理过程，但要重视培养学生的推理意识。让学生经历思考的过程，体会解决问题时要从已知条件出发，一步一步有条理、有根据地找到答案，是培养学生推理意识的重要方式。

教学中，教师要有意识地让学生经历寻找已知条件和问题之间联结的过程，感受推理的完整性和严密性，由此让学生在解决具体的数学问题时，不仅能明确思维的方向，还能按照数学知识的逻辑顺序展开分析。以“角的度量”单元中的一组习题为例，说说如何帮助学生养成有条有理思考、有根有据表达的习惯。

一、学习材料分析

作为一种基本的思维形式，推理无处不在。教学时，教师会引导学生经历推理过程。但一般来讲，教师在新课教学中会关注对学生推理意识的培养，而在练习中却对此有所忽视。其实，有很多练习内容都可以成为培养学生推理意识的好材料。

如人教版教材四年级上册“角的度量”单元“练习七”中的三道习题：习题4、习题7、习题15。习题4旨在引导学生通过测量、比较，发现“对顶角相等”这一事实，为后续学习积累基本经验;习题7旨在引导学生借助隐含信息（平角），得出未知角的度数;习题15旨在引导学生借助题目体验“说理”的过程。教学这三道题，不仅可以从内容的视角出发解决问题，也可以从培养学生推理意识的视角出发，通过对习题的加工重组，使其成为提升学生推理意识的好素材。

比如习题7的第（1）小题，要解决“∠1=70°，那么∠2=（ ）”这个问题，需要先找到它的一个“隐含的已知信息”，即平角是180°。教学时如果能够唤醒学生在解决问题中积累的“根据两个或两个以上已知信息，才能找到问题答案”的经验，就能让学生感知到“从已知到结论”的推理基本结构。而要解决第（2）小题“已知∠1=40°，那么∠2=（ ），∠3=（ ），∠4=（ ）”，学生需要经历以下思考过程：①在多个信息中根据“已知与结论”的因果关系，选择“有关的平角”和“已知角”算出未知角。②借助“中间问题”搭建问题解决的桥梁。如根据已知的∠1的度数，计算∠3的度数时，∠2或∠4的度数就是“桥梁”。③得到答案解决问题。教师如果能够引导学生将以上思考过程显性化，则能让学生更好地体会是“根据什么得到结论”的，从而让推理意识得以萌发。

从以上分析中可知，这组习题既能对接学生解决问题的推理经验，又能帮助他们借助直观的数量关系体会“根据已知得到结论”的推理过程。因此可以按照“认识简单推理—再认识稍復杂的推理—建立思维方法”的过程重新编制习题组，为培养学生的推理能力服务。

二、教学过程阐述

（一）经历从已知到结论的推理过程

要让学生经历从已知到结论的推理过程，首先要引导其理解什么是已知，什么是得到的结论，并学习怎样根据已知得到结论。

1.明确什么是已知、什么是结论，体会什么是推理

教师呈现图1，引导学生思考：一条直线与另一条直线相交，已知∠1的度数，可以得到∠2的度数吗？

师：如果∠1=70°，那么∠2是多少度？你是怎么想的？

生：∠2=110°。

生：你看图上∠1+∠2=180°，而∠1=70°，所以∠2=180°-70°=110°。

师：这道题目中已经告诉我们的信息是什么？

生：已知∠1=70°。

师：根据这一个已知条件就能得到答案吗？∠2是怎么算出来的？

生：不是的，还有一个已知条件是180°。

师：咦，这个180°是哪儿来的？

生：图上∠1+∠2组成了平角，也就是180°。

师：有了∠1+∠2=180°和∠1=70°这两个信息，就能算出∠2=110°，也就是说，这道题中有两个已知条件，一个是直接告诉我们的，另一个是藏在图形中悄悄告诉我们的。

教师调整图1中两条直线之间的倾斜度，再次提问：如果已知∠1=30°，那么∠2=（   ）。在学生解决这一问题后继续问：如果∠1=□，在□里填小于180°的任何一个数，那么你能知道∠2=（   ）吗？让学生体会不管∠1是几度，∠2始终是180°-∠1。

之后教师引导归纳“以上求∠2的过程中有什么共同的地方”，并根据谈话明确指出：“一般情况下，我们至少要根据两个信息才能得到一个问题的答案，这两个信息无论是直接告诉我们的，还是藏起来要我们去发现的，都叫已知信息，求出的答案则叫结论。由已知信息推导得出结论的过程，我们称为推理。”

以上过程意在让学生明确获得结论是需要已知信息的，已知信息包含直接告知的信息和隐含的信息，体会根据已知信息推导得出结论的过程就是推理。这为帮助学生形成“有条有理思考，有根有据表达”奠定了基础。

2.经历根据已知推导结论的过程

（1）教师呈现图2，并出示问题：已知∠1=40°，那么∠2=_______________，∠3=____________，∠4=______________。请学生独立解答并记录思考过程。

教师呈现学生的解答（如图3），引导质疑：“∠2多少度”明明是要求的问题，怎么在计算∠3的时候却作为已知信息来用呢？

生：在计算∠3的时候，∠2=140°已经算出来了，就是已知信息了。

师：像这样既是结论，又是解决其他问题的已知信息的情况，还有吗？

根据学生的回答逐步形成板书内容（如图4）。

如上，学生在解决问题的过程中，感知到通过计算得出的∠2的度数不仅是问题的结论，还可以在后续的问题解决中作为新的已知信息来使用，进一步体会已知、结论的相对性。

（2）教师继续引导学生：“观察图2，我们除了得到∠2=140°，∠3=40°，∠4=140°的结论外，还有什么发现？”

生：我发现∠3=∠1，∠2=∠4。

师：你是怎么得到∠3=∠1，∠2=∠4这个结论的？

生：因为∠2和∠4都等于140°，所以∠2=∠4，同样∠1和∠3都等于40°，所以∠3=∠1。

生：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都加了∠2，所以∠1=∠3。∠2和∠4也一样，因为它们都加了∠3等于180°，所以∠2=∠4。

师：看来使用不同的信息也能推出同样的结论∠1=∠3，∠2=∠4。

通过以上过程学生体验到：几个角的度数是根据已知信息计算得到的结论，这些结论又可以作为已知信息，得到新的结论∠3=∠1，∠2=∠4;不同学生使用不同的信息能推出同样的结论，推理的过程具有不唯一性。

推理包含已知信息、结论和推理的过程。教师通过不断追问，让学生体会到根据已知信息得出结论的过程就是推理的过程，通过让学生表达推理过程，帮助学生逐步形成“有理有据”得出结论的习惯。

（二）学习根据已知得出结论的推理方法

通过推理解决问题时，常见的方法有综合法与分析法。综合法就是一种从已知到结论的逻辑推理方法，也就是由因到果的证明方法;分析法是一种从结论到已知的逻辑推理方法，也就是执果索因的证明方法。分析法的证明路径与综合法相反。虽然小学阶段不要求学生进行严格的数学证明，但让学生体验推理的严密性和推理方法的多样性也是培养学生推理意识的重要途径之一。

1.综合法

教师呈现图5，引导学生质疑：要求4个角的度数，但图中没有任何信息，合理吗？

生：图中有信息。∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°都是藏起来的已知信息。

师：根据他发现的信息，能推出什么结论？

生;∠1=∠3，∠2=∠4。因为∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都是加上∠2以后為180°，所以∠1=∠3。同理，∠2=∠4。

师：能计算出这4个角的度数吗？

生：不能，还需要知道1个角的度数。

师：你想知道哪一个角的度数？为什么？

生：都可以，不管哪个角，都可以结合平角这一信息，推出其他角的度数。

……

通过思考“根据两条相交直线中的已知信息能得到什么结论”“需要什么信息能得到4个角的度数”等问题，学生知道了每一步推理都是根据相关信息得出结论的过程。同时也发现，要知道图5中各个角的度数，只要给出1个角的度数即可，因为根据一条信息可以不断产生新的结论和信息，由此获得开放的、发散的结论（如图6）。这种用综合法解决问题的思维方式，是学生今后进一步学习推理和解决复杂问题的重要基础。

2.分析法

教师呈现图7，并提出问题：图中的∠1和∠2相等吗？请说明理由。

师：要知道∠1和∠2是否相等，需要哪些已知信息？

生：如果知道∠1和∠2各多少度就可以了。

生：可以量出∠1和∠2的度数，通过比较就能知道∠1和∠2是否相等。

生：不量也可以。图中有两个长方形，长方形的每一个角都是90°。从图中可以看出，∠1+中间的这个角=90°，∠2+中间的这个角=90°，也就是说，因为∠1和∠2分别加上中间这个公共的角都等于90°，所以∠1=∠2。

师：刚才是哪个信息帮助我们得到∠1=∠2？

……

以上过程就是学生用分析法，从结论入手，寻找能够支撑结论成立的条件，一步一步解决问题的过程。他们借助已知和结论之间的因果关系，在图形的支撑下，经历“从已知信息出发思考能推出什么结论”和“从结论出发寻找需要的已知信息”的思维过程，深刻体会到得到结论需要有据可依。这一过程促进学生的思维方式由单一走向多元，由封闭走向开放，让学生的数学思考力得以提升。

三、实践后的思考

核心素养的培育不可能一蹴而就。培养学生的推理意识，提升其数学思考力同样需要经历漫长的过程。在这个过程中，无论是新授课还是练习课，教师都需要帮助学生掌握以下几个方法。

（一）处理好已知与结论的关系

推理是根据已知条件逐步推导得出结论的过程，处理好已知和结论之间的关系能让思维更清晰。教学中，教师要重视让学生在实践中体会、感受什么是已知条件，什么是结论。特别是在推理过程中“得出的结论”又可以作为已知信息运用到后续推理的过程中，得到新的结论。从本案例的教学中可以看出，如果选材合适，教学处理得当，学生不但可以理解什么是已知条件，什么是得出的结论，也可以理解“藏起来的已知条件”也是已知条件，前面推理得出的结论同样可以作为后续推理的已知条件，感受已知与结论的相对性和关联性。

（二）重视隐含的已知信息

隐含的已知信息是题目中含而未露，需要学生从与数学题目相关的概念、性质等角度去发现的信息。隐含的已知信息往往是问题解决的关键。在教学中，教师要重视帮助学生将隐含信息显性化，体会隐含信息在问题解决中所起的作用。这为学生在今后的学习中，主动加强对概念、性质等基础知识的理解，灵活地看待已知与结论的关系，是大有裨益的。

（三）学会用“因果关系”进行表达的方式

学生要阐述自己的结论，解释结论得出的过程，就需要运用有理有据的表达方式。学生在数学学习中普遍存在“会算不会说”的现象——这里的“说”指的是运用合适的数学语言（口语或书面语）与他人交流的表达方式。教师可以借由非常明显的具有因果关系的问题，引导学生使用因果关系词汇，如“因为……所以……如果……那么……”等。这些词汇能够帮助学生厘清思路，形成“有条理地思考，有根据地表达”的数学素养。

参考文献：

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[4]李艳，唐恒钧.小学数学逻辑推理教学的个案研究：以“图形的面积和周长探索”为例[J].浙江师范大学学报（自然科学版），2020（3）：355-360.

（浙江省温州市永嘉县实验小学   325100）