2021奥地利数学奥林匹克不等式题的探究

重庆三峡学院数学与统计学院 (404000) 谭安利 古玲玲 陈晓春

本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.

1.不等式(1)的证法

分析1：不等式(1)的左端每一项的结构相同，但遗憾的是分母的系数不等，注意到每一项的特点，因此可通过证明局部不等式，再叠加.

分析2：不等式(1)的分母是一次式，因此可通过换元转化成分母为单项式的不等式，再利用基本不等式证明.

对于不等式(2)可采用证明局部不等式再相加，也可利用柯西不等式等，因此有：

2.不等式(1)的变式及推广

将不等式(1)的系数一般化有：

显然上述不等式前一个均是后一个的特例，因此只给出不等式3的证明.

对上述不等式中的参数赋值，可得许多与(1)结构类似的不等式，例如下述不等式4及不等式5.

对不等式(2)作类似于上述的推广有:

不等式6-不等式9可仿前证明4通过适当变式由柯西不等式给出，此处略.对上述不等式中的参数赋值，可得许多与(2)结构类似的不等式.