数学复习课碎片化教学研究

林毓宁

[摘 要]研究碎片化教学，有利于指导学生有效利用零碎时间学习，提高学生的学习效率.

[关键词]复习课;碎片化;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0015-03

數学复习课是针对已经学习过的内容进行复习的，学生对所学内容有熟练与不熟练之别.如何在一堂课中让不同层次的学生都有最大收获，如何让数学复习课快速推进？这就得做好碎片化教学.下面以《数列通项的基本求法》的教学为例，谈谈笔者的一些做法.

一、分析考情

近年来高考对数列的考核难度有所降低，主要考查数列的基本概念和基本运算，掌握数列通项的基本求法及数列求和常用方法.

二、确定教学目标与核心素养

（一）教学目标

1.理解等差等比数列的概念和等差等比数列通项公式的函数特征.

2.能利用公式[an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）]求数列通项.

3.会用累加累乘法求数列通项.

4.会用构造法转化成等差等比数列模型.

5.通过学生对数列识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

（二）核心素养

1.数学抽象素养：等差等比数列的概念和等差等比数列通项公式的函数特征.

2.数学建模素养：等差等比数列模型，累加累乘法模型.

3.数学运算素养.

三、确定重难点

教学重点：等差等比数列的概念和等差等比数列通项公式的函数特征.

教学难点：构造法转化成等差等比数列模型，用累加累乘法求数列通项.

四、教学过程

（一）检测

1.设数列[an]满足：[a1=1]，[an+1=3an]，[n∈N*]， 则数列[an]的通项公式[an=]                                 .

2.已知数列[an]的前[n]项和[Sn=3n2+8n]，求数列[an]的通项公式.

3.若数列[an]的前[n]项和为[Sn=23an+13]，则数列[an]的通项公式[an=]                                  .

4.数列[an]满足[a1=1]，且[an+1-an=n+1]（[n∈N*]），则数列[an]的通项公式是                                     .

5.在数列[an]中，[a1=1]，[an=n-1nan-1] （[n≥2]），则数列[an]的通项公式是                                   .

设计意图：学生完成了检测题即可知道各题的正确答案，已掌握和未掌握的数列通项公式的求法类型便呈现出来了.

（二）自主学习

1.第1和第2题未做对的，前往1组，自主学习1.

2. 第3题未做对的，前往2组，自主学习2.

3.第4题未做对的，前往3组，自主学习3.

4.第5题未做对的，前往4组，自主学习4.

5.全部做对的，前往5组，自主学习5、6.

设计意图：指引学生通过对未掌握的数列通项公式求法类型进行自主学习和分组讨论.

自主学习1：满足等差等比数列的定义的，直接代等差等比数列通项公式求解.

（1）满足[an+1=an+d]及求和公式 [Sn][=d2n2+a1-d2n]是关于[n]的常数项为0的二次函数特征的，可知[an]是等差数列.

（2）通项公式的函数特征：[an]是关于[n]的函数[an=c⋅qn]（[c]，[q]都是不为0的常数[n∈N*]），及求和公式[Sn=kqn-k]是关于[n]的指数型函数（[k]为常数且[k≠0]，[q≠0，1]），可知[an]是等比数列.

[例1]设数列[an]的前[n]项和[Sn=n2]，则[a8]的值为                 .

解法1：由已知数列[an]是首项1，公差为2的等差数列，则[a8=1+7×2=15].

解法2：[a8=S8-S7=64-49=15].

[例2]在数列[an]中， [a1=1， 2an+1=1+1n2ann∈N* ].

证明：数列[ann2]成等比数列，并求[an]的通项公式.

分析：由条件得[an+1（n+1）2=12·ann2]，又[n=1]时，[ann2=1]，故数列[ann2]构成首项为1，公比为[12]的等比数列，从而[ann2=12n-1]，即[an=n22n-1].

设计意图：让学生领悟等差等比数列通项公式及求和公式的函数特征并模型化.

自主学习2：公式法.[an=S1（n=1）Sn-Sn-1（n≥2）]

[Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an] ……①

当[n≥2]时，[Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1]    ……②

①-②得[Sn-Sn-1=an].

[例3]已知下列两数列[an]的前n项和[Sn]的公式，求[an]的通项公式.

（1）[Sn=n2+n];（2）[Sn=n2-1].

分析：（1）[a1=S1=1+1]，[an=Sn-Sn-1=（n2+n）-（n-1）2+（n-1）=2n]，此时，[a1=2=S1]，∴[an]=[2n]为所求数列的通项公式.

（2）[a1=S1=0]，当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2-1-n-12-1=2n-1]，

由于[a1]不适合此等式，∴[an=0（n=1）2n-1 （n≥2）].

[例4]记[Sn]为数列[an]的前[n]项和，若[Sn=2an+1]，则[S6=]                  .

分析：根据[Sn=2an+1]，可得[Sn+1=2an+1+1]，两式相减得[an+1=2an+1-2an]，即[an+1=2an]，当[n=1]时，[S1=a1=2a1+1]，解得[a1=-1]，所以数列[an]是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以[S6=-（1-26）1-2=-63].

对于此类问题，解题步骤总结如下：

①利用[Sn]满足条件[P]，写出当[n≥2]时[Sn-1]的表达式;

②利用[an=Sn-Sn-1（n≥2）]，求出[an]或者转化为[an]的递推公式的形式;

③根据[a1=S1]求出[a1]，并代入[an]的通项公式进行验证.若成立，则合并;若不成立，则写出分段形式或根据[a1]和[an]的递推公式求出[an].

设计意图：模型化的应用，把非等差、非等比数列转化为等差、等比数列.

自主学习3： 累加法.類似于“[an+1-an=fn]”的条件时，使用累加法求解.

[an-an-1=fn-1]，

[an-1-an-2=fn-2]，

[an-2-an-3=fn-3]，

……

[a2-a1=f1].

以上式子左右分别相加，得

[an-a1=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+…+f（1）]，

所以得到[an=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+…+f（1）+a1]，

[即 an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1） ].

[例5]已知数列[an]中，[a1=1]且[an+1=an+3n]，则[a20=]                      .

分析：由[an+1-an=3n]，[an-an-1=3n-1（n≥2）].

[an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+][（an-an-1）=1+3+32+33+…+3n-1=1×（1-3n）1-3=] [3n-12]， 所以[a20=320-12].

对于此类问题，解题步骤总结如下：

①将递推公式写成[an+1-an=f（n）];

②依次写出[an-an-1，…， a2-a1]，并将它们累加起来;

③得到[an-a1]的值，解出[an];

④检验[a1]是否满足所求通项公式，若满足，则合并;若不满足，则写出分段形式.

自主学习4：累乘法.类似于“[an+1an=fn]”的条件时，使用累乘法求解.

[an=a1a2a1a3a2a4a3…anan-1=a1f（1）·f（2）·f（3）·…·f（n-1）].

[例6]在数列[an]中，[a1=1]，[an=n-1nan-1（n≥2）]，则数列[an]的通项公式是                      .

分析：∵[an=n-1nan-1（n≥2）]，∴[an-1=n-2n-1an-2]，…，[a2=12a1]，以上[（n-1）]个式子相乘得[an=a1·12·23·…·n-1n=a1n=1n].当[n=1]时，[a1=1]，上式也成立，∴[an=1n].

对于此类问题，解题步骤总结如下：

①将递推公式写成[an+1an=f（n）];

②依次写出[anan-1，…，a2a1]，并将它们累乘起来;

③得到[ana1]的值，解出[an];

④检验[a1]是否满足所求通项公式，若满足，则合并;若不满足，则写出分段形式.

自主学习5：倒数法.类似于“[an+1=kanan+k]”的条件时，使用倒数法求解.

[例7][a1=1，an+1=2anan+2]，求[an].

分析：由已知得[1an+1=an+22an=12+1an]，

∴[1an+1-1an=12].

∴[1an]为等差数列，[1a1=1]，公差为[12]，∴[1an=1+n-1·12=12n+1]，∴[an=2n+1].

自主学习6：构造法.

（1）[an=kan-1+dk， d为常数， k≠0， k≠1， d≠0]可转化为等比数列，设[an+c=kan-1+c⇒an=kan-1+k-1c]，令[k-1c=d]，∴[c=dk-1]，∴[an+dk-1]是首项为[a1+dk-1]，[k]为公比的等比数列.

[∴an+dk-1=a1+dk-1·kn-1]，[∴an=a1+dk-1·kn-1-dk-1].

（2）递推公式为[an+1=pan+qn]（其中[p]，[q]均为常数，[pq（p-1）（q-1）≠0]）.

（三）能力提高

1.在数列[an]中，[a1=1，an+1=anan+1（n∈N*）].

求证：数列[1an]是等差数列，并求数列[an]的通项公式.

2.设数列[an]的前[n]项和为[Sn].若[S2]=4，[an+1=2Sn+1]，[n∈N*]，则[a1]=              ，[S5]=              .

3.设[Sn]是数列[an]的前[n]项和，且[a1=-1， an+1=SnSn+1]，则[Sn]=                         .

4.數列[an]满足：[a1+2a2+…+nan=4-n+22n-1]，[n∈N*].

（1）求[a3]的值;（2）求数列[an]的前[n]项和[Tn].

5.在数列[an]中，[a1=2]，[an+1=an+1n（n+1）]，则数列[an]的通项公式是                        .

（四）归纳总结

数列通项的基本求法：

①[an=S1n=1，Sn-Sn-1n≥2.]

② [an-an-1=d]（常数），等差数列.

③ [an-an-1=f（n）]，试用叠加法.

④ [anan-1=q]（常数），等比数列.

⑤ [anan-1=f（n）]，试用叠乘法.

⑥ [an=Aan-1+B]和[an=Aan-1+f（n）]，试用配凑法.

⑦ [an+1=kanan+k]，用倒数法.

五、布置作业

六、制作微课程（让学生利用碎片化时间在课前预习和课后复习）

七、教学反思

本案例有以下几个优点：

1.能快速检测出学生已掌握和未掌握的内容;

2.能让不同层次的学生同时展开学习，共同进步;

3.加快教学进度;

4.自主学习和分组讨论能调动学生的学习积极性.

高中数学教学活动是数学核心素养培养的主要途径.因此，每一堂课的碎片化教学要体现出数学的核心素养，教师就要在课前认真备好每一堂课的教学目标和教学过程.

[   参   考   文   献   ]

[1]  张格波.“碎片化”教学现象剖析及调整对策[J].中学数学杂志，2014（9）：3-5.

[2]  赵思林.高三数学有效复习的六条措施[J].中学数学研究，2011（3）：3-7.

[3]  罗亮，彭轩娣.熟透课本，轻松应对广东高考[J].中学数学研究，2011（3）：17-20.

（责任编辑 黄桂坚）