“函数的单调性”的教学新设计

佛山顺德罗定邦中学(528300) 黄俊湛

《普通高中数学课程标准2017年版》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大数学学科核心素养.希望通过数学课程的学习,学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.

函数是现代数学中最重要的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.通过本章的学习,要使学生建立完整的函数概念,不仅要把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具,也要把函数理解为实数集合之间的对应关系,能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质.面对现实问题,能利用函数构建模型、解决问题,最终提升数学抽象,直观想象、数学运算和数学建模素养.

那么,如何把上述要求落到实处呢? 下面,就以“函数的单调性”这一课例的教学设计予以说明.

一、内容分析

建立客观世界中运动变化现象的函数模型,目的是用数学知识和方法分析函数模型的性态,由此发现事物的变化规律,进而精确地“预测未来”.函数模型的性态就是事物的变化规律,把握了函数的性态就掌握了事物的变化规律.因此,了解函数性质是非常重要的.研究函数的单调性,既是学习函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展,又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的基础;同时单调性在比较大小、解不等式、证明不等式、数列的性质以及其它知识的综合应用中发挥着重要作用.所以,函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用.

二、学情分析

1.授课对象: 普通高中中等水平高一的学生;

2.认知基础: 学生在初中从因变量随自变量变化而变化的角度已学过一次、二次和反比例函数,高中从集合的角度系统地又学习了函数的概念,学生对函数的单调性已有了“形”的直观感性认识,知道“y随x的增大而增大(减小)”可以用来描述图像的上升(下降)趋势,通过前面不等式的学习,也具有一定的不等关系符号运算能力.

3.认知障碍: 如何将自然语言表述图形特征的“y随x增大而增大(减小)”来刻画函数图象从左到右的上升(下降)”描述转化为精确化的形式定义“∀x1,x2∈D,当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))”,学生接受起来还比较困难.

三、教学目标

1.知识与技能: (1)理解“任意”“都有”等关键词的含义;(2)掌握函数的单调递增、单调递减区间等概念;(3)借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性;(4)会用函数单调性的定义,按一定的步骤证明函数的单调性.

2.过程与方法: (1)经历由函数图象观察函数的变化趋势的过程,培养学生的数形结合能力,发展由形思数的思维意识;(2)通过将自然语言抽象成符号语言的过程,培养学生抽象思维能力,发展抽象素养.

3.情感态度与价值观: (1)体验数学定义的严谨美; (2)欣赏数学符号的简洁美;(3)感受数形结合的数学美.

四、教学重点与难点

重点 理解函数单调性的符号化定义.难点 为什么要符号化? 符号化的结果为什么是这样?

五、教学过程

(一)创设情境,引入学习

问题1 如图,为某地某天24 小时内的气温变化图,观察图象,说说温度是如何变化的?

师: 天气是变化的,请同学们结合图像说说温度是如何变化的.

生: 从0 点到4 点温度缓慢下降,4 点到14 点温度是逐渐升高的,14 点到24 点温度又逐渐下降.

师: 同学们都描述非常准确.随着自变量的变化,函数值是变大还是变小,这是函数的重要性质,称为函数的单调性.

设计意图 从图像直观感知入手,引导学生用图像语言描述函数的单调性,直观描述增减函数的定义:“随着自变量的变化,函数值是变大还是变小,这是函数的重要性质,称为函数的单调性.”这符合学生的认知水平,同时结合生活中数据的变化规律,使学生体会到数学在生活中的应用.

(二)温故知新,直观感知

问题2 刚才是生活中的例子,现在请同学们分别作出函数f(x)=x+2,f(x)=-x+2,f(x)=x2在(-∞,+∞)上的图象,并观察自变量变化时,函数值的变化规律.并尝试给增函数和减函数下定义.

学生活动: 动手画出三个函数的图像

生1:f(x)=x+2 图像呈逐渐上升趋势,函数f(x)随x的增大而增大.

生2:f(x)=-x+2 在图像呈逐渐下降趋势,函数f(x)随x的增大而减小.

生3:f(x)=x2在区间(-∞,0)上图像呈逐渐下降趋势,函数f(x)随x的增大而减小;在区间(0,+∞)上图像呈逐渐上升趋势,函数f(x)随x的增大而增大.

师: 从函数f(x)=x2这个例子来看,函数的单调性是对定义域内某个区间而言,是函数的局部性质.我们能否一起归纳增函数、减函数的定义呢?

若函数f(x)在某个区间上满足: 函数值f(x)随自变量x的增大而增大,则f(x)在该区间上为增函数;

设计意图 借助初中学过的三种常见的具体函数,引导学生回顾函数单调性的直观描述.同时通过二次函数的单调性向学生揭示函数的单调性是以区间为前提的.

(三)设置问题,形成冲突

问题3 由上面的定义,能否一眼判断出函数f(x)=在(1,+∞)上是增函数还是减函数?

学生活动: 思考、讨论并发表观点(有点困难)

师: 为什么会有困难?

生: 因为不会画函数的图象.

师: 对的,我们没办法直观描述增减函数,那么,我们需要引入什么? 要进行推理和计算,我们就必须用准确的数学语言来刻画定义,即需要把定义精确化.

设计意图 通过设置问题,形成冲突.函数图像虽然直观,但是缺乏精确性,必须结合函数解析式,但仅凭函数解析式常常也难以判断其单调性,以此得出“图像不可靠,解析式不明朗”,自然而然地引出数学符号语言.若老师直接给出函数单调性的定义,学生可能会被动接受,但不理解为什么要研究它,也就是“知其然而不知其所以然”.在初学阶段可能会模仿例题解题,但过一段时间可能会遗忘,而且单纯的模仿也不利于学生发现问题、提出问题的能力的培养.

(四)引导探索,构建概念

师: 想一想: 如何刻画“x的增大”?

学生乙: 这里意味着两个量比较,可表示为“x1＜x2”,这样“y随着x的增大而增大”可表示为“当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2)”.

追问: 这里的x1,x2有什么要求?

生: 这两个量都大于1.

师:“若当x1＜x2时,f(x1)＜f(x2)”这句话严谨吗?

(学生容易体会到x1,x2两个量是怎么取值的交代不明确,可能取一组,可能取几组,可能取无数组等等,因此,还要进一步讨论清楚.)

让学生讨论问题: 由符号语言能否得到f(x)=在(1,+∞)上单调递增,若不能,可否举出反例? (x,y)的选取有可能选多少组?······

讨论过后,学生展示:

生: 可能取一组,可能取几组,可能取无数组等等,经过讨论,学生体会出这个问题比较抽象,可以画图直观感受.通过画图发现取一组不行,取两组行吗? 取几组也不行,取无数组行不行? 即“当x1＜x2＜x3＜··· ＜xn ＜···,有y1＜y2＜y3＜··· ＜yn ＜···”通过作图发现取无数组也不能说明f(x)=f(x)=在(1,+∞)上单调递增.

师: 根据大家刚才的探究,符合语言应该如何叙述呢?

学生丙: 任取x1＜x2＜x3＜··· ＜xn ＜···,当x1＜x2时f(x1)＜f(x2).

师: 非常好! 这个描述太精彩了,这么困难的问题大家都能解决,还有什么能难到大家呢!!!

师: 能否把结论放到一般的函数? (引出函数单调性的精确化定义)

一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D ⊆I:

(1)如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就称函数在区间D上单调递增.相应的,区间D则称为函数的单调增区间.

特别的,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.

(2)如果∀x1,x2∈D,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就称函数在区间D上单调递减.相应的,区间D则称为函数的单调减区间.

特别的,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.

如果函数y=f(x)在区间D上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

类比单调增函数,给出函数单调减的定义.单调性定义完成后,引导学生结合二次函数的例子进一步理解单调性是一个局部概念,在定义域上可能不具有单调性,当然有的函数没有单调区间.

设计意图《课程标准》指出,数学概念教学应该要揭示数学概念的形成过程,从思维角度来设计数学教学,是一种贴近学生思维“最近发展区”的自然有效的方式.数学的学习不仅要学好相应的数学知识,而且更重要的是要在学习过程中发展数学思维.学生在此处学习单调性是要理解“任意”二字,不仅仅是本节内容的重点,也为后面更好地研究函数的奇偶性,学习立体几何中线面平行和垂直作铺垫,同时发展学生的抽象思维能力.

按照概念的理解,讲解前一天做的自主自测,再一次加深理解定义.

(五)固化概念,回味辨析

下面的说法正确吗?

(1)若函数f(x)满足f(2)＜f(3),则函数f(x)在区间[2,3]上为增函数.

(2)因为函数f(x)=x2对任意的x1,x2,且x1＜x2,都有f(x1)＜f(x2),所以f(x)是单调递增函数.

(3)因为函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)都是减函数,所以函数f(x)=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.

1.函数的单调性是在某个区间上的局部性质,区间是前提.

2.x1,x2必须是同一区间内的两个任意的数.

设计意图 通过这几个容易让学生出现概念“盲点”的问题,引导学生辨析,加深学生对概念内涵和外延的认识.引导学生思考: 定义函数单调性时,要注意哪些问题?

师: 我们小结一下,研究函数单调性的方法:

生: 方法1: 画出函数的图象,根据图象观察函数的单调性;

方法2: 根据函数的解析式,从单调性的定义证明.

(六)学以致用,巩固提高

例1 下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上,它是增函数还是减函数?

例2 根据定义,研究函数f(x)=kx+b(k /=0)的单调性.

从例2 归纳出用定义证明函数单调性的步骤: 上任取两个数,确定大小后,作差,变形,判断正负.

师: 这两个方法都很好,但我们在具体处理时,要比较方法的优劣,遇到基本初等函数,我们熟悉它们的图象,就可以直接画图处理.但如果遇到解析式比较复杂,作图比较麻烦时,我们可以利用单调性的定义作差计算.应用定义算出单调性,进一步体会符号语言刻画单调性后解决问题的便利.另一方面,这两题让学生分别从“形”和“数”两个方面理解单调性,进一步体会数形结合的思想.

例3.根据定义证明函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递增.

通过讲解例3,归纳作差后变形的处理,有三个方向,一分解因式,二配方,三根式有理化.

(七)课堂小结

1.经历单调性的定义的探究过程,特别是符号语言的描述这一难点.

2.函数单调性的定义,并完成了三种语言(图象、自然语言、数学符号)的表述,同时体会到使用数学符号的优点.

3.证明函数的单调性的步骤是怎么样的?

严格遵循设元、作差变形、定号、结论的步骤,特别在变形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的运用,直到符号判定水到渠成才即可.

4.这节课你学到了什么数学思想方法?

数形结合思想、类比思想,经历了由图象直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的,从感性到理性的认知过程.

5.函数除了单调性还有什么性质? 我们后面再学习.

(通过函数单调性的学习引出整个单元的内容,激发学生学习数学的热情)

(八)作业

理解性作业 画出下列函数的图象,并根据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

(1)y=x2-5x-6. (2)y=9-x2.

应用性作业 判断函数f(x)=在(0,+∞)上的单调性.

拓展性作业 如何说明一个函数不具有单调性?

六、教学反思

深刻理解教材,重视概念形成过程.李邦河院士认为“数学根本上是玩概念,不是玩技巧的,技巧不足道也.”数学概念是人脑对现实世界的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式,即一种数学的思维形式.正确理解并灵活运用数学概念是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.一节好的数学概念课不能仅仅满足学生能在表面上理解概念,首先要关注为什么要引入这个概念? 让学生明白引入的必要性,这样在遇到具体问题时才能灵活应用;其次,要引导学生自主构建概念,让学生体会概念的合理性,在这过程中蕴含了大量的数学思维,只有引导学生不断探索,形成概念,才能体验成功的快乐,从而能激发学习数学的兴趣;最后,在概念形成后要进行有针对性的练习,让学生体验概念在具体问题中的应用以及它自身的价值.

函数的单调性的认知经历三个阶段: ①经验感知阶段,知道一个量随另一个量的变化而变化,如: 随着年龄的增长,我的知识越来越多.②形象描述阶段,变量说.y随着x的增大而增大(或减小).③抽象概括阶段,高中函数单调性的定义.逐层推进,螺旋式上升,是一个有机的整体.按照概念同化的教学方式,在充分利用学生已有的数学和非数学的知识经验的基础上,使其掌握函数单调性的本质属性,体会蕴含于其中的数学思想方法,在获得知识的前提下发展思维能力,并将一般科学研究方法渗透到数学概念的学习过程中.