基于深度学习的高中数学概念教学*——以“函数的基本性质(奇偶性)”为例

广州第八十六中学(510700) 甘绮雯

新课程标准中提出“普通高中的培养目标是进一步提升学生的综合素质,着力发展核心素养,使学生具有理性信念和社会责任感,具有科学文化素养和终身学习能力,具有自主发展能力和沟通合作能力[1],为了达到以上教学目标,使学生逐步具备数学学科的核心素养,目前普遍认同的观点是深度学习是促进学生核心素养的养成和全面发展的重要途径.作为数学教师如何落实学生深度学习,帮助学生实现“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越,是值得探讨的问题.

什么是深度学习? 黎加厚教授认为,深度学习是在理解学习的基础上,学习者能够批判性地学习新的思想和事实,并把它们融入原有的认知结构中,能够在众多思想间进行联系,并能够将已有知识迁移到新的情境中,做出决策和解决问题的学习.[2]

一、领悟教材,学情分析,确定高阶目标

深度学习主要目标在于通过对核心知识的理解与掌握的过程,培养学生的高阶思维和关键能力.某一个具体知识所蕴含的高阶思维和关键能力是什么,怎样确定一个学习内容中应当聚焦的高阶思维和关键能力[3].所以课前教师要全方位了解学生,深度理解教材,树立高阶思维的培养目标.

“函数的基本性质(奇偶性)”是人教A 版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修第一册)》第三章第二节的学习内容.本节课主要学习函数奇偶性概念,会利用定义或函数图像判断函数奇偶性,以及利用函数的奇偶性解决问题.教材在处理函数奇偶性时,沿用了函数单调性方法,即从特殊函数的图像出发,归纳共同特征,再抽象形成函数的性质,这种从特殊到一般的归纳过程以及数形结合思想,将贯穿于我们整个高中数学的学习当中,也有利于培养学生的数学核心素养.因此本节课的教学重点是函数的奇偶性.

本节课面向的是高一年级学生.从学生知识储备看,学生在初中已学习了对称图形以及对称概念,通过上一节对函数单调性的学习,初步积累了研究函数的基本方法与初步经验,这些对本节内容刚开始的引入和概念形成起到了铺垫作用.但是学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力比较弱,我们必须引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识.从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题.但分析、归纳、抽象的思维能力还是比较薄弱,通过恰当的培养和引导能够使得学生的分析归纳能力得到提高.针对以上情况,本节课的难点是函数奇偶性的研究过程,突破难点还是应从学生已有的经验出发,通过问题引导学生主动思维,利用知识的发生发展过程来自然地提出问题,引导学生层层深入地进行思考,促使学生得到思维方法上的发展,从而对知识产生深度学习.

导向深度学习的数学教学目标要求在价值维度上指向高阶思维,内容维度上聚焦学科本质、方法维度上强化问题解决、评价维度上凸显实践创新.[4]所以本节课的教学目标设置如下:

(1)类比研究函数单调性的方法,借助函数图像,会用符号语言表达函数的奇偶性的定义.通过这个探究过程发展学生的数形结合思想,并培养学生数学抽象和直观想象的素养.

(2)通过例题的学习,学生会用图像和定义判定函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性质帮助画函数图像和计算问题,培养学生数学推理的素养.

二、激活——创设符合学生认知特点的问题情境,引入概念

杨清博士说过激活就是激发学生学习动机,引起学生注意,触发学生兴趣、情感和思维的“燃点”.那么这“燃点”怎么去创造? 本人觉得要创设真实的、符合学生认知特点的问题情境,打通新旧经验联结通道,这也是学生课堂深度学习的关键一步.本节课通过问题窜激活学生对新知的探究和思考,情景引入环节如下:

问题1 请同学们回忆上一节课学习的函数单调性的定义.

设计意图 通过复习函数单调性的定义,为学生用符号语言表达函数奇偶性做铺垫.

问题2 试举出一些现实生活中具有“对称美”的事物.

设计意图 从生活中的对称图形入手,激发学生对对称图形的联结,由图形的对称性过渡到函数图像的特征,为学生认识奇偶函数的图像特征做好准备.

三、联结——搭建递进式思维过程,抽象概念

概念的形成是以学生的直接经验为基础,用归纳的方式归纳一类事物的共同属性,从而达到对数学概念的理解,基于深度学习的视域下,概念的教学要突出概念的生成过程和探究过程,通过让学生亲自经历数学化的过程,获得理解性掌握,从而有效发展学生的数学抽象、直观想象、数学推理等核心素养.因此研究函数奇偶性的过程概括起来就是: 具体函数——图像特征(对称性)——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定.难点是函数的奇偶性的符号语言的刻画,为了突破难点,教师可以通过设计问题链,搭建递进式思维过程,逐步构建知识,协助学生体验一个新数学概念的抽象过程,这也是浅层学习和分层学习的“分水岭”.以下是奇偶函数概念形成的教学片段:

探究活动1偶函数的定义

问题3 哪些函数的图像具有对称性? 请同学们画出并观察函数f(x)=x2和g(x)= 2-|x|的图像,你能发现这两个函数图像有什么共同特征?

问题4 类比函数的单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”这一特征吗?

追问(1)①一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系?②点P(x,f(x))与点P′(-x,f(-x))的位置有什么关系?

追问(2)以f(x)=x2和g(x)= 2-|x|为例,自变量取一些特殊值,观察表格相应函数值的情况,你能给出有什么共同特点吗?

x …-3-2-1 0 1 2 3…f(x)=x2…9 4 1 0 1 4 9…g(x)=2-|x|…-1 0 1 2 1 0-1…

追问(3)你能用符号语言归纳上述例子的共同特点吗?

设计意图 让学生从具体到抽象进行概括,预设学生得到f(-x)=f(x).实际上∀x ∈R,都有f(-x)= (-x)2=x2=f(x),这时称函数f(x)=x2为偶函数.教师用几何画板动态展示图像任意两个对称点的坐标关系.

追问(4)定义域上只有某些数有f(-x)=f(x)成立,函数图像也可以关于y轴对称吗? 你能举例说明吗?

设计意图 通过举反例进行说明,让学生明确,应该是定义域上任意数.

追问(5)函数f(x)=x2(x ∈[-2,3])图像关于y轴称吗? 为什么?

设计意图 通过对反例的辨析,把偶函数的概念进一步的完善.

追问(6)你能用符号语言精确地描述“函数图像关于y轴对称”这一特征吗?

探究活动2奇函数的定义

问题5 请你类比偶函数概念建立过程,思考并讨论以下问题:

(1)f(x)=x和f(x)=这两个函数图像有什么共同特征吗?

1）多用途原则：土地利用变更分析与管理系统应具有多种用途，既要满足土地现状对于信息处理的要求，还要满足土地利用变更对信息处理的要求，同时还要为土地定级、估价以及土地利用规划等工作提供科学依据。

(2)完成表格,并思考两个函数值对应表是如何体现图像的这个特征的?

x …-3-2-1 0 1 2 3…f(x)=x ……g(x)= 1 x ……

(3)你能尝试用函数解析式描述图像的这个特征吗?

(4)类比偶函数定义,你能尝试对上述函数特征给出新的定义吗?

设计意图 通过学生自己动手计算填写数据,仿照偶函数的概念建立过程,独立地去经历发现、猜想与证明的全过程,并由此建立奇函数的概念.此过程能培养学生观察和反思的能力,同时充分利用图形的直观性,渗透了数形结合的思想,再次让学生体会研究函数性质的过程,并有此培养学生数学抽象与直观想象素养.

四、辨析——明晰概念,加深理解

多角度的进行概念辨析,概念之间区别对比,理清关系,有助于加深学生对概念的理解.对于奇偶函数的概念辨析,可以提出以下几个问题:

(1)函数g(x)=x(x ∈[-1,2])是奇函数吗? 判断函数奇偶性应先检验什么?

(2)有不是奇函数也不是偶函数的函数吗? 举例说明;有没有既是奇函数又是偶函数的函数?

辨析的过程是由表到里,由浅到深的思维过程,通过多角度、多层面的分析,跨领域的联系,引导学生思考辨析概念,让学生经历了逻辑推理的思维过程,引导学生持续深入学习.

五、迁移——应用概念,解决问题

检验学习效果最好的途径就是应用知识去解决问题.这一过程就是迁移,灵活应用概念去解决问题,举一反三.从另一个角度来说迁移本身就是一种新的概括,一种创新,而这种创新就是深度学习中“深度”的应有之义[3].针对本节课需要掌握的技能就是会判断函数的奇偶性以及函数奇偶性的应用,设置了以下例题和变式练习题:

例1判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=x+(2)f(x)=|x+1|+|x-1|; (3)f(x)=

设计意图 通过例题深度学习对函数奇偶性概念的理解,明确判断函数奇偶性的方法,并归纳判断函数奇偶性的步骤.

例2已知函数y=f(x)是奇函数,以及它在y轴右边的图像,你能画出它在y轴左边的图像吗?

变式练习(1)若条件改为函数y=f(x)是偶函数呢?

(2)已知函数y=f(x)是奇函数,f(2)=4,求f(-2)值.

(3)已知函数y=f(x)是定义域为R 的奇函数,当x ＞0时f(x)=x2,求函数f(x)的解析式.

设计意图 通过例题和变式练习让学生掌握函数奇偶性的应用——画图和求值问题.

六、反思——设计反思问题,完善认知结构

反思性问题可以从知识间联系、学习过程、学习结果三个角度去设计,帮助学生不仅梳理概念形成一个有机整体同时,帮助学生总结概念学习的方法,帮助学生实现由“学会”向“会学”的转变,从而有效提升学生的数学素养.为此设计了以下几个反思性问题作为本节课的课堂小结:

(1)这节课我们研究了哪些问题? 请用思维导图展现本节课的学习内容.

(2)我们的研究运用了怎样的方法?

(3)还有什么问题没有弄懂? 有哪些方法没有学会?

总之,数学概念的深度学习是强调学生对数学概念的思考,学习后要会利用数学概念去解决问题和创新,最终形成数学素养来影响学习者的终身发展.本人认为基于深度学习的高中数学概念教学策略包括课前教学准备策略和课堂教学策略,课前领悟教材,学情分析,确定高阶目标;课堂通过激活、联结、辨析、迁移、反思四个环节协助学生深度学习数学概念,落实学生“四基”,提高数学能力,促进学生核心素养的培养.