注重逻辑分析 提升运算素养——一道解析几何题评讲引发的思考

广东省深圳市布吉高级中学(518114)李福莲

《普通高中数学课程标准》指出:“数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据法则解决数学问题的素养.主要包括: 理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等.”数学运算是课程目标要求的学科核心素养之一,而且是最基本的素养,通过运算可以促进数学思维的发展,养成规范化思考的良好习惯.

在教学中我们发现学生对数式变量运算感到最棘手的是解析几何问题,他们有两大困惑: 一是遇到比较新颖的问题时找不到解题思路;二是感觉有解题思路,但是得不到最终结果.更有甚者,有的同学嫌运算量大直接放弃第二小问.解析几何的本质是用代数方法研究几何图形的性质,也就是说我们要用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算,将运算结果翻译成几何结论.因此,在这一章节的教学中,教师需要引导学生注重思维逻辑分析,选择用最简洁、最恰当的方式来表示几何图形的特征,进而优化运算.笔者就以一道解析几何题目为例,谈谈自己的做法.

1 问题呈现

题目已知椭圆C:= 1(a ＞ b ＞0),右顶点A(2,0),上顶点为B,左右焦点分别为F1,F2,且∠F1BF2=60°,过点A作斜率为k(k /=0)的直线交椭圆于点D,交y轴于点E.

(I)求椭圆C的方程.

(II)设P为AD的中点,过点E且与OP垂直的直线交OP于点G,是否存在定点Q对于任意的k(k /=0)都有GQ是定值? 若存在,求出点Q;若不存在,请说明理由.

学生基本能做对第(I)问,第(II)问虽然是一道常规的圆锥曲线存在性问题,但在考试中学生的得分很低.

绝大多数学生是求出P点的坐标后就直接去计算G点的坐标,看到运算复杂就放弃了;还有一部分学生解出了G点的坐标后就没有思路,根本想不到G点的轨迹与圆有关,当然也就找不到定点Q了.

2 问题分析

下面从不同思维角度分析和探究第(II)问.

解法1设直线AD:y=k(x-2)(k /= 0),令x= 0,则y=-2k,所以E(0,-2k).

又因为EG⊥OP,所以

点评解法1 是学生最常用的方法,按照解析几何大题求解的基本流程逐步进行.求出P的坐标后,学生看到这个坐标这么复杂,接下来还要求G的坐标,就有点望而却步了.运算功底好一点的同学接下来会列方程组解得G的坐标,但是却无法找到定点Q.在课堂上同学们也陷入了深思,G是一个运动的点,怎么能找到一个定点Q使GQ为定值呢? 联想到圆的定义,说明点G的轨迹应该是一个圆或是圆的一部分,因此要用消参法求出点G的轨迹方程,进而知道定点Q为圆心.在这个求解过程中想到消去k去求点G的轨迹方程,充分体现了运算过程中的思维逻辑分析的重要性.

解法2同解法1 得xD=因为P为AD的中点,所以xP=则yP=k(xP -所以P的坐标为则设G(x,y),则

又因为EG⊥OP,所以

由③④式消去k得x2+y2-=0,下同解法1.

点评解法2 中关注到点P为AD的中点,可知点P也满足直线AD的方程,因此只需求出点D的横坐标,再求出点P的横坐标,进而求出点P的纵坐标.还关注到我们其实并不需要求出点G的坐标,而只要求出点G的轨迹方程即可,因此可以通过③④两式直接消去k,使运算更简捷.

解法3设直线AD:x=ty+2(t /= 0),令x= 0,则所以消去x得(3t2+4)y2+12ty=0,由韦达定理,知0+yD=解得yD=因为P为AD的中点,则yP=则xP=t×所以P的坐标为则kOP=设G(x,y),则

又因为EG⊥OP,所以

由⑤⑥式消去t得x2+y2-=0,下同解法1.

点评一般来讲,若直线l经过x轴上的一定点时,可以设出直线l的反截距式,联立曲线消去x得到一个y的二次方程.解法3 是通过设不同的直线方程减少运算量.

解法4同解法3 得P的坐标为设存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,则= 0,所以= 0,即4x0-3ty0-6 = 0对任意的t /= 0 都成立,所以所以x0=,y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

点评解法4 的成功解决表明,充分利用过动点E的直线EG⊥OP,抓住垂直这个重要信息,要找到一个定点Q使GQ为定值,联想到圆的定义,说明点G的轨迹应该是一个圆或是圆的一部分.因此只有动直线EG过一个定点H时,才可以得到点G的轨迹是以OH为直径的圆.接下来只需研究动直线EG过定点的问题了,这样使消元和寻找等量关系目标更加明确,运算简捷.

考虑到这个题目的实际背景,我们还可以利用下面的方法进行作答.

解法5设直线AD:y=k(x -2)(k /= 0),令x= 0,则y=-2k,所以E(0,-2k).设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),所以=1,两式相减可得= 0,因为P为AD的中点,所以= 0,又因为kAD==k,则有= 0,即kOP=设存在H(x0,y0)使得OP⊥EH,则kOP kEH==-1,所以4kx0-3y0-6k=0,即k(4x0-6)-3y0= 0 对任意的k /= 0 都成立,所以所以x0=y0= 0,所以存在使得OP⊥EH,所以存在使得

点评解法5 的特殊之处是在于充分利用椭圆中点弦的“垂径定理”kOP kAD=这一经典结论,使得计算OP的斜率更具有逻辑性,更自然可操作.

3 教学反思

解决数学问题,离不开运算.要优化运算,就需要运用逻辑分析进行理性的思考.解析几何大题中大量的运算是不可能避免的,需要通过图形特征的分析,选择用最简洁、最恰当的方式来表示几何特征.如何选择最优方案呢? 教师应该授之以渔,在教学中特别强调要“示以学生思维之道”.解析几何问题的运算要教会学生关注: 有什么—知识逻辑;算什么—目标意识;如何算—方法意识;求突破—思维逻辑[2].要不断引导学生注重数学内在的知识逻辑和思维逻辑,这样学生才可以打通思路,再从中选择一个好的解题思路,提前进行设计和规划,经过优化的运算后得到结果.因此,作为数学运算的教学要关注以下几个方面.

3.1 注重基本的解题流程,为数学运算提供逻辑支撑

解析几何会出现许多灵活的综合性问题,但它还是隐藏着一些重要的解题规律.在这一章节习题课的教学中,要注重解析几何大题的基本解题程序的教学,即通性通法的教学.直线与圆锥曲线的位置关系这一类问题的基本解题流程有:(1)设参两途径.在解析几何当中,运动和变化是一个很重要的数学思想,运动的过程往往通过一些参数来体现.比如直线在运动,一般选择斜率和截距做为参数.实际解决过程中,直线方程形式的设定有斜截式(缺少斜率不存在的情况)和反斜截式(缺少斜率为0 的情况).其实运动的直线还可以设点的坐标做为参数,因为点的运动会导致直线的运动.(2)消元两选择.一般联立斜截式直线方程与曲线方程是消去y,联立反斜截式直线方程与曲线方程是消去x.(3)条件坐标化.不仅要将题目的已知条件用坐标表示,还要将我们要解决的问题用坐标表示.(4)消参三步曲.运算过程中会涉及到很多字母和参数,许多同学就会迷失方向,消去参数时层次性不强,因此教师让学生知道消元的节奏,不能混乱.比如联立斜截式直线方程与曲线方程解决问题时,先消y1,y2,再消去x1,x2,最后消去其余的参数.学生只有掌握了基本流程之后才不会惧怕解析几何中的运算,逐步建立研究解析几何综合问题的信心.因此教师要舍得花时间在基本解题流程的教学上,为后期的优化数学运算提供有力的逻辑支撑.

3.2 引领学生分析题目,理解问题内涵

问题表征是学生在解决问题时所使用的一种认知结构,因数学问题具有多元化的表征形态,使得问题解决的方法多样.不同的理解和分析直接影响问题解决的途径,还会导致运算上的差异很大,比如上面例题的解答过程中,不同运算逻辑对学生的思维能力要求是不同的.因此,教师不仅要引领学生分析题目的已知条件,将已知条件合理表征,还要分析题目到底要解决什么问题,即目标问题.当然,学生想要分析题目中已知与待求之间的差异,再进行化归和消除这些差异,都必须建立在能够对问题进行多元表征的基础上.

3.3 关注学生思维动态,适当激发思维

不同学生的思维有差异,分析问题的角度不一样,对题目的理解也是不一样.教师不能只用一个最常用的思路方法和运算途径来解决一类题,那样就不能满足不同学生的思维要求.虽然我们最终目标是朝优化运算前进,但是毕竟学生思维能力差异明显.我们不能只照顾到那些基础较好的学生,而是要舍得花时间跟学生一起分析题目,关注学生的思维动态,在学生的常见的逻辑思维分析下,寻找题目的各种解法,一起探讨各种解法的运算量.在运算过程中出现瓶颈时,教师再设置小组探究或者师生探究,进行思维碰撞,最终让学生掌握常见的代数变换的方法和必要的消元技巧,并让学生明白其中的算理,即为何要这样算会更简捷.

3.4 引导学生进行反思,提升运算品质

引导学生进行运算解题后的反思,是进一步优化数学思维品质,培养数学素养的重要途径.只有通过反思,学生才会明白,在解决解析几何问题时,代数化表征问题的方式的选择是非常重要的,如果选择不好,就会增加计算量,甚至影响到问题的解决.通过反思,学生会深刻地体会到解析几何中最大的难题不是如何消元,而是要找到最合理的代数化方法来表征题目的已知条件和要解决的问题.因此教师可以在这些需要进行代数化表征处设置问题节点,与同学们一起做探讨,并让学生归纳总结,帮助学生积累经验.只有这样,学生才能在诸多代数化表征问题的方式中选择最优方案,进而层层推进,步步深化,培养思维逻辑能力,提升数学运算素养.

3.5 渗透数学学科观点,探寻学科的本质

课堂教学应该遵循学科的观点,引导学生探寻学科的本质.如何有效地将曲线的图形特征代数化是教学最为关键的任务,然而依据几何学的知识逻辑,对于几何元素进行代数化不是一蹴而就的,必须要在明确曲线的几何特征前提下进行代数化.因此教师要引领学生在“曲线与方程”的观点下看几何对象,要明确了动点运动的几何规律之后再进行代数化.对于直线与曲线这样两个或两个以上几何对象的研究,就要先明确它们之间在几何上的位置关系,接下来才能用代数方法去解决问题.因此,在解析几何的教学中,就要依据几何学的学科知识的内在逻辑,让学生亲自去体会、感受所学知识与知识所处的学科的逻辑关系,让学生领悟出解析几何的基本思想,掌握研究解析几何问题的一般方法.数学离不开运算,运算则更需要逻辑分析的基础上对问题进行深刻认识,减少运算量.

结语总之,教师要把培养学生的运算能力列为明确的教学目标,辅之以有典型例题的教学设计,把注重逻辑分析,优化数学运算,进而提升学生运算素养渗透到每一节课中,落实到每一道题目的解决过程之中,并且细化到每道题目运算的每个步骤.