Hilbert空间中强半压缩算子迭代序列的误差估计及稳定性分析
2022-01-19范红磊王朝
范红磊, 王朝
(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京 210044)
1.引言及预备知识
设(H,〈.,.〉)是一实Hilbert空间, 具有诱导范数‖.‖,C为H的一个非空闭凸子集,T:C →C是一非线性算子,x0∈C是给定的初始点, 定义序列{xn}:
其中{an},{bn},{cn},{αn},{βn},{bn+cn},{αn+βn}⊂[0,1],n ≥0.若在(1.1)中取βn=cn=0,则(1.1)式被称为Noor迭代[1].若取βn=cn=an= 0, 则(1.1)式被称为Ishikawa迭代[2].若取βn=cn=an=bn= 0, 则(1.1)式被称为Mann迭代[3].2015年, Maruster和Maruster[4]根据半压缩算子的定义提出了强半压缩算子(SDC)的概念: 如果对于任意的x ∈C, 有
其中s∗∈Fix(T) ={x ∈C:Tx=∅(s∗称为T的不动点),a ∈(0,1),K ≥0, 则算子T被称为强半压缩算子(注意到若T是一强半压缩算子, 则其不动点是唯一的).在此基础上,文[4]研究了在强半压缩算子下的Mann迭代的误差估计和T-稳定性.WANG[5]改进了文[4]的结论, 得到了Mann迭代误差估计的一个新的公式, 与文[4]中误差估计式相比有更快的收敛速度, 并且根据所得误差估计式得到了迭代序列强收敛的一个充分条件.在文[6]中, WANG等对[4-5]进行了推广, 建立了Ishikawa迭代的两个误差估计式和强半压缩算子的强收敛定理, 并讨论了Ishikawa 迭代及Mann迭代的收敛速度和误差估计, 最后证明了Ishikawa迭代的T-稳定性.Grsoy等[7]在不同的条件下, 提出了Mann迭代的稳定性定理.与此同时, 文[7]中考虑了强半压缩算子下的Mann迭代的弱ω2-稳定性, 并讨论了强半压缩算子的数据依赖性.文[8-9]研究了Jungck-Khan迭代的强收敛性和T-稳定性, 并给出了Jungck-type迭代的数据依赖定理.
本文将讨论在强半压缩算子下的迭代序列(1.1)的误差估计及稳定性.首先, 给出在Lipschitz条件下该迭代序列的误差估计及强收敛的充分性条件, 并举例与文[6]中所得Ishikawa迭代的误差估计式进行对比.其次, 在非Lipschitz条件下, 我们也讨论了该迭代序列的误差估计式及强收敛的充分性条件.最后, 分析了该迭代序列的T-稳定性.所得结果推广了文[4-9]的相关结论.
为了证明本文的主要结果, 我们需要以下定义和结论.
定义1.1[10]设X是一实Banach空间,C为X的一个非空闭凸子集,T是C上的自映射,x0∈C为任意给定的点, 若由
生成的序列{xn}强收敛到T的不动点s∗∈Fix(T), 则称迭代序列(1.3)是T-稳定的(或关于T是稳定的)当且仅当对任意的序列{yn}⊂C, 有
其中εn=‖yn+1−f(T,yn)‖.
引理1.1[10]设(H,‖.‖)是一实Hilbert空间, 对∀x,y ∈H, 有
其中a是一实数.
引理1.2[11]设(H,‖.‖)是一实Hilbert空间, 则对于∀x,y,z ∈H, 有
其中α,β,γ ∈[0,1],α+β+γ=1.
引理1.3[10]设{dn},{εn}是两个非负实数列, 满足
其中0≤α<1.若则
?
引理1.4[5]设{dn}是一非负实数列, 满足
其中0<α<1,β >0.若{ϵn}是一非负实数列, 且满足
2.强半压缩算子的迭代序列(1.1)的误差估计
本节我们将给出强半压缩算子下的迭代序列(1.1)的两个误差估计式及相应的强收敛的充分性条件, 并举例与已有的误差估计式进行对比.
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