借助问题驱动 发展核心素养——“空间两条直线的位置关系”教学实录与反思

桑娅洁 (江苏省徐州高级中学 221003)

1 基本情况

在2021年徐州市教学优质课评比中，笔者执教了“空间两条直线的位置关系”一课，得到了评委的认可与好评，获得高中数学学科组一等奖.本文将这节课的实录与反思整理如下，与大家交流.

1.1 授课对象

学生来自江苏省四星级高中普通班，数学基础总体较好，具备一定的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养.

1.2 教材分析

本节课是高中数学必修2(苏教版)第13章中“空间两条直线的位置关系”第一课时.在此之前，学生对基本立体图形有了直观的认识，了解了平面的概念和基本性质，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系，学习了用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，为本节课的学习奠定了基础.学生在初中已经学习过平行四边形的对边、三角形中位线与底边等平行关系，本节课是对平面内直线与直线的平行关系的深化与拓展，也为后续线面平行、面面平行以及各种角的学习打下基础.

教学目标 (1)了解空间两条直线的位置关系；(2)理解并掌握基本事实4与等角定理；(3)提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象等数学学科核心素养.

教学重点 基本事实4与等角定理.

教学难点 等角定理的证明与应用.

2 教学过程

2.1 创设情境，直观感受

师：前面我们学习了基本立体图形，这些空间图形中蕴含着丰富的点、线、面的位置关系，今天我们一起来研究空间中两条直线的位置关系.

师：初中时我们学习了平面几何.在平面内，两条直线的位置关系有哪些？

生：平行、相交.

师：公共点的个数如何？

生：平行直线没有公共点，相交直线有且只有一个公共点.

问题1在空间中，两条直线的位置关系又有哪些？

师：我们来看一个生活中的例子(出示图1).

图1

师：从图形中抽象出的这两条直线是平行直线还是相交直线？

生：既不平行也不相交.

师：有没有公共点？

生：没有.

师：是否存在一个平面，使得这两条直线同时在这个平面内？

生：不存在.

师：确实，这两条直线不同在任何一个平面内.像这样的两条直线，咱们教室里有吗？

生：电灯和黑板上沿所在直线.

师：你能用手中的笔摆出这样的两条直线吗？(请一个学生示范)

师：像这样，不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.

师：我们把教室抽象为一个长方体(图2)，那么长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在直线中，与AA1异面的有哪些？

图2

生：BC，B1C1，CD，C1D1.

师：可见，空间中两条直线的位置关系除了平行、相交，还有异面.其中，平行直线和相交直线是共面的，异面直线是不共面的；如果按公共点个数来划分，有且只有一个公共点的两直线相交，没有公共点的两直线平行或异面.

师：我们将在下节课进一步学习异面直线，今天我们将对平行直线进行深入研究.

设计意图从学生已有的知识和经验出发，经历由平面推广到空间的过程.创设学生感兴趣的生活情境，抽象出数学问题，帮助学生直观感知异面直线与平行直线、相交直线的不同，体会生活无处不数学.最终过渡到本节课的主线——长方体，为下面的学习作好铺垫.

2.2 循序渐进，螺旋上升

问题2在长方体ABCD-A1B1C1D1的12条棱所在直线中，与AA1平行的有哪些？

生：BB1,CC1,DD1.

师：为什么AA1∥CC1？

生：因为AA1∥BB1，BB1∥CC1，所以AA1∥CC1.

师：在平面内平行是具有传递性的，在空间中这个性质依然成立.

(PPT展示基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.)

师：你能用符号语言描述这一基本事实吗？

问题3经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？

生：有且只有一条.

问题4如图3，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别为AB，BC的中点，那么直线EF与直线A1C1平行吗？为什么？

图3

生：平行.连结AC，因为EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC.又因为AC∥A1C1，根据基本事实4，EF∥A1C1.

师：在立体几何的证明中，每一个结论都应有定义、定理、基本事实的支持，那么AC∥A1C1的依据是什么？

生：因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，BB1∥CC1，所以AA1∥CC1，所以四边形A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.

师：很好！(板书此题证明的规范过程)

设计意图问题2的设置在引出基本事实4的同时，也为问题4中AC∥A1C1这一难点的解决埋下了伏笔.问题3和问题4都是基本事实4的应用，平面内常借助三角形中位线和平行四边形对边证明两直线平行，而基本事实4为证明空间中两直线平行提供了理论依据.学生初学立体几何的证明，在教学中一定要指导学生用规范严谨的数学语言进行表述.

问题5如图4，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已证AC∥A1C1，又AB∥A1B1，问：∠BAC与∠B1A1C1是否相等？为什么？

图4

生：可以先证明△ABC与△A1B1C1全等.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=A1B1，BC=B1C1，之前证明过AC=A1C1，所以△ABC与△A1B1C1全等，所以∠BAC=∠B1A1C1.

问题6如图5，在空间中，如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同.问：∠BAC与∠B1A1C1是否相等？为什么？

图5

师：这里“方向相同”是指以射线的视角看待角的两边，射线AB与A1B1方向相同，射线AC与A1C1方向也相同.请同学们以小组为单位，探讨一下这个问题.

(学生分组探究，写出证明过程，由一位学生代表展示讲解.)

问题7在空间中，如果∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，那么∠BAC与∠B1A1C1之间有何关系？

生：相等或互补.如果两个角的两边方向相同或方向相反，这两个角相等；如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，这两个角互补.

师：可见，要想证明空间中两个角相等，除了两组平行关系，“方向相同”这个条件是必不可少的.

(PPT展示定理内容：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．)

该定理保证了空间的角在平移后大小不变．

设计意图等角定理的探究与证明是本节课的难点，证明定理的关键是引导学生构造两个全等三角形，将空间问题转化为平面问题.问题5的设置为等角定理的探究与证明作了铺垫.在学生已有的知识储备基础上，遵循“最近发展区原理”；问题6对一般性结论进行探究，让学生经历从特殊到一般、层层深入的过程，在合作中体会问题解决的乐趣.

2.3 巩固提升，思悟数学

数学运用：如图6，在 长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E1，E分别为棱A1D1，AD的中点.求证：∠C1E1B1=∠CEB．

图6

(学生练习)

师：通过本节课的学习，在知识内容、方法能力等方面，你有怎样的收获或体会？

(学生先在小组内交流，再由代表发言.)

师：本节课我们以长方体为载体，通过直观感受，了解到空间两条直线有三种位置关系，并对平行直线进行了深入研究.基本事实4将两直线平行问题从空间转化为平面，降三维为二维；等角定理为我们后续研究各种角提供了理论支持.在证明中，我们进一步感受到数学的逻辑性和严谨性，希望同学们在今后的学习中，能用严谨求实的科学精神领略更多的数学之美.

设计意图练习是对基本事实4和等角定理的应用，教师挑选有代表性的解答进行展示，可以是严谨规范的，起到示范作用，也可以是有典型问题的，请学生一起修改完善.课堂小结是课堂教学中的重要一环，通过课堂小结指导学生找到知识的精华所在，把相关知识融会贯通，形成知识网络结构；引导学生回顾学习探究的历程，领悟重要的思想方法和学习方法，总结数学学习的经验；培养学生反思、概括、表达的能力，养成良好的数学学习习惯.

3 回顾与反思

3.1 以长方体为载体，明暗线交织

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义.直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算，是我们探索和认识空间图形及其性质、建立空间观念的主要方法.长方体作为立体几何中的基本几何体，是研究线线关系、线面关系、面面关系的重要载体.本节课借助长方体模型，以明暗两条线贯穿始终.明线即知识的自然生成过程：空间两条直线的位置关系—基本事实4—等角定理；暗线即直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养的发展.两条主线共同决定了课堂教学活动的方向和效果.

3.2 用问题推进教学，螺旋式上升

问题是数学的心脏，是数学思想的源泉，是数学思维的动力.美国著名心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.”本节课根据学生的“最近发展区”设置了环环相扣、层层递进的7个问题，利用问题驱动，吸引学生主动思考，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想方法解决问题.在数学问题的发现、分析和解决过程中构建完整的知识体系，深化理解所学内容，发展数学思维.

3.3 重视教更重视学，促素养提升

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出，普通高中的培养目标是进一步提升学生综合素质，着力发展核心素养，使学生具有理想信念和社会责任感，具有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发展能力和沟通合作能力.在数学教学中，教师要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学.引导学生独立思考、动手实践、自主探索、合作交流，促进学生会学数学，养成良好的学习习惯，提升数学学科核心素养.