一道情境化探究性试题的命制过程

金 山 (江苏省启东中学 226200)

《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称《课标》)指出：“命题应依据课程内容，注重对学生数学学科核心素养的考查，处理好数学学科核心素养与知识技能的关系，要充分考虑对教学的积极引导作用．”“命题时，应有一定量的应用问题，还应包括开放性问题和探索性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识，问题情境的设计应自然、合理．”合适的问题情境是考查数学学科核心素养的重要载体，数学命题时，应注意选取问题情境，这里的情境包括现实情境、数学情境和科学情境．学生在解决这类问题时，首先要对情境进行抽象，建立合理的数学模型，其次需要依靠科学的方法进行探究、推理、演算．解题的过程成为分析和解决问题的过程，这有利于真正区分学生的数学能力和数学核心素养．笔者在参加2021年南通市第二次数学调研测试命题期间，经历了一道探究性情境试题几经周折的编制过程，简单总结如下，与大家分享交流．

1 问题情境的溯源

《课标》是联考和模考命题的基本依据，教材则是改编试题的最好素材来源．在《课标》的附录2 “教学与评价案例”中共列出了37个案例，其中案例15和案例19都是测量建筑物高度的问题．教材中也出现很多实际测量的情境，例如：

问题1(苏教版(2020)数学必修第二册第99页第4题)如图1，某人在高出海面600 m的山上P处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为30°，航标B在南偏东60°的方向上，俯角为45°，求这两个航标间的距离．

图1 图2

问题2(人教版(2019)数学必修第二册第53页第8题)如图2，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．

这两道试题都来源于生产生活实际，研究的是不同情境下同一类型的实际测量问题，体现了数学与生活的密切关联，具有浓厚的现实意义．

对于问题1，先解Rt△PAC和Rt△PBC，求出AC，BC长．在△ABC中，已知“两边及其夹角”，运用余弦定理可求出A，B间的距离．再看问题2，在△BCD中，由已测得的∠BCD，∠BDC和CD长，根据正弦定理计算出BC长．在Rt△ABC中，由θ角的正切即可算出塔高AB．

两个问题中，需要测量的量与所求量都可归结到三棱锥模型中：测得三个角大小和一条棱长，求另一棱长．那么，这类问题都可解吗？即，已知三个角与一条棱长可以确定这个三棱锥的形状与大小吗？如果不能，哪些情形可解？哪些情形不可解？以上面的实际情境和疑问为源头，剔除具体计算，滤出其中的定性元素，能不能设置一道探究性的开放题呢？

2 命题意图的确立

以问题2的情境为例，对于一名测量者，测量之前首先要考虑“哪些量可测”．该情境下，C与D之间的距离s和以C，D为顶点的所有角都可测．其次会思考“测出哪些量就可以了”，这就需要具备一定的空间想象能力和对三角形可解性的深刻理解，还要具有一定的数据处理、运算求解的数学素养和科学决策能力．

从“测出哪些量就可以了”出发，命题组将教材中的这个情境改编成一道开放的填空题．

初稿 如图3，某校测绘兴趣小组测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，并测得CD长．若该测绘兴趣小组利用测角仪可测得以C，D为顶点的所有角，则只需测出，，这三个角就可计算出塔AB的高度．(写出一组即可)

图3

3 问题的进一步探究

图4

综合以上分析，20种选择方法实质只需研究其中4种．那么在这4种方案中，哪些可以确定塔高AB呢？

方案1s，∠ACB，∠BCD，∠ACD．

由三余弦定理，∠ACB，∠BCD，∠ACD这三个角中已知两个就可以求出第三个角，所以该方案条件出现了重复，实际上只有三个条件，可用如下作图过程说明塔高不确定．

图5 图6

方案2s，∠ACB，∠BCD，∠BDC．

定性分析：△BCD中，已知“两角及其夹边”，根据“角边角”公理，边BC确定，从而在Rt△ABC中可确定AB．

在△ABC中，AB=BC·tan∠ACB=

方案3s，∠ACB，∠BCD，∠ADC．

定性分析：由三余弦定理，∠ACB，∠BCD确定了∠ACD的大小，所以在△ACD中，已知“两角及其夹边”，根据“角边角”公理，边AC确定，从而在Rt△ABC中可确定AB．

方案4s，∠ACB，∠BCD，∠ADB．

如图7，在三棱锥A-BCD中，已知CD=s，∠ACB，∠BCD，∠ADB．过点B作BE∥CD，当∠BDC≠90°时，过点D作DM⊥BE，垂足为M，取ME=BM，过点E作EF⊥面BCD，且EF=AB，则Rt△ABD≌Rt△DEF．因为四边形ABEF是平行四边形，所以AF∥CD，即C，D，A，F共面.延长DF与CA交于点A′，延长DE与CB交于点B′，则在三棱锥A′-B′CD中，CD=s和∠A′CB′=∠ACB，∠B′CD=∠BCD，∠A′DB′=∠ADB，所以塔高AB不确定．

图7

4 试题的修改与完善

四种方案中，方案2和3可以确定塔高，方案1和4不能确定．基于以上分析，将初稿中的填空题修改成下面的单项选择题．

第2稿 如图3，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD长为s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )．

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ADB，∠BDC，∠ADC

C．s，∠ACB，∠ACD，∠BCD

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADB

改成单选题后，难度减小，对学生的数学思维和数学素养的考查力度大大降低．第2稿与初稿比较，虽然解决了阅卷的困难，但试题的灵动性与开放性明显降低，违背了初始确立的命题意图．为了尽量保留初稿的探究意境，达成当初的命题意图，在第2稿的基础上，进一步修改成多项选择题．

第3稿 如图3，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD长为s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )．

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADB

确立以多项选择题形式呈现后，试题的开放性、探究性提高，可难度适合吗？第3稿中设置的4个选项包揽了此类问题的4种方案，其中方案4(选项D)讨论的是三角形不可解性，也是最困难的一种，预估学生在考试时间内很难完成，基于此，最终“忍痛割舍”方案4，修改如下．

定稿 如图3，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD长．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )．

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC

终稿中，选项C和选项D，从三余弦定理角度看是等价的．

5 考试结果及反思

高三复习阶段的考试，目的是合理评价学生数学思维能和素养的水平，诊断课堂教学的效果，反馈教与学中的经验和不足，激励学生探究未知的激情和学习数学的兴趣．本题预设难度是0.35至0.4之间，实际考试结果看，南通市考生均分1.9分，难度系数0.62，很好地达到了检查学生复习效果、评价学生数学思维的目的，获得了一线教师的肯定与好评，为下一步教学实践提供了参考依据．

本题设置的情境是“测量建筑物高度”，来源于《课标》和教材，体现了《课标》对考试评价的指导地位，体现了教材中典型问题的内在价值与迁移功能．同时，所选情境与学生生活关系密切，是学生熟悉的，保证了试题评价的公平性．学生在解决问题的过程中感受到数学学习的价值，能提高学习数学和对劳动实践的兴趣，增强主动运用数学知识的意识和能力，对培养学生探究未知的精神起到积极的引导作用．

本题的命题意图是“探究、开放”.我们对问题原型不断加工，除去具体的解三角形的计算，重点考查对空间图形的想象、三角形可解的充分条件的探究，是问题可解析的定性分析．终稿的呈现形式具备应用与创新、探究与开放的新高考气息，能达到区分学生思维的灵活性与创新性的考查目标，与新高考命题的方向基本吻合．

回顾本题从萌芽、雏形、成长到成熟，我们经历不断尝试、合作、探索、打磨，虽然过程艰辛，却充满了收获的快乐．