“单元—课时”教学视角下的问题串教学设计与反思

【摘 要】研究者以课程标准设置的“主题—单元”为依据，通过类比数的运算，以学生熟悉的物理学中功的实例情境为载体，用问题串的形式引导学生抽象出数量积的概念，了解数量积几何意义，探究运算性质，并提炼出其中蕴含的数形结合、特殊与一般等数学思想。教师在让学生掌握“四基”“四能”的过程中培育学生的数学核心素养，在教学实践的基础上，对教学设计和实施课程标准中应注意的问题进行反思。

【关键词】向量;数量积;问题串;核心素养

【作者简介】黄太强，高级教师，芜湖市骨干教师，芜湖市优秀教师，芜湖市“黄太强名班主任工作室”主持人，主要研究方向为解题研究、信息技术与新课程整合、学科德育渗透。

【基金项目】安徽省芜湖市2020年教育科学研究课题“核心素养视域下基于航空班探讨高中数学分层教学”（JK20059）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课程標准（2017年版）》）指出，学生数学学科核心素养的达成不是一蹴而就的，而是具有阶段性、连续性等特点。教师不仅要关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标，明晰这些目标对实现数学学科核心素养发展的贡献[1]。因此，教学设计应在单元教学设计的基础上再进行课时教学设计，以充分体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性，防止碎片化教学。问题串一般由一个主干问题提出思考，这个主干问题聚焦于需要解决的问题，这样的问题串层层递进，由浅入深，能为学生搭建思维的“脚手架”，引导学生体会其中蕴含的思想方法，触及研究本质，促进学习迁移[2]。“问题”是引起思维活动的驱动力，也是思维外显的一种直接手段，“串”表明一组问题之间是有逻辑的，可以揭示教学内容之间内在的逻辑线索。笔者将2019年人教版（A版）高中数学必修第二册教科书中第六章第2单元“平面向量的运算”的教学设计以问题串的方式呈现出来，有效地激活学生的认知结构，激发学生求解问题的欲望，促使学生积极主动地体验知识的发生、发展与应用过程，从而提高学生的数学核心素养。

一、教学分析

（一）内容解析

平面向量的运算包括向量的线性运算和向量的数量积。而向量的线性运算又包括向量加法、向量减法、向量数乘以及它们的混合运算，教师应引导学生研究并掌握平面向量运算的几何意义、运算性质及运算律。

教科书从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引出向量的运算。向量是沟通几何与代数的桥梁，能够将图形的性质与代数的运算相互转化，进而解决几何对象的长度、夹角及位置关系等问题。本单元初步建立向量运算体系，类比数的运算，得到平面向量的运算，以及平面向量运算的几何意义、运算律。类比平面向量的运算体系可以在选择性必修课程中建立空间向量的运算体系，将平面向量、空间向量及其运算一般化，从而得到高等数学中的向量空间的概念。向量运算的过程是培养学生逻辑推理、数学运算和直观想象核心素养的重要载体。

（二）课时教学目标

（1）通过物理学中功的实例，抽象出向量数量积的定义，经历从物理背景分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括、类比迁移的能力。

（2）通过投影及投影向量的学习，发展学生的理性思维，提升学生数学抽象、数学运算的核心素养。

（3）通过不同方式的研究，发现向量数量积性质的过程，让学生体会从一般到特殊、分类讨论、数形结合的数学思想方法。

（三）学情分析

本单元内容与物理学科联系紧密，因此可以从物理、几何、代数三个角度展开教学。从物理角度而言，学生可以借助位移的合成、力的合成、功直观理解向量运算的概念;从几何角度而言，学生可以借助有向线段建立向量的直观形象，但由于他们对向量的运算理解不透彻，因此无法灵活运用几何的一些基本定理证明运算性质;从代数角度而言，学生通过类比数的运算学习向量的运算律，这种类比能使向量的学习找到合适的思维固着点，但学生受实数乘法运算性质的“负迁移”影响，对于向量的数量积运算可能容易出错。

（四）教学重难点

教学重点：向量数量积的定义，向量数量积的性质。

教学难点：投影变换，投影向量。

二、教学设计

（一）创设情境，提出问题

问题1 前面我们已经学习了向量的线性运算，类比数的运算，你认为我们接下来还可以研究向量的哪种运算？

教师在提出以上问题后，学生一般会回答“向量的乘法”，但如果有学生提出“向量的数乘运算”就是“向量的乘法”，教师可以帮助学生进一步理解此处的“向量的乘法”指的是向量间的运算，旨在培养学生用类比的思想和主动探究的意识明晰运算对象仍然是两个向量。

追问 根据前面的学习经历，你能否概括出我们学习向量运算的内容和过程？

在师生讨论的基础上，教师板书：物理背景—定义运算法则—讨论运算性质—运算的简单应用，让学生感受学习数学运算的一般思路。

问题2 在你学过的物理知识中，除了位移的合成、力的合成，还有没有关于两个矢量间的运算？

教师组织并引导学生阅读教科书中“向量的夹角”的概念。

追问2 向量加法的三角形法则要求两向量首尾相接，向量加法的平行四边形法则要求两向量同起点。那么确定“向量的夹角”在向量的位置上有何要求？

教师引导学生回看教科书，并找出确定“向量的夹角”时的位置要求：同起点。

【设计意图】将实数的运算与平面向量的运算进行类比，教会学生学习新知识的方法，培养学生的自学能力。在不断的正误辨析中找出“向量夹角”的位置要求，培育学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神。

（二）模仿结构，抽象概念

问题3 仿照物理学中功的概念，你能给出向量乘法的定义吗？

【設计意图】教师引导学生类比物理学中功的概念，自行抽象出数量积的定义，发展学生的理性思维，让学生学会用数学语言表达概念、规则，培育学生的数学抽象素养和逻辑推理的核心素养。

（三）探究内涵，理解辨析

问题4 在学习物理的功的内容时，我们知道，当力F作用在物体上时，只有力F沿位移S方向的分力才会做功。我们能否仿照作出向量a在向量b上的“分向量”？

【设计意图】教师引导学生类比物理学中分力做功，探究投影和投影向量的定义，有利于让学生理解引入投影向量的合理性。

图3至图6列举出两向量的夹角的不同情形。图3对应的是两向量的夹角是锐角，图4对应的是两向量的夹角是钝角，图5对应的是两向量垂直，图6对应的是两向量共线。

【设计意图】教师让学生体会在研究两向量夹角有关的问题时，常常要根据夹角的不同类型进行分类讨论，培养学生分类讨论和数形结合的思想。

【设计意图】学生经过合作讨论得出结论的过程，就是掌握研究图形与图形，图形与数量之间关系的基本方法的过程。以上教学设计让学生学会借助图形性质探索数学规律，从而形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义。

（四）迁移应用，性质初探

问题6 向量集数与形于一身，你认为可以从哪些角度研究数量积的性质？

【设计意图】将之前研究向量线性运算性质的方法进行迁移应用，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法，并初步建立向量的数量积运算与长度、夹角、垂直等几何问题之间的联系。

追问 以上运算结果的应用价值是什么？

教师引导学生从几何角度分析，合作完成下列表格（见表1）。

【设计意图】有逻辑的问题串能够帮助学生了解知识的来龙去脉，经历知识的生成和构建过程，能体现知识领域之间和方法之间的关联，具有可发展性。教师通过帮助学生在头脑中形成清晰、稳定、系列的知识链条，突出核心概念的思维构建过程和技能操作过程，体现思想方法的领悟和分析过程，达成教学目的。

（五）小结提升，形成结构

问题7 （1）你能说出我们是如何研究向量的数量积运算吗？

（2）你认为我们可以利用投影向量解决哪些问题？

（3）向量的数量积性质要研究的问题是什么？我们如何研究这些性质？

通过问题引导学生进行知识的结构化梳理，学生形成完善的向量数量积运算的认知结构。通过对学习过程的提炼概括，提升小结的思想性，学生的思维在课堂末尾仍处于高阶认知层次，让学生进一步明确本节课所蕴含的数学思想方法，有效地培育学生的数学学科核心素养。

为让学生进一步掌握和应用所学知识，教师指导学生完成以下目标检测题。

【设计意图】考查学生运用数量积性质求解问题的能力。

三、教学反思

（一）类比情境，序列设疑，引导学生开展系列化学习活动

不是所有问题都能激发学生有意义学习的心向，也不是随便地把问题提出来，就是创设了问题情境。教师必须在深入分析新知识与学生已有认知结构中的知识之间的关系的基础上，提出学生力所能及但又富有挑战性的问题[3]。本节课的引入是通过类比数的运算，提出“你认为我们接下来还可以研究向量的哪种运算？”具有统摄性、贯通性的问题，起到先行组织者的作用。随后的一系列问题“在你学过的物理知识中，除了位移的合成、力的合成，还有没有关于两个矢量间运算的概念？”“仿照物理学中功的概念，你能给出向量乘法的定义吗？”使学生的思维逐步引向数量积的本质，让学生感受向量运算是成体系的，并能让学生体会类比联想、迁移应用是研究数学的基本方法。

（二）提升素养，积极实践，努力适应新教材变化

“平面向量及其应用”为必修课程主题三“几何与代数”中的内容，突出几何直观与代数运算之间的融合。新教材中将“向量的数量积”和“向量的线性运算”整合为“平面向量的运算”，这样的设计有利于建立向量运算体系，强化学生对向量运算通性通法的研究。本节内容在教材中的最大编写变化是“投影”和“投影向量”。

在新课程理念下，教师要以学生为主体，改变以往单调枯燥的教学方式，通过对核心内容的精细化设计，充分调动学生的学习积极性。数学思维就是解决数学问题的心智活动，是提高学生主观能动的过程，一般表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，所以数学问题是数学的思维载体，也是数学思维活动的核心动力。如果问题串的设计能从学生的实际出发，设定合理的难度和适当的思维强度，就能有效促进学生求异思维和发散性思维的发展。值得注意的是，问题串的精细化设计，不是要面面俱到，也不是设置层层关卡，而是强调知识构建，提倡自主生成，围绕核心概念、基本思想方法进行的一体化设计。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]应佳成.有逻辑地设计问题串，让学习真实发生：以“分式”单元教学为例[J].中国数学教育（初中版），2021（7）：17-20.

[3]章建跃.核心素养导向的高中数学教材变革（续7）：《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J].中学数学教学参考，2020（7）：5-11.

（责任编辑：陆顺演）